Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Треугольники

08.12.2023
1248
0

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

План урока

  • Перпендикуляр к прямой
  • Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Цели урока

  • Знать определение перпендикуляра к прямой, теорему о единственности перпендикуляра к прямой
  • Знать определения медианы, биссектрисы и высоты треугольника, их свойства
  • Уметь строить медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Разминка

  • Какие прямые называются перпендикулярными?
  • Две прямые, перпендикулярные к третьей, … (продолжите утверждение)
  • Назовите элементы треугольника

Рис. 1. Отрезок МН – перпендикуляр к прямой m

Перпендикуляр к прямой

 

Проведём через точку M, не лежащую на прямой m, прямую c, перпендикулярную прямой m. Прямые m и c пересекаются в точке H


Отрезок MH называется  перпендикуляром , проведённым из точки M к прямой m, если прямые MH и m перпендикулярны.

 

Точка H называется основанием перпендикуляра .


Теорема 

 

Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.


Доказательство

Рис. 2.

Проведём прямую a и отметим точку AAa (рис. 2). Надо доказать, что существует AHa, и притом единственный.

 

1) Отметим на прямой a точки O и B и отложим от луча OB угол BOC, равный углу BOA. Если BOA=BOC, то они при наложении совместятся, при этом точка A совместится с точкой A1

Прямые AA1 и a пересекаются в точке H. Рассмотрим AOH и COH:

AOH=COHAO=OA1OH – общая, тогда AOH=COH по двум сторонам и углу между ними. 

Треугольники равны, значит соответствующие элементы равны, т. е. 1=2

1 и 2 - смежные, по свойству смежных углов 1+2=180°, отсюда 1=2=180° : 2=90°, т. е. AHa.

 

2) Предположим, что можно провести ещё один перпендикуляр из точки A к прямой aAHa и AH1a, т. е. AH и AH1 пересекаются в точке A - получили противоречие (две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются). Тогда перпендикуляр AH - единственный.


Медианы, биссектрисы и высоты треугольника


Рис. 3. АМ – медиана треугольника ABC

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.


В любом треугольнике можно провести три медианы. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке (замечательное свойство медиан треугольника).


Рис. 4. AA1 – биссектриса треугольника ABC

Биссектриса треугольника - это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.


В любом треугольнике можно провести три биссектрисы. Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (замечательное свойство биссектрис треугольника).


Рис. 5. АН1 – высота треугольника ABC

Высота треугольника - это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.


В любом треугольнике можно провести три высоты. Все высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке (замечательное свойство высот треугольника).


Упражнение 1

 

  1. Начертите треугольник и проведите три медианы. Середины сторон отмечайте с помощью линейки.
  2. Начертите треугольник и проведите три биссектрисы треугольника. Биссектрисы углов проводите с помощью транспортира.
  3. Начертите треугольник, у которого все углы острые, и проведите три высоты (с помощью чертёжного угольника).
  4. Начертите треугольник, у которого один угол прямой, и проведите высоты. Назовите точку пересечения высот.
  5. Начертите треугольник, у которого один угол тупой, и проведите три высоты.


Контрольные вопросы

 

1. Объясните, что такое перпендикуляр, проведённый из данной точки к данной прямой.

2. Прочитайте наизусть теорему о перпендикуляре. 

3. Что такое медиана треугольника?

4. В чём заключается замечательное свойство медиан треугольника?

5. Что такое биссектриса треугольника?

6. В чём заключается замечательное свойство биссектрис треугольника?

7. Что такое высота треугольника?

8. В чём заключается замечательное свойство высот треугольника?


Ответы

Предыдущий урок
Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
Треугольники
Следующий урок
Прямоугольные треугольники
Треугольники
Урок подготовил(а)
teacher
Валерия Александровна
Учитель математики
Опыт работы: более 20 лет
Поделиться:
  • Атлантический океан. Северный Ледовитый океан

    География

  • Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности

    Алгебра

  • Сумма углов треугольника

    Геометрия

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке