- Признаки равенства прямоугольных треугольников.
- Знать признаки равенства прямоугольных треугольников;
- Уметь применять признаки равенства прямоугольных треугольников при решении задач.
- Какие фигуры называются равными?
- Сформулируйте признаки равенства треугольников.
- Сколько пар равных элементов надо указать для треугольников, чтобы доказать их равенство?
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Первый (по счету) признак равенства прямоугольных треугольников следует из первого признака равенства треугольников.
![](/upload/4BHanrZk89ft_455.png)
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны (рис. 1).
Второй (по счету) признак равенства прямоугольных треугольников следует из второго признака равенства треугольников.
![](/upload/czGdVICKST3b_460.png)
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны (рис. 2).
![](/upload/YYY7CQCqp2fe_459.png)
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны (рис. 3).
Доказательство
Рассмотрим треугольники и , , (рис. 3). Надо доказать, что .
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна :
, , т. к. , то .
- по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Что и требовалось доказать.
![](/upload/wDSLo9HywUPb_457.png)
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны
(рис. 4).
Доказательство
Рассмотрим треугольники и , , (рис. 4). Надо доказать, что .
, значит при наложении одного треугольника на другой вершина совместится с вершиной , лучи и совместятся, соответственно, с лучами и .
по условию, значит, вершины и совместятся.
Докажем, что вершины и совместятся. Применим метод «от противного».
Предположим, что вершина не совместится с вершиной , тогда совместится с некоторой точкой , лежащей на луче .
Рассмотрим , он равнобедренный, т. к. , но углы при основании будут не равны ( - тупой как смежный с острым углом , - острый). Получили противоречие.
Значит, вершины и совместятся.
Получили, что при наложении треугольники и полностью совместятся, тогда .
Что и требовалось доказать.
![](/upload/EQlpOqR9Kpw2_458.png)
Пример 1
По данным рисунка 5 докажите, что .
Решение
Рассмотрим треугольники и . Они оба прямоугольные.
- по условию, - общая. Тогда по гипотенузе и катету. как соответствующие элементы в равных треугольниках.
Что и требовалось доказать.
Упражнение 1
![](/upload/2or7rZaF9tuC_461.png)
1. На рисунке 6 изображены прямоугольные треугольники и , . Докажите, что .
![](/upload/53hKI8cDgQ4J_462.png)
2. На рисунке 7 изображены прямоугольные треугольники и , . Докажите, что .
![](/upload/dMomcAEPWYDr_454.png)
3. На сторонах угла с вершиной в точке отмечены точки и . Из точки проведен перпендикуляр к стороне , из точки проведен перпендикуляр к стороне , (рис. 8). Докажите, что .
![](/upload/OnpSnrz3fPzU_456.png)
4. - биссектриса угла (рис. 9), , . Докажите, что .
Контрольный вопрос
Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников.
Упражнение 1
1. - по гипотенузе и катету.
2. - по двум катетам.
3. - по катету и острому углу.
4. - по гипотенузе и острому углу.