Отношения

Отношения

План урока

Отношение
Основное свойство отношения
Смысл числового значения отношения

Цели урока

Знать понятие «отношение», основное свойство отношения, масштаб.
Уметь находить отношения величин, решать задачи по теме «масштаб».

Разминка

Как узнать, во сколько раз одно число больше другого?
Каким арифметическим действием можно заменить черту дроби?

Когда в задачах спрашивается «во сколько раз больше/во сколько раз меньше» одна величина, чем другая, имеют в виду нахождение отношения этих величин.

Частное двух чисел $a$ и $b,$ отличных от нуля, называют отношением чисел $a$ и $b,$ или отношением числа $a$ к числу $b .$

Отношение чисел $a$ и $b$ можно записать как $a : b$ или $\frac{a}{b}$ , где $a$ и $b$ — члены отношения , число $a$ называется предыдущим членом, $b$ — последующим .

Если числа $a$ и $b$ натуральные или являются десятичными дробями, то их отношение удобнее записать в виде дроби. Если числа $a$ и $b$ смешанные или обыкновенные дроби, то их отношение удобнее записать как частное с помощью знака “ : ”. Например:

$\frac{1, 4}{6}; \frac{2}{3}; 2 \frac{3}{7} : \frac{1}{2} .$

Используя основное свойство дроби, мы можем умножить или разделить числитель и знаменатель дроби на одно и то же число, не равное нулю. Так как отношение записывается в виде дроби, то и на него распространяется это свойство.

Основное свойство отношения

Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Например:

$\frac{3, 4}{2, 3} = \frac{3, 4 \cdot 10}{2, 3 \cdot 10} = \frac{34}{23}; \frac{2}{5} : \frac{3}{7} = (\frac{2}{5} \cdot 35) : (\frac{3}{7} \cdot 35) = 14 : 15 .$

Эти примеры показывают, что отношение дробных чисел можно заменить отношением натуральных чисел.

Пример 1

Найдите отношение 4,5 дм к 9 см.

Решение

Найдем частное этих величин, для чего выразим их в одинаковых единицах измерения и выполним деление.

4,5 дм : 9 см = 45 см : 9 см = 5.

Ответ: 5.

Пример 2

Замените отношение $\frac{3}{4} : \frac{5}{18}$ отношением натуральных чисел.

Решение

Умножим каждую из дробей на их наименьший общий знаменатель 36:

$\frac{3}{4} : \frac{5}{18} = (\frac{3 \cdot 36}{4}) : (\frac{5 \cdot 36}{18}) = 27 : 10$ .

Ответ: 27 : 10.

Пример 3

Отношение чисел $a$ и $b$ равно $4 \frac{1}{4}$ . Найдите отношение $\frac{a + b}{a}$ .

Решение

$\frac{a + b}{a} = \frac{a}{a} + \frac{b}{a} = 1 + \frac{b}{a}$ .

Так как $\frac{a}{b} = 4 \frac{1}{4}$ , то $\frac{b}{a} = \frac{4}{17}$ .

Тогда $\frac{a + b}{a} = 1 + \frac{4}{17} = 1 \frac{4}{17}$ .

Ответ: $1 \frac{4}{17}$ .

Смысл числового значения отношений

Отношение чисел $a$ и $b$ показывает, во сколько раз число $a$ больше числа $b$ или какую часть число $a$ составляет от числа $b .$

Пример 4

Мешок с красными яблоками весит 20 кг, а мешок с зелёными весит 10 кг. Во сколько раз мешок с красными яблоками тяжелее мешка с зелёными? Какую часть от красных яблок составляют зелёные?

Решение

1) $20$ кг $: 10$ кг $= 2$ — во столько раз мешок с красными яблоками тяжелее мешка с зелеными.

2) $10$ кг $: 20$ кг $= \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ — такую часть красных яблок составляют зеленые.

Ответ: в 2 раза; $\frac{1}{2}$ часть.

Рис. 1. Карта и масштаб

Понятие отношения встречается в разных величинах, например, скорость — это отношение пути к затраченному времени; цена — это отношение стоимости товара к его количеству; масштаб — отношение длины выбранного отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности. На рис. 1 изображена карта с масштабом 1 : 100 000. Это значит, что 1 см на карте соответствует 100 000 см на местности (100 000см = 1 км). Если необходимо найти расстояние между двумя объектами, между которыми на карте 2 см, нужно расстояние на карте умножить на 100 000.

$2$ см $\cdot 100 000 = 200 000$ см $= 2$ км.

Пример 5

Расстояние между двумя городами на местности равно 405 км, а на карте — 4,5 см. Найдите масштаб карты.

Решение

Для того, чтобы найти масштаб, найдем отношение расстояний на карте и на местности.

405 км = 405 000 м = 40 500 000 см

4,5 : 40 500 000 = 1 : 9 000 000.

Масштаб карты 1 : 9 000 000.

Ответ: 1 : 9 000 000.

Упражнения

1. Найдите отношение:

1) 2,4 : 0,06; 2) 1,6 : 4,8; 3) 2,7 : 72; 4) 2 дм : 4 см;

5) 14 м : 1,4 км; 6) 12 кг : 240 г.

2. Расстояние на карте между двумя городами равно 2,4 см. Каково расстояние между этими городами на местности, если масштаб карты равен 1 : 400 000?

3. Замените отношение дробных чисел отношением натуральных чисел:

1) $1 : \frac{4}{7}$ ; 2) $\frac{1}{6} : \frac{3}{4}$ ; 3) $0, 6 : 0, 04$ .

Контрольные вопросы

1. Что такое отношение?

2. Что показывает отношение?

3. Какими способами можно записать отношение?

4. Назовите величину, являющуюся отношением двух других величин. Приведите 2 примера.

5. Что обозначает масштаб 1 : 3 000 000?

Ответы

1. 1) 40; 2) 0,(3) или $\frac{1}{3}$ ; 3) 0,0375; 4) 5; 5) 0,01; 6) 50.

2. 960 000 см = 9,6 км.

3. 1) 7:4; 2) 2:9; 3) 15:1

Конспект урока: Отношения