Конспект урока: Первый признак равенства треугольников

[header]Первый признак равенства треугольников[/header]

[flex column='true'][row title='План урока']

• Треугольник;
• Равные треугольники;
• Первый признак равенства треугольника.

[/row][row title='Цели урока']

• Знать определение треугольника, его элементы;
• Знать, что такое теорема;
• Знать первый признак равенства треугольников;
• Уметь применять этот признак при решении задач.

[/row][row title='Разминка' final='true']

• Приведите примеры геометрических фигур, которые можно составить из отрезков.
• Назовите простейшую из них.
• Кроме отрезков, какие ещё геометрические фигуры можно увидеть в треугольнике?
• Какие фигуры называются равными?

[/row][/flex]

Треугольник

[line][/line]

[section icon='note']

Треугольник – это геометрическая фигура, составленная из отрезков, соединяющих три точки, не лежащие на одной прямой.

[/section]

[line][/line]

[img url='/upload/Qb3ASm0bKEcv_412.png' name='Рис. 1. Δ АВС' float='right' width='30']

Точки $A, B, C$ - вершины треугольника, по ним составляется название фигуры: «Треугольник $ABC$». Слово «треугольник» заменяют знаком $∆$ и записывают $∆ABC$.

Отрезки $AB, BC, AC$ - стороны треугольника.

$\angle BAC, \angle ABC, \angle BCA$ - углы треугольника. Углы треугольника можно называть по его вершинам: $\angle A, \angle B, \angle C$.

[/img]

[line][/line]

[section icon='note']

Сумма длин всех сторон - это периметр треугольника.

[/section]

[line][/line]

[section icon='exercise']

Упражнение 1

Найдите периметр треугольника $MED$, если $ME=25$ cм, $ED=350$ мм, $DM=4,5$ дм.

[/section]

[line][/line]

Равные треугольники

Чтобы выяснить, равны ли между собой два данных треугольника, можно совместить их наложением. Если попарно совместятся вершины и стороны треугольников, то треугольники будут равны.

[line][/line]

[section icon='note']

Если два треугольника равны, то элементы одного треугольника (стороны и углы) соответственно равны элементам другого треугольника.

В равных треугольниках против соответственно равных сторон (совмещающихся при наложении) лежат равные углы.

Будет верным и обратное утверждение. В равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны.

[/section]

[line][/line]

[img url='/upload/r83Yk3vr1L0a_409.png' name='Рис. 2. Δ SОM = Δ KАB' float='right' width='40']

На рисунке 2 треугольники $SOM$ и $KAB$ равны. Пишут так: $∆SOM=∆KAB$.

Соответственные элементы этих треугольников равны:

$SM=BK$, $\angle S=\angle K$, 

$SO=AK$, $\angle M=\angle B$, 

$OM=AB$, $\angle O=\angle A$.

[/img]

Первый признак равенства треугольников

Устанавливать равенство треугольников (равенство шести пар элементов) с помощью совмещения не всегда удобно. На практике невозможно сравнивать с помощью наложения земельные участки, элементы зданий и т. п. Но, оказывается, можно установить их равенство, измерив и сравнив некоторые элементы.

Равенство двух треугольников можно установить, сравнивая только некоторые их элементы. Например, если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Чтобы применять это утверждение, надо установить его справедливость, применяя при рассуждениях уже полученные знания, изученные факты.  Утверждение, справедливость которого надо установить, называется теоремой, а рассуждения - это доказательство теоремы. 

Запомните, что все теоремы надо учить наизусть.

[line][/line]

[section icon='note']

Теорема (первый признак равенства треугольников)

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

[/section]

[line][/line]

Доказательство

[img url='/upload/8C4lweKrrfWy_414.png' name='Рис. 3. Δ FDC и Δ DEF' float='right' width='40']

Рассмотрим $∆ABC$ и $∆DEF$ (Рис. 3), у которых $AB=DE$, $AC=DF$, $\angle A=\angle D$. 

Надо доказать, что $∆ABC=∆DEF$.

1. $\angle A=\angle D$, значит, при наложении углы совместятся, т. е. совместятся и вершины $A$ и $D$, и стороны углов $AB$ и $DE$, $AC$ и $DF$.
2. Если $AB=DE$ и вершины $A$ и $D$ совмещены, то при наложении совместятся вершины $B$ и $E$.
3. Если $AC=DF$ и вершины $A$ и $D$ совмещены, то при наложении совместятся вершины $C$ и $F$.

Три вершины треугольника $ABC$ совместятся с вершинами треугольника $DEF$, при этом совместятся и стороны треугольников. $∆ABC$ и $∆DEF$ полностью совместятся, значит, $∆ABC=∆DEF$, что и требовалось доказать.

[/img]

[line][/line]

Доказав теорему, мы можем применять это утверждение при решении задач и на практике.

[line][/line]

[section icon='example']

Пример 1

В треугольниках $ABC$ и $DBC$ $AB=DB$ и $\angle ABC=\angle DBC$. 

Докажите, что $\angle A=\angle D$. 

[/section]

[line][/line]

Решение

[img url='/upload/DdUUfQzapsFA_411.png' name='Рис. 4. Пример 1' float='right' width='30']

Рассмотрим $∆ABC$ и $∆DBC$ (рис. 4), у них $AB=BD$ (по условию), $\angle ABC=\angle DBC$ (по условию), $BC$ - общая сторона. 

Тогда $∆ABC=∆DBC$ - по двум сторонам и углу между ними. 

Треугольники равны, значит, соответствующие элементы равны, т. е. $\angle A=\angle D$, что и требовалось доказать.

[/img]

[line][/line]

[section icon='exercise']

Упражнение 2

1. На рисунке 5 $OB=OK$, $OR=OL$. Докажите, что: а) $∆BOR=∆KOL$; б) $BR=KL$.

2. На рисунке 6 $SU=PA$, $\angle 1=\angle 2$, $\angle SUP=120°$. а) Докажите, что $∆SUP=∆PAS;$ б) Найдите градусную меру $\angle PAS$.

[img url='/upload/hPIq7Ei3gmEg_413.png' width='100'][/img]

[/section]

[line][/line]

[section icon='question']

Контрольные вопросы

1. Что такое треугольник? Назовите его элементы.
2. Как найти периметр треугольника.
3. Какие треугольники называются равными?
4. Что такое теорема?
5. Прочитайте наизусть первый признак равенства треугольников.
6. Докажите первый признак равенства треугольников.

[/section]

[line][/line]

[flex column='true'][row title='Ответы' final='true']

Упражнение 1

1. $105$ см.

Упражнение 2

2. б) $120°$.

[/row][/flex]