Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Признаки равенства прямоугольных треугольников

Треугольники

Признаки равенства прямоугольных треугольников

План урока

  • Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Цели урока

  • Знать признаки равенства прямоугольных треугольников;
  • Уметь применять признаки равенства прямоугольных треугольников при решении задач.

Разминка

  • Какие фигуры называются равными?
  • Сформулируйте признаки равенства треугольников.
  • Сколько пар равных элементов надо указать для треугольников, чтобы доказать их равенство?

Признаки равенства прямоугольных треугольников

 

Первый (по счету) признак равенства прямоугольных треугольников следует из первого признака равенства треугольников.


Рис. 1. Треугольники равны по двум катетам Рис. 1. Треугольники равны по двум катетам

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны (рис. 1).


Второй (по счету) признак равенства прямоугольных треугольников следует из второго признака равенства треугольников.


Рис. 2. Треугольники равны по катету и прилежащему к нему острому углу Рис. 2. Треугольники равны по катету и прилежащему к нему острому углу

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны (рис. 2).

Рис. 3. Треугольники равны по гипотенузе и острому углу Рис. 3. Треугольники равны по гипотенузе и острому углу

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны (рис. 3).


Доказательство

 

Рассмотрим ABC и PKMAB=PKA=P (рис. 3). Надо доказать, что ABC=PKM.

 

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°:

B=90°-AK=90°-P, т. к. A=P, то B=K.

ABC=PKM - по стороне и двум прилежащим к ней углам.

 

Что и требовалось доказать.


Рис. 4. Треугольники АВС и РКМ равны по гипотенузе и катету Рис. 4. Треугольники АВС и РКМ равны по гипотенузе и катету

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны (рис. 4).


Доказательство

 

Рассмотрим ABC и PKMAB=PKCB=MK (рис. 4). Надо доказать, что ABC=PKM.

 

C=M, значит при наложении одного треугольника на другой вершина C совместится с вершиной M, лучи CB и CA совместятся, соответственно, с лучами MK и MP.

 

CB=MK по условию, значит, вершины B и K совместятся.

Докажем, что вершины A и P совместятся. Применим метод «от противного».

 

Предположим, что вершина A не совместится с вершиной P, тогда A совместится с некоторой точкой T, лежащей на луче MP

 

Рассмотрим PKT, он равнобедренный, т. к. PK=TK, но углы при основании будут не равны (P - тупой как смежный с острым углом MPKT - острый). Получили противоречие.

 

Значит, вершины A и P совместятся.

 

Получили, что при наложении ABC и PKM полностью совместятся, тогда ABC=PKM.

 

Что и требовалось доказать.


Рис. 5. Пример 1 Рис. 5. Пример 1

Пример 1

 

Докажите, что KM=PO (рис. 5).                                                                                      


Решение

 

Рассмотрим KOM и PMO. Они оба прямоугольные.

 

KO=PM - по условию, OM - общая. Тогда KOM=PMO по гипотенузе и катету. KM=PO как соответствующие элементы в равных треугольниках.

 

Что и требовалось доказать.


Упражнение 1

Рис. 6. Упражнение 1 Рис. 6. Упражнение 1

1. На рисунке 6 изображены прямоугольные треугольники NET и TONET=ON. Докажите, что NET=TON.

Рис. 7. Упражнение 1 Рис. 7. Упражнение 1

2. На рисунке 7 изображены прямоугольные треугольники PKM и TMKKP=MT. Докажите, что PKM=TMK.

Рис. 8. Упражнение 1 Рис. 8. Упражнение 1

3. На сторонах угла с вершиной в точке O отмечены точки R и S. Из точки R проведен перпендикуляр к стороне OS, из точки S проведен перпендикуляр к стороне OROT=OM (рис. 8). Докажите, что SOM=ROT.

Рис. 9. Упражнение 1 Рис. 9. Упражнение 1

4. AK - биссектриса угла TAP (рис. 9), KTATKPAP. Докажите, что ATK=APK.


Контрольный вопрос

 

Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников.


Ответы

Упражнение 1

 

1. NET=TON - по гипотенузе и катету.

2. PKM=TMK - по двум катетам.

3. SOM=ROT - по катету и острому углу.

4. ATK=APK - по гипотенузе и острому углу.

Предыдущий урок
Сумма углов треугольника
Треугольники
Следующий урок
Первый признак равенства треугольников
Треугольники
  • Ф.А. Абрамов. «О чем плачут лошади»

    Литература

  • Ускорение. Прямолинейное равноускоренное движение

    Физика

  • О простых и составных числах

    Алгебра

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке