Цифровая библиотека

Интернет-библиотека по школьным предметам от «Онлайн-школы». Библиотека поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

Например: формулы сокращенного умножения

Выбери класс

Выбери все классы

Все предметы
7 класс
Геометрия
Признаки равенства прямоугольных треугольников

Геометрия 7 класс Геометрия 7 класс

Конспект урока: Признаки равенства прямоугольных треугольников

Треугольники

14.02.2025

2229

Признаки равенства прямоугольных треугольников

План урока

Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Цели урока

Знать признаки равенства прямоугольных треугольников;
Уметь применять признаки равенства прямоугольных треугольников при решении задач.

Разминка

Какие фигуры называются равными?
Сформулируйте признаки равенства треугольников.
Сколько пар равных элементов надо указать для треугольников, чтобы доказать их равенство?

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Первый (по счету) признак равенства прямоугольных треугольников следует из первого признака равенства треугольников.

Рис. 1. Треугольники равны по двум катетам

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны (рис. 1).

Второй (по счету) признак равенства прямоугольных треугольников следует из второго признака равенства треугольников.

Рис. 2. Треугольники равны по катету и прилежащему к нему острому углу

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны (рис. 2).

Рис. 3. Треугольники равны по гипотенузе и острому углу

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны (рис. 3).

Доказательство

Рассмотрим треугольники $A B C$ и $P K M$ , $A B = P K$ , $∠ A = ∠ P$ (рис. 3). Надо доказать, что $∆ A B C = ∆ P K M$ .

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90 °$ :

$∠ B = 90 ° - ∠ A$ , $∠ K = 90 ° - ∠ P$ , т. к. $∠ A = ∠ P$ , то $∠ B = ∠ K$ .

$∆ A B C = ∆ P K M$ - по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Что и требовалось доказать.

Рис. 4. Треугольники АВС и РКМ равны по гипотенузе и катету

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны
(рис. 4).

Доказательство

Рассмотрим треугольники $A B C$ и $P K M$ , $A B = P K$ , $C B = M K$ (рис. 4). Надо доказать, что $∆ A B C = ∆ P K M$ .

$∠ C = ∠ M$ , значит при наложении одного треугольника на другой вершина $C$ совместится с вершиной $M$ , лучи $C B$ и $C A$ совместятся, соответственно, с лучами $M K$ и $M P$ .

$C B = M K$ по условию, значит, вершины $B$ и $K$ совместятся.

Докажем, что вершины $A$ и $P$ совместятся. Применим метод «от противного».

Предположим, что вершина $A$ не совместится с вершиной $P$ , тогда $A$ совместится с некоторой точкой $T$ , лежащей на луче $M P$ .

Рассмотрим $∆ P K T$ , он равнобедренный, т. к. $P K = T K$ , но углы при основании будут не равны ( $∠ P$ - тупой как смежный с острым углом $M P K$ , $∠ T$ - острый). Получили противоречие.

Значит, вершины $A$ и $P$ совместятся.

Получили, что при наложении треугольники $A B C$ и $P K M$ полностью совместятся, тогда $∆ A B C = ∆ P K M$ .

Что и требовалось доказать.

Рис. 5. Пример 1

Пример 1

По данным рисунка 5 докажите, что $K M = P O$ .

Решение

Рассмотрим треугольники $K O M$ и $P M O$ . Они оба прямоугольные.

$K O = P M$ - по условию, $O M$ - общая. Тогда $∆ K O M = ∆ P M O$ по гипотенузе и катету. $K M = P O$ как соответствующие элементы в равных треугольниках.

Что и требовалось доказать.

Упражнение 1

Рис. 6. Упражнение 1

1. На рисунке 6 изображены прямоугольные треугольники $N E T$ и $T O N$ , $E T = O N$ . Докажите, что $∆ N E T = ∆ T O N$ .

Рис. 7. Упражнение 1

2. На рисунке 7 изображены прямоугольные треугольники $P K M$ и $T M K$ , $K P = M T$ . Докажите, что $∆ P K M = ∆ T M K$ .

Рис. 8. Упражнение 1

3. На сторонах угла с вершиной в точке $O$ отмечены точки $R$ и $S$ . Из точки $R$ проведен перпендикуляр $R T$ к стороне $O S$ , из точки $S$ проведен перпендикуляр $S M$ к стороне $O R$ , $O T = O M$ (рис. 8). Докажите, что $∆ S O M = ∆ R O T$ .