- Перпендикуляр к прямой
- Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
- Знать определение перпендикуляра к прямой, теорему о единственности перпендикуляра к прямой
- Знать определения медианы, биссектрисы и высоты треугольника, их свойства
- Уметь строить медианы, биссектрисы и высоты треугольника
- Какие прямые называются перпендикулярными?
- Две прямые, перпендикулярные к третьей, … (продолжите утверждение)
- Назовите элементы треугольника
Рис. 1. Отрезок МН – перпендикуляр к прямой m
Перпендикуляр к прямой
Проведём через точку , не лежащую на прямой , прямую , перпендикулярную прямой . Прямые и пересекаются в точке .
Отрезок называется перпендикуляром , проведённым из точки к прямой , если прямые и перпендикулярны.
Точка называется основанием перпендикуляра .
Теорема
Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
Доказательство
Рис. 2.
Проведём прямую и отметим точку , (рис. 2). Надо доказать, что существует , и притом единственный.
1) Отметим на прямой точки и и отложим от луча угол , равный углу . Если , то они при наложении совместятся, при этом точка совместится с точкой .
Прямые и пересекаются в точке . Рассмотрим и :
, , – общая, тогда по двум сторонам и углу между ними.
Треугольники равны, значит соответствующие элементы равны, т. е. .
и - смежные, по свойству смежных углов , отсюда , т. е. .
2) Предположим, что можно провести ещё один перпендикуляр из точки к прямой : и , т. е. и пересекаются в точке - получили противоречие (две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются). Тогда перпендикуляр - единственный.
Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
Рис. 3. АМ – медиана треугольника ABC
Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
В любом треугольнике можно провести три медианы. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке (замечательное свойство медиан треугольника).
Рис. 4. AA1 – биссектриса треугольника ABC
Биссектриса треугольника - это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
В любом треугольнике можно провести три биссектрисы. Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (замечательное свойство биссектрис треугольника).
Рис. 5. АН1 – высота треугольника ABC
Высота треугольника - это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
В любом треугольнике можно провести три высоты. Все высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке (замечательное свойство высот треугольника).
Упражнение 1
- Начертите треугольник и проведите три медианы. Середины сторон отмечайте с помощью линейки.
- Начертите треугольник и проведите три биссектрисы треугольника. Биссектрисы углов проводите с помощью транспортира.
- Начертите треугольник, у которого все углы острые, и проведите три высоты (с помощью чертёжного угольника).
- Начертите треугольник, у которого один угол прямой, и проведите высоты. Назовите точку пересечения высот.
- Начертите треугольник, у которого один угол тупой, и проведите три высоты.
Контрольные вопросы
1. Объясните, что такое перпендикуляр, проведённый из данной точки к данной прямой.
2. Прочитайте наизусть теорему о перпендикуляре.
3. Что такое медиана треугольника?
4. В чём заключается замечательное свойство медиан треугольника?
5. Что такое биссектриса треугольника?
6. В чём заключается замечательное свойство биссектрис треугольника?
7. Что такое высота треугольника?
8. В чём заключается замечательное свойство высот треугольника?
