Цифровая библиотека

Интернет-библиотека по школьным предметам от «Онлайн-школы». Библиотека поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

Например: формулы сокращенного умножения

Выбери класс

Выбери все классы

Все предметы
7 класс
Геометрия
Соотношение между сторонами и углами треугольника

Геометрия 7 класс Геометрия 7 класс

Конспект урока: Соотношение между сторонами и углами треугольника

Треугольники

26.04.2024

1537

Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника

План урока

Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника;
Неравенство треугольника.

Цели урока

Знать теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника и следствия из нее;
Знать теорему о неравенстве треугольника и следствие из нее;
Уметь применять теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника и о неравенстве треугольника при решении задач.

Разминка

Назовите виды треугольников (по углам);
Назовите виды треугольников (по сторонам);
Сформулируйте свойства равнобедренного треугольника;
Как называются стороны прямоугольного треугольника.

Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

Теорема 1

В треугольнике:

против большей стороны лежит больший угол;
обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство

Рис. 1. Теорема 1

Рассмотрим треугольник $A B C$ , пусть $A B > A C$ . Надо доказать, что $∠ C > ∠ B$ (рис. 1).

Отложим на стороне $A B$ отрезок $A K$ , равный $A C$ , т.к. $A K < A B$ , точка $K$ лежит между точками $A$ и $B$ .
$∠ 1$ - это часть $∠ C$ , значит, $∠ C > ∠ 1 .$
$∠ 1 = ∠ 2$ , т. к. $∆ A K C$ равнобедренный;
$∠ 2$ - внешний угол треугольника $K B C$ , значит, $∠ 2 > ∠ B .$

Получили: $∠ C > ∠ 1, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 2 > ∠ B,$ т. е. $∠ C > ∠ B .$

Докажем обратное утверждение.

Пусть $∠ C > ∠ B$ , надо доказать, что $A B > A C$ . Применим метод «от противного»:

Предположим, что $A B$ не больше $A C$ , т. е. $A B = A C$ или $A B < A C$ .
Если $A B = A C$ , то $∆ A B C$ - равнобедренный и $∠ C = ∠ B$ , что противоречит условию.
Если $A B < A C$ , а против большей стороны лежит больший угол, то $∠ C < ∠ B$ , что противоречит условию.

Наше предположение неверно, значит, $A B > A C$ .

Теорема доказана.

Следствие 1

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Следствие 2 (признак равнобедренного треугольника)

Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Действительно, если два угла треугольника равны, то стороны, лежащие против этих углов, тоже равны, что по определению равнобедренного треугольника и означает, что он будет равнобедренным.

Пример 1

$M A$ - биссектриса треугольника $T M K$ . Какой отрезок больше: $M K$ или $A K$ ?

Решение

Рис. 2. Пример 1

Рассмотрим треугольник $M A K$ (рис. 2).

$M K$ лежит против угла $M A K$ , $A K$ лежит против угла $K M A$ .

Сравним $∠ M A K$ и $∠ K M A$ .

$∠ M A K$ - внешний угол для треугольника $T M A$ , значит, $∠ M A K = ∠ M T A + ∠ T M A$ , но $∠ T M A = ∠ K M A$ , т. к. $M A$ - биссектриса, тогда $∠ M A K = ∠ M T A + ∠ K M A$ , $∠ M A K > ∠ K M A$ , значит, $M K > A K$ .

Ответ: $M K$ .

Упражнение 1

Докажите следствие 1 из теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника.
Докажите следствие 2 из теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника. При доказательстве следствия 2 используйте метод «от противного».
В треугольнике $K T M$ угол $T$ - тупой. На стороне $K T$ отмечена точка $P$ . Докажите, что $M K > M P$ .

Неравенство треугольника

Теорема 2

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Доказательство

Рис. 3. Теорема 2

Дан треугольник $A B C$ . Надо доказать, что $A B < A C + C B$ (рис. 3).

Отложим на продолжении стороны $A C$ отрезок $C M$ , равный $C B$ , получим равнобедренный треугольник, значит, $∠ 1 = ∠ 2$ как углы при его основании.
Рассмотрим треугольник $A B M$ . $∠ A B M > ∠ 1$ , поэтому, $∠ A B M > ∠ 2$ и $A M > A B$ (в треугольнике против большего угла лежит большая сторона). $A M = A C + C M = A C + B C$ , т. к. $A B < A M$ (см. п. 2), значит, $A B < A C + B C$ .

Теорема доказана.

Следствие

Для любых трёх точек $A$ , $B$ и $C$ , не лежащих на одной прямой, будут справедливы неравенства:

$A B < A C + C B, A C < A B + B C, B C < B A + A C$

Каждое из этих неравенств называется неравенством треугольника .

Пример 2

Существует ли треугольник со сторонами $12 с м, 2, 5 д м, 80 м м$ ? Ответ поясните.

Решение

Выразим $2, 5 д м, 80 м м$ в одних единицах измерения: $2, 5 д м = 25 с м,$ $80 м м = 8 с м$ .
$25 с м > 12 с м + 8 с м$ , что противоречит неравенству треугольника.

Ответ: такой треугольник не существует.

Упражнение 2

Стороны равнобедренного треугольника равны $8 с м$ и $20 с м$ . Какая из них является основанием?
Точка $A$ лежит на стороне $S K$ треугольника $S O K$ , $O A = A K$ . Докажите, что $S O < S K$ .

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника.

2. Какая сторона в прямоугольном треугольнике наибольшая?

3. Сформулируйте признак равнобедренного треугольника.

4. Сформулируйте теорему о неравенстве треугольника.

Ответы

Упражнение 2

1. $8 с м$ .

Рис. 4. Упражнение 2. Ответ

1) Рассмотрим треугольник $S O K$ (рис. 4).

$S K = S A + A K = S A + A O .$

2) Рассмотрим треугольник $O S A$ .

$S O < S A + A O$ (неравенство треугольника), $S O < S K$ .

Предыдущий урок

Свойства равнобедренного треугольника

Треугольники

Следующий урок

Соотношение между сторонами и углами треугольника

Треугольники

Урок подготовил(а)

Валерия Александровна

Учитель математики

Опыт работы: более 20 лет

Решение задач по теме «Информация и информационные процессы»

Информатика
Признаки равенства прямоугольных треугольников

Геометрия
Класс Паукообразные

Биология

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:

Пока никто не оставил отзыв об этом уроке