Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Третий признак равенства треугольников

Треугольники

Третий признак равенства треугольников

План урока

  • Третий признак равенства треугольников;
  • Жёсткость треугольника.

Цели урока

  • Знать третий признак равенства треугольников;
  • Уметь применять его при решении задач.

Разминка

  • Какие треугольники называются равными?
  • Что важно знать про элементы в равных треугольниках?
  • Сформулируйте первый признак равенства треугольников.
  • Сформулируйте второй признак равенства треугольников.

Третий признак равенства треугольников


Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.


Доказательство

Рис. 1. Треугольник АВС и треугольник РМК Рис. 1. Треугольник АВС и треугольник РМК

Рассмотрим ABC и PMK, у которых AB=PM, AC=PKBC=MK (рис. 1).

Надо доказать, что ABC=PMK.

 

Приложим ABC к PMK так, чтобы вершина A совместилась с вершиной P, а вершина B - с вершиной M, вершины C и K должны лежать по разные стороны от прямой AB.

Возможны три случая расположения CK и PKM (в зависимости от вида треугольников):

 

Докажем теорему для первого случая (рис. 2а).

Рис. 2а. Рис. 2а.

  1. AC=PK - по условию, значит, ACK - равнобедренный, тогда 1=2 как углы при основании равнобедренного треугольника.
  2. BC=MK - по условию, значит, MKC равнобедренный, тогда 3=4 как углы при основании равнобедренного треугольника.
  3. ACB=1+3PKM=2+4, значит, ACB=PKM.
  4. Рассмотрим PKM и ABC, у них AC=PKBC=MKACB=PKM. Тогда ABC=PKM по двум сторонам и углу между ними.

Второй и третий случаи докажите самостоятельно.


Пример 1

Рис. 5. Рис. 5.

Докажите, что MKC=MTC (рис. 5).                     


Решение

Рис. 5а. Рис. 5а.

  1. Проведём отрезок CM (рис. 5а).
  2. Рассмотрим MKC и MTCMK=MT - по условию, KC=TC - по условию, CM - общая.
  3. Тогда  MKC=MTC - по трём сторонам.

Отсюда следует, что MKC=MTC как соответствующие элементы в равных треугольниках.

 

Что и требовалось доказать.


Жёсткость треугольника

 

Третий признак равенства треугольников объясняет важное для практики свойство треугольника - жёсткость треугольника . Упор при установке кронштейна, подпорка для вертикально стоящего столба образуют треугольную конструкцию. 

 

Если стороны треугольника скреплены, то нельзя изменить ни один угол треугольника. 


Упражнение 1

Рис. 6. Рис. 6.

  1. На рисунке 6 AB=CDBC=AD.  Доказать, что ABC=ADC.
  2. Точки D и L расположены по разные стороны от прямой OM. Докажите, что OM биссектриса угла DOL, если OL=ODLM=DM.


Контрольные вопросы

 

  1. Сформулируйте третий признак равенства треугольников.
  2. Докажите этот признак.
  3. Какого условия будет достаточно, чтобы были равны равносторонние треугольники?


Ответы

Упражнение 1

 

2. Указание: докажите равенство треугольников DOM и LOM.

Соотношение между сторонами и углами треугольника

Треугольники
  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • Век демократизации. «Великие идеологии»

    История