Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Сумма углов треугольника

Треугольники

Сумма углов треугольника. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

План урока

  • Теорема о сумме углов треугольника;
  • Внешний угол треугольника;
  • Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники.

Цели урока

  • Знать теорему о сумме углов треугольника;
  • Знать определение и свойство внешнего угла;
  • Знать виды треугольников ;
  • Уметь применять теорему о сумме углов треугольника, определение и свойство внешнего угла при решении задач.

Разминка

  • Назовите элементы треугольника.
  • Перечислите виды углов (по градусной мере).
  • Постарайтесь начертить треугольник, у которого два прямых угла, два тупых угла. Проблема!

Теорема о сумме углов треугольника


Сумма углов треугольника равна 180°.


Доказательство

Рис. 1. Теорема о сумме углов треугольника Рис. 1. Теорема о сумме углов треугольника

Рассмотрим треугольник ABC. Надо доказать, что A+B+C=180°.

  1. Проведём прямую BK, параллельную стороне AC.
  2. 1=4 как накрест лежащие углы при пересечении прямых BK и AC секущей AB.
  3. 3=5 как накрест лежащие углы при пересечении прямых BK и AC секущей BC.
  4. 4+2+5=MBK и так как это развёрнутый угол, то 4+2+5=180°.

Получили, что 1+2+3=180° или A+B+C=180°.

 

Теорема доказана.


Внешний угол треугольника


Внешний угол треугольника - это угол, смежный с одним из углов треугольника.


Рис. 2а. Внешний угол треугольника Рис. 2а. Внешний угол треугольника

Рассмотрим треугольник ABC. Продолжим сторону AC за точку С, получим угол BCD – смежный с углом BCA. BCD - внешний угол треугольника ABC 

(рис. 2а).

Рис. 2б. Внешний угол треугольника Рис. 2б. Внешний угол треугольника

Можно продолжить сторону BC, получим угол ACE – смежный с углом ACBACE – внешний угол треугольника ABC (рис. 2б).

Рис. 2в. Рис. 2в.

Внешние углы треугольника при одной и той же вершине равны (рис. 2в). Объясните, почему.


Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.


Доказательство

Рис. 3. Рис. 3.

Рассмотрим треугольник ABCBCD - внешний угол треугольника ABC (рис. 3).

Докажем, что BCD=1+2.

BCD+3=180°, т. к. BCD и 3 смежные, отсюда 3=180°-BCD

1+2+3=180° по теореме о сумме углов треугольника.

Значит, BCD=1+2.


Пример 1

 

Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 110°. Найдите углы этого треугольника. 


Решение

Рис. 4. Пример 1 Рис. 4. Пример 1

Рассмотрим треугольник MAKMK - основание.

 

1 случай. 

 

Пусть данный в условии внешний угол находится при вершине основания: AKT=110° (рис. 4).

 

AKM=180°-110°=70°, т. к. AKT и AKM - смежные. AMK=AKM как углы при основании равнобедренного треугольника, тогда AMK=70°.

 

Сумма углов треугольника 180°, значит, MAK=180°-70°-70°=40°.

Рис. 5. Пример 1 Рис. 5. Пример 1

2 случай. 

 

Пусть данный в условии внешний угол находится при вершине, лежащей против основания: NAK=110° (рис. 5).

 

MAK=180°-110°=70°, т. к. NAK и MAK - смежные. AMK=AKM как углы при основании равнобедренного треугольника.

 

Сумма углов треугольника 180°,  значит, AKM=AMK=(180°-70°):2=55°.

Ответ: 

 

  1. 70°, 70°, 40°;
  2. 55°, 55°, 70°.


Упражнение 1

 

  1. В треугольнике COK проведена биссектриса OAOCK=54°CAO=72°. Найдите OKC.
  2. OMK - внешний угол для треугольника DOM, у которого OD=OMOMK=100°. Найдите ODM.
  3. BP - высота равнобедренного треугольника ABC с основанием BCBAC=52°. Найдите PBC.


Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

 

Если в треугольнике один из углов прямой или тупой, то сумма двух других углов в треугольнике не превосходит 90°, т. е. каждый из них будет острым. Значит, в треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий или тупой, или прямой.


Рис. 6. Остроугольный треугольник Рис. 6. Остроугольный треугольник

Если в треугольнике все углы острые, то такой треугольник называется остроугольным  
(рис. 6).

Рис. 7. Прямоугольный треугольник Рис. 7. Прямоугольный треугольник

Если в треугольнике один из углов прямой, то такой треугольник называется прямоугольным (рис. 7).

Рис. 8. Тупоугольный треугольник Рис. 8. Тупоугольный треугольник

Если в треугольнике один из углов тупой, то такой треугольник называется тупоугольным (рис. 8).


Рис. 9. Прямоугольный треугольник ABC Рис. 9. Прямоугольный треугольник ABC

Прямоугольный треугольник в геометрии занимает особое место. Стороны прямоугольного треугольника имеют свои названия. Сторона, которая лежит против прямого угла, называется гипотенузой . Стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами .

 

На рисунке 9 AB - гипотенуза, ACCB – катеты прямоугольного треугольника ABC.


Контрольные вопросы

 

1. Сформулируйте теорему о сумме углов треугольника.

2. Что такое внешний угол треугольника? 

3. В чём заключается свойство внешнего угла треугольника?

4. Почему в треугольнике не может быть один острый угол?

5. Какой треугольник называется остроугольным? Прямоугольным? Тупоугольным?

6. Как называются стороны прямоугольного треугольника?


Ответы

Упражнение 1

 

  1. 18°.
  2. 80°.
  3. 26°.

Следующий урок
Второй признак равенства треугольников
Треугольники
  • Степень с натуральным показателем. Умножение и деление степеней

    Алгебра

  • Первый признак равенства треугольников

    Геометрия

  • Р. Брэдбери. «Каникулы»

    Литература

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке