Конспект урока: Сумма углов треугольника

Рис. 1. Теорема о сумме углов треугольника

Рассмотрим треугольник $ABC$. Надо доказать, что $\angle A+\angle B+\angle C=180°$.

1. Проведём прямую $BK$, параллельную стороне $AC$.
2. $\angle 1=\angle 4$ как накрест лежащие углы при пересечении прямых $BK$ и $AC$ секущей $AB.$
3. $\angle 3=\angle 5$ как накрест лежащие углы при пересечении прямых $BK$ и $AC$ секущей $BC.$
4. $\angle 4+\angle 2+\angle 5=\angle MBK$ и так как это развёрнутый угол, то $\angle 4+\angle 2+\angle 5=180°$.

Получили, что $\angle 1+\angle 2+\angle 3=180°$ или $\angle A+\angle B+\angle C=180°$.

Теорема доказана.

Рис. 2а. Внешний угол треугольника

Рассмотрим треугольник $ABC$. Продолжим сторону $AC$ за точку $С$, получим угол $BCD$ – смежный с углом $BCA$. $\angle BCD$ - внешний угол треугольника $ABC$ 

(рис. 2а).

Рис. 2б. Внешний угол треугольника

Можно продолжить сторону $BC$, получим угол $ACE$ – смежный с углом $ACB$. $\angle ACE$ – внешний угол треугольника $ABC$ (рис. 2б).

Рис. 2в.

Внешние углы треугольника при одной и той же вершине равны (рис. 2в). Объясните, почему.

Рис. 3.

Рассмотрим треугольник $ABC$. $\angle BCD$ - внешний угол треугольника $ABC$ (рис. 3).

Докажем, что $\angle BCD=\angle 1+\angle 2$.

$\angle BCD+\angle 3=180°$, т. к. $\angle BCD$ и $\angle 3$ смежные, отсюда $\angle 3=\angle 180°-\angle BCD$. 

$\angle 1+\angle 2+\angle 3=180°$ по теореме о сумме углов треугольника.

Значит, $\angle BCD=\angle 1+\angle 2$.

Рис. 4. Пример 1

Рассмотрим треугольник $MAK$, $MK$ - основание.

1 случай. 

Пусть данный в условии внешний угол находится при вершине основания: $\angle AKT=110°$ (рис. 4).

$\angle AKM=180°-110°=70°$, т. к. $\angle AKT$ и $\angle AKM$ - смежные. $\angle AMK=\angle AKM$ как углы при основании равнобедренного треугольника, тогда $\angle AMK=70°$.

Сумма углов треугольника $180°$, значит, $\angle MAK=180°-70°-70°=40°$.

Рис. 5. Пример 1

2 случай. 

Пусть данный в условии внешний угол находится при вершине, лежащей против основания: $\angle NAK=110°$ (рис. 5).

$\angle MAK=180°-110°=70°$, т. к. $\angle NAK$ и $\angle MAK$ - смежные. $\angle AMK=\angle AKM$ как углы при основании равнобедренного треугольника.

Сумма углов треугольника $180°$,  значит, $\angle AKM=\angle AMK=(180°-70°):2=55°$.

Рис. 9. Прямоугольный треугольник ABC

Прямоугольный треугольник в геометрии занимает особое место. Стороны прямоугольного треугольника имеют свои названия. Сторона, которая лежит против прямого угла, называется гипотенузой. Стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами.

На рисунке 9 $AB$ - гипотенуза, $AC$, $CB$ – катеты прямоугольного треугольника $ABC$.