- Понятие «пропорция»
- Основное свойство пропорции
- Решение уравнений
- Знать, что такое пропорция, основное свойство пропорции
- Уметь составлять пропорции, решать задачи и уравнения с помощью пропорции
- Что такое отношение?
- Что показывает отношение?
Понятие «пропорция»
«Пропорция» — происходит от латинского слова proportio, означающего соразмерность, определенное соотношение частей между собой. Слово «пропорция» ввел в употребление Цицерон в 1 веке до н. э., переводя на латынь платоновский термин «аналогия», который буквально означал «вновь-отношение», или, как мы говорим, «соотношение». С тех пор вот уже 2000 лет пропорцией в математике называют равенство между отношениями четырёх величин
Пропорция — равенство двух отношений
или
Такую запись читают «отношение к равно отношению к », или « относится к как относится к ».
На рис. 1 показано, как называются все четыре числа, входящие в пропорцию. Числа и называют крайними членами пропорции, а числа и — средними членами пропорции.
В пропорции числа 20 и 0,2 — крайние члены пропорции, а 0,5 и 8 — средние члены пропорции.
В таком случае говорят, что пропорция 20 : 0,5 = 8 : 0,2 верна.
Если мы изменим порядок чисел в этой пропорции и поменяем местами средний и крайний члены пропорции, то получим два отношения:
Значения этих отношений разное, поэтому они не могут образовать пропорцию.
Основное свойство пропорции
Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.
Если , то
Из этого свойства можно сделать два вывода:
1. Чтобы проверить верная пропорция или нет, можно сравнить произведения средних и крайних членов данной пропорции.
2. В пропорции можно менять местами одинаковые члены пропорции (два средних или два крайних) и она будет оставаться верной.
Возьмем пропорцию
Попробуем составить новые пропорции с этими же данными:
Путем перестановки членов пропорции мы получили еще 3 новых пропорции.
3. Если — числа, отличные от нуля, и то отношения и равны.
Решение уравнений
Найдем неизвестный член пропорции
Используя основное свойство пропорции:
— это второй множитель. Чтобы его найти, нужно произведение разделить на первый множитель. Запишем это частное в виде дроби:
Заметим, что 20 и 0,2 — это крайние члены пропорции, а и 8 — средние.
Правило нахождения средних и крайних членов пропорции в уравнении
Чтобы найти крайний член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний.
Чтобы найти средний член пропорции, нужно произведение крайних разделить на известный средний член пропорции.
Пример 1
Составьте все возможные верные пропорции, используя числа 0,3; 0,7; 4,2; 9,8.
Решение
Подберем пары чисел, произведения которых будут равными:
Пусть первая пара будет крайними членами пропорции, а вторая – средними. Составим пропорцию:
Поменяем местами члены пропорции:
Ответ: ;
Пример 2
Решите уравнение .
Решение
По основному свойству пропорции:
,
,
,
,
.
Ответ: .
Пример 3
Найдите отношение к если .
Решение
Воспользуемся основным свойством пропорции:
,
,
,
.
Ответ: .
Пример 4
Сколько стоит 5 кг конфет, если за 3,5 кг заплатили 1225 рублей?
Решение
Пусть 5 кг конфет стоит рублей. Запишем краткую запись к задаче:
3,5 кг — 1225 рублей
5 кг — рублей.
Отношения и равны, так как каждое из них показывает, сколько стоит 1 кг конфет. Составим пропорцию:
, отсюда
,
.
Ответ: рублей.
Упражнения
1. Решите уравнение:
2. Используя числа 24, 3, 18 и 4, составьте 4 верных пропорции.
3. Из 300 кг семян льна получают 144 кг масла. Сколько масла получат из 225 кг семян льна? Сколько семян льна требуется, чтобы получить 420 кг масла?
Контрольные вопросы
1. Что такое пропорция?
2. Какую пропорцию называют верной?
3. Сформулируйте основное свойство пропорции.
4. Как составить 3 пропорции, используя данные одной верной пропорции?
1. 90.
2. 24 : 4 = 18 : 3; 24 : 18 = 4 : 3; 3 : 4 = 18 : 24; 3 : 18 = 4 : 24.
3. 108 кг, 875 кг.