Конспект урока: Пропорции

Понятие «пропорция»

«Пропорция» — происходит от латинского слова proportio, означающего соразмерность, определенное соотношение частей между собой. Слово «пропорция» ввел в употребление Цицерон в 1 веке до н. э., переводя на латынь платоновский термин «аналогия», который буквально означал «вновь-отношение», или, как мы говорим, «соотношение». С тех пор вот уже 2000 лет пропорцией в математике называют равенство между отношениями четырёх величин $a, b, c, d.$

Такую запись читают «отношение $a$ к $b$ равно отношению $c$ к $d$», или «$a$ относится к $b,$ как $c$ относится к $d$».

На рис. 1 показано, как называются все четыре числа, входящие в пропорцию. Числа $a$ и $d$ называют  крайними членами пропорции , а числа $b$ и $c$  — средними членами пропорции .

Рис. 1. Члены пропорции

В пропорции $20 : 0,5 = 8 : 0,2$ числа 20 и 0,2 — крайние члены пропорции, а 0,5 и 8 — средние члены пропорции.

$20 : 0,5 = 40,$

$8 : 0,2 = 40.$

В таком случае говорят, что  пропорция 20 : 0,5 = 8 : 0,2 верна .

Если мы изменим порядок чисел в этой пропорции и поменяем местами средний и крайний члены пропорции, то получим два отношения:

$0,5 : 20 = 0,025$

$8 : 0,2 = 40$

Значения этих отношений разное, поэтому они не могут образовать пропорцию.

Основное свойство пропорции

Из этого свойства можно сделать два вывода:

1. Чтобы проверить верная пропорция или нет, можно сравнить произведения средних и крайних членов данной пропорции.

2. В пропорции можно менять местами одинаковые члены пропорции (два средних или два крайних) и она будет оставаться верной.

Возьмем пропорцию $20 : 0,5 = 8 : 0,2.$

Попробуем составить новые пропорции с этими же данными:

$0,2 : 0,5 = 8 : 20;$

$0,2 : 8 = 0,5 : 20;$

$20 : 8 = 0,5 : 0,2.$

Путем перестановки членов пропорции мы получили еще 3 новых пропорции. 

3. Если $a, b, c, d$ — числа, отличные от нуля, и $ad = bc,$ то отношения $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ равны.

Решение уравнений

Найдем неизвестный член пропорции $20 : x = 8 : 0,2.$

Используя основное свойство пропорции: 

$8x = 20 · 0,2$

$x$ — это второй множитель. Чтобы его найти, нужно произведение разделить на первый множитель. Запишем это частное в виде дроби:

$x=\frac{20 · 0,2}{8}$

$x=0,5.$

Заметим, что 20 и 0,2 — это крайние члены пропорции, а $x$ и 8 — средние.

Правило нахождения средних и крайних членов пропорции в уравнении

Решение

Подберем пары чисел, произведения которых будут равными:

$0,7·4,2=2,94$

$0,3·9,8=2,94.$

Пусть первая пара будет крайними членами пропорции, а вторая – средними. Составим пропорцию:

$0,7:9,8=0,3:4,2$

Поменяем местами члены пропорции:

$0,7:0,3= 9,8:4,2 ;$

$4,2:9,8=0,3:0,7;$

$4,2:0,3=9,8:0,7.$

Ответ: $0,7:9,8=0,3:4,2$ ; $0,7:0,3= 9,8:4,2 ;$ $4,2:9,8=0,3:0,7;$ $4,2:0,3=9,8:0,7.$

Решение

По основному свойству пропорции:

$4(x+4)=10·5$,

$x+4=\frac{10·5}{4}$,

$x+4=12\frac{1}{2}$,

$x=12\frac{1}{2}-4$,

$x=8\frac{1}{2}$.

Ответ: $8\frac{1}{2}$.

Решение

Воспользуемся основным свойством пропорции:

$a·9=11·b$,

$a=\frac{11b}{9}$,

$\frac{a}{b}=\frac{11b}{9}:b$,

$\frac{a}{b}=\frac{11}{9}$.

Ответ: $\frac{11}{9}$.

Решение

Пусть 5 кг конфет стоит $x$ рублей. Запишем краткую запись к задаче:

3,5 кг — 1225 рублей

5 кг — $x$ рублей.

Отношения $\frac{1225}{3,5}$ и $\frac{x}{5}$ равны, так как каждое из них показывает, сколько стоит 1 кг конфет. Составим пропорцию:

$\frac{1225}{3,5}=\frac{x}{5}$, отсюда

$x=\frac{1225 · 5}{3,5}$,

$x=1750$.

Ответ: $1750$ рублей.