Конспект урока: Третий признак равенства треугольников

Рис. 1. Треугольник АВС и треугольник РМК

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $PMK$, у которых $AB=PM,$ $AC=PK$, $BC=MK$ 
(рис. 1).

Надо доказать, что $∆ABC=∆PMK$.

Приложим треугольник $ABC$ к треугольник $PMK$ так, чтобы вершина $A$ совместилась с вершиной $P$, а вершина $B$ - с вершиной $M$, вершины $C$ и $K$ должны лежать по разные стороны от прямой $AB$.

Рис. 2а.

1. $AC=PK$ - по условию, значит, треугольник $ACK$ - равнобедренный, тогда $\angle 1=\angle 2$ как углы при основании равнобедренного треугольника.
2. $BC=MK$ - по условию, значит, треугольник $MKC$ равнобедренный, тогда $\angle 3=\angle 4$ как углы при основании равнобедренного треугольника.
3. $\angle ACB=\angle 1+\angle 3$, $\angle PKM=\angle 2+\angle 4$, значит, $\angle ACB=\angle PKM$.
4. Рассмотрим треугольники  $PKM$ и $ACB$, у них $AC=PK$, $BC=MK$, $\angle ACB=\angle PKM$. Тогда $∆ABC=∆PKM$ по двум сторонам и углу между ними.

Второй и третий случаи докажите самостоятельно.

Рис. 5а.

1. Проведём отрезок $CM$ (рис. 5а).
2. Рассмотрим треугольники $MKC$ и $MTC$: $MK=MT$ - по условию, $KC=TC$ - по условию, $CM$ - общая.
3. Тогда  $∆MKC=∆MTC$ - по трём сторонам.

Отсюда следует, что $\angle MKC=\angle MTC$ как соответствующие элементы в равных треугольниках.

Что и требовалось доказать.