- Теорема о сумме углов треугольника;
- Внешний угол треугольника;
- Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники.
- Знать теорему о сумме углов треугольника;
- Знать определение и свойство внешнего угла;
- Знать виды треугольников ;
- Уметь применять теорему о сумме углов треугольника, определение и свойство внешнего угла при решении задач.
- Назовите элементы треугольника.
- Перечислите виды углов (по градусной мере).
- Постарайтесь начертить треугольник, у которого два прямых угла, два тупых угла. Проблема!
Теорема о сумме углов треугольника
Сумма углов треугольника равна .
Доказательство
![](/upload/yQOQIZoPFMAb_Геометрия 7 класс-78.png)
Рассмотрим треугольник . Надо доказать, что .
- Проведём прямую , параллельную стороне .
- как накрест лежащие углы при пересечении прямых и секущей
- как накрест лежащие углы при пересечении прямых и секущей
- и так как это развёрнутый угол, то .
Получили, что или .
Теорема доказана.
Внешний угол треугольника
Внешний угол треугольника - это угол, смежный с одним из углов треугольника.
![](/upload/2htOskYOOkmh_Геометрия 7 класс-79.png)
Рассмотрим треугольник . Продолжим сторону за точку , получим угол – смежный с углом . - внешний угол треугольника
(рис. 2а).
![](/upload/ezxiqWk8BCOJ_Геометрия 7 класс-80.png)
Можно продолжить сторону , получим угол – смежный с углом . – внешний угол треугольника (рис. 2б).
![](/upload/xQzPIyFVluLj_Геометрия 7 класс-81.png)
Внешние углы треугольника при одной и той же вершине равны (рис. 2в). Объясните, почему.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
Доказательство
![](/upload/LubCH6I04VQW_Геометрия 7 класс-82.png)
Рассмотрим треугольник . - внешний угол треугольника (рис. 3).
Докажем, что .
, т. к. и смежные, отсюда .
по теореме о сумме углов треугольника.
Значит, .
Пример 1
Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен . Найдите углы этого треугольника.
Решение
![](/upload/8TsCISGTZiBp_K7Bd156RRDIe_%25D0%2593%25D0%25B5%25D0%25BE%25D0%25BC%25D0%25B5%25D1%2582%25D1%2580%25D0%25B8%25D1%258F%25207%2520%25D0%25BA%25D0%25BB%25D0%25B0%25D1%2581%25D1%2581-83.png)
Рассмотрим треугольник , - основание.
1 случай.
Пусть данный в условии внешний угол находится при вершине основания: (рис. 4).
, т. к. и - смежные. как углы при основании равнобедренного треугольника, тогда .
Сумма углов треугольника , значит, .
![](/upload/72W1uTQLloWD_Геометрия 7 класс-84.png)
2 случай.
Пусть данный в условии внешний угол находится при вершине, лежащей против основания: (рис. 5).
, т. к. и - смежные. как углы при основании равнобедренного треугольника.
Сумма углов треугольника , значит, .
Ответ:
- ;
- .
Упражнение 1
- В треугольнике проведена биссектриса , , . Найдите .
- - внешний угол для треугольника , у которого . . Найдите .
- - высота равнобедренного треугольника с основанием , . Найдите .
Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники
Если в треугольнике один из углов прямой или тупой, то сумма двух других углов в треугольнике не превосходит , т. е. каждый из них будет острым. Значит, в треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий или тупой, или прямой.
![](/upload/ba2by139M2vb_Геометрия 7 класс-85.png)
Если в треугольнике все углы острые, то такой треугольник называется
остроугольным
(рис. 6).
![](/upload/anMiTKjT7Hlj_Геометрия 7 класс-86.png)
Если в треугольнике один из углов прямой, то такой треугольник называется прямоугольным (рис. 7).
![](/upload/ttLPPezpGtlX_Геометрия 7 класс-87.png)
Если в треугольнике один из углов тупой, то такой треугольник называется тупоугольным (рис. 8).
![](/upload/IrYNAhyJXF0D_Геометрия 7 класс-88.png)
Прямоугольный треугольник в геометрии занимает особое место. Стороны прямоугольного треугольника имеют свои названия. Сторона, которая лежит против прямого угла, называется гипотенузой . Стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами .
На рисунке 9 - гипотенуза, , – катеты прямоугольного треугольника .
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте теорему о сумме углов треугольника.
2. Что такое внешний угол треугольника?
3. В чём заключается свойство внешнего угла треугольника?
4. Почему в треугольнике не может быть один острый угол?
5. Какой треугольник называется остроугольным? Прямоугольным? Тупоугольным?
6. Как называются стороны прямоугольного треугольника?
Упражнение 1
- .
- .
- .