- Свойство острых углов прямоугольного треугольника;
- Свойства прямоугольного треугольника, имеющего угол в .
- Знать свойства прямоугольного треугольника;
- Уметь применять свойства прямоугольного треугольника при решении задач.
- Сформулируйте теорему о сумме углов треугольника.
- Какой треугольник называется прямоугольным?
- Как называются стороны прямоугольного треугольника?
Свойство острых углов прямоугольного треугольника
Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна .
Доказательство
![](/upload/vPsrtp9GeFrJ_496.png)
Рассмотрим прямоугольный треугольник (рис. 1).
, , значит, .
Что и требовалось доказать.
Пример 1
В треугольнике угол - прямой, .
Найдите и .
Решение
Рассмотрим прямоугольный треугольник . Пусть - одна часть, тогда , . По свойству прямоугольного треугольника .
,
,
.
- одна часть.
,
.
Ответ: .
Свойства прямоугольного треугольника, имеющего угол в
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в , равен половине гипотенузы.
Доказательство
![](/upload/LVLYZ0SpDP7n_495%2520%25D0%25A3%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25BA%252017.%2520%25D0%259D%25D0%25B5%25D0%25BA%25D0%25BE%25D1%2582%25D0%25BE%25D1%2580%25D1%258B%25D0%25B5%2520%25D1%2581%25D0%25B2%25D0%25BE%25D0%25B9%25D1%2581%25D1%2582%25D0%25B2%25D0%25B0%2520%25D0%25BF%25D1%2580%25D1%258F%25D0%25BC%25D0%25BE%25D1%2583%25D0%25B3%25D0%25BE%25D0%25BB%25D1%258C%25D0%25BD%25D1%258B%25D1%2585%2520%25D1%2582%25D1%2580%25D0%25B5%25D1%2583%25D0%25B3%25D0%25BE%25D0%25BB%25D1%258C%25D0%25BD%25D0%25B8%25D0%25BA%25D0%25BE%25D0%25B2%2520%25D0%25A0%25D0%25B8%25D1%2581.%25202.png)
Рассмотрим прямоугольный треугольник (рис. 2), в котором , . Тогда по теореме о сумме углов в треугольнике . Надо доказать, что .
Приложим к треугольнику равный ему треугольник так, чтобы получился треугольник , у которого все углы по . Получили, что треугольник - равносторонний, т.е. .
, а значит, .
Что и требовалось доказать.
Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен .
Доказательство
![](/upload/WLhud5uUC7Fy_494.png)
Рассмотрим прямоугольный треугольник (рис. 3), в котором , . Надо доказать, что .
Приложим к треугольнику равный ему треугольник так, чтобы получился треугольник , у которого все стороны равны, тогда и все углы треугольника равны, каждый угол равен .
, значит, .
Что и требовалось доказать.
Пример 2
В треугольнике , , . Найдите длину .
Решение
Рассмотрим прямоугольный треугольник , в котором , . По свойству прямоугольного треугольника , .
Сторона лежит против угла , равного , значит, по свойству прямоугольного треугольника, , .
Ответ: 10 см.
Упражнение 1
- В прямоугольном треугольнике один их углов равен , разность гипотенузы и меньшего катета равна 10 см. Найдите длину гипотенузы
Контрольные вопросы
1. Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника?
2. Сформулируйте свойства прямоугольного треугольника, имеющего угол в .
Упражнение 1
20 см.