Цифровая библиотека

Интернет-библиотека по школьным предметам от «Онлайн-школы». Библиотека поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

Например: формулы сокращенного умножения

Выбери класс

Выбери все классы

Все предметы
7 класс
Геометрия
Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Геометрия 7 класс Геометрия 7 класс

Конспект урока: Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Треугольники

13.02.2025

2486

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

План урока

Перпендикуляр к прямой
Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Цели урока

Знать определение перпендикуляра к прямой, теорему о единственности перпендикуляра к прямой
Знать определения медианы, биссектрисы и высоты треугольника, их свойства
Уметь строить медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Разминка

Какие прямые называются перпендикулярными?
Две прямые, перпендикулярные к третьей, … (продолжите утверждение)
Назовите элементы треугольника

Рис. 1. Отрезок МН – перпендикуляр к прямой m

Перпендикуляр к прямой

Проведём через точку $M$ , не лежащую на прямой $m$ , прямую $c$ , перпендикулярную прямой $m$ . Прямые $m$ и $c$ пересекаются в точке $H$ .

Отрезок $M H$ называется перпендикуляром, проведённым из точки $M$ к прямой $m$ , если прямые $M H$ и $m$ перпендикулярны.

Точка $H$ называется основанием перпендикуляра.

Теорема

Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Доказательство

Рис. 2.

Проведём прямую $a$ и отметим точку $A$ , $A \notin a$ (рис. 2). Надо доказать, что существует $A H ⊥ a$ , и притом единственный.

1) Отметим на прямой $a$ точки $O$ и $B$ и отложим от луча $O B$ угол $B O C$ , равный углу $B O A$ . Если $∠ B O A = ∠ B O C$ , то они при наложении совместятся, при этом точка $A$ совместится с точкой $A_{1}$ .

Прямые $A A_{1}$ и $a$ пересекаются в точке $H$ . Рассмотрим $∆ A O H$ и $∆ C O H$ :

$∠ A O H = ∠ C O H$ , $A O = O A_{1}$ , $O H$ – общая, тогда $∆ A O H = ∆ C O H$ по двум сторонам и углу между ними.

Треугольники равны, значит соответствующие элементы равны, т. е. $∠ 1 = ∠ 2$ .

$∠ 1$ и $∠ 2$ - смежные, по свойству смежных углов $∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$ , отсюда $∠ 1 = ∠ 2 = 180 ° : 2 = 90 °$ , т. е. $A H ⊥ a$ .

2) Предположим, что можно провести ещё один перпендикуляр из точки $A$ к прямой $a$ : $A H ⊥ a$ и $A H_{1} ⊥ a$ , т. е. $A H$ и $A H_{1}$ пересекаются в точке $A$ - получили противоречие (две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются). Тогда перпендикуляр $A H$ - единственный.

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Рис. 3. АМ – медиана треугольника ABC

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

В любом треугольнике можно провести три медианы. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке (замечательное свойство медиан треугольника).

Рис. 4. AA₁ – биссектриса треугольника ABC

Биссектриса треугольника - это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

В любом треугольнике можно провести три биссектрисы. Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (замечательное свойство биссектрис треугольника).

Рис. 5. АН₁ – высота треугольника ABC

Высота треугольника - это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

В любом треугольнике можно провести три высоты. Все высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке (замечательное свойство высот треугольника).

Упражнение 1

Начертите треугольник и проведите три медианы. Середины сторон отмечайте с помощью линейки.
Начертите треугольник и проведите три биссектрисы треугольника. Биссектрисы углов проводите с помощью транспортира.
Начертите треугольник, у которого все углы острые, и проведите три высоты (с помощью чертёжного угольника).
Начертите треугольник, у которого один угол прямой, и проведите высоты. Назовите точку пересечения высот.
Начертите треугольник, у которого один угол тупой, и проведите три высоты.