Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Соотношение между сторонами и углами треугольника

Треугольники

Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника

План урока

  • Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника;
  • Неравенство треугольника.

Цели урока

  • Знать теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника и следствия из нее;
  • Знать теорему о неравенстве треугольника и следствие из нее;
  • Уметь применять теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника и о неравенстве треугольника при решении задач.

Разминка

  • Назовите виды треугольников (по углам);
  • Назовите виды треугольников (по сторонам);
  • Сформулируйте свойства равнобедренного треугольника;
  • Как называются стороны прямоугольного треугольника.

Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника


Теорема 1

 

В треугольнике: 

 

  1. против большей стороны лежит больший угол;
  2. обратно, против большего угла лежит большая сторона.


Доказательство

Рис. 1. Теорема 1 Рис. 1. Теорема 1

Рассмотрим треугольник ABC, пусть AB>AC. Надо доказать, что C>B (рис. 1).

 

  1. Отложим на стороне AB отрезок AK, равный AC, т.к. AK<AB, точка K лежит между точками A и B.
  2. 1 - это часть C, значит, C>1.
  3. 1=2, т. к. AKC равнобедренный;
  4. 2 - внешний угол треугольника KBC, значит, 2>B.

Получили: C>1, 1=2, 2>B, т. е. C>B.

Докажем обратное утверждение.

 

Пусть C>B, надо доказать, что AB>AC. Применим метод «от противного»:

 

  1. Предположим, что AB не больше AC, т. е. AB=AC или AB<AC.
  2. Если AB=AC, то ABC - равнобедренный и C=B, что противоречит условию.
  3. Если AB<AC, а против большей стороны лежит больший угол, то C<B, что противоречит условию.

Наше предположение неверно, значит, AB>AC.

 

Теорема доказана.


Следствие 1

 

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

 

Следствие 2 (признак равнобедренного треугольника)

 

Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.


Действительно, если два угла треугольника равны, то стороны, лежащие против этих углов, тоже равны, что по определению равнобедренного треугольника и означает, что он будет равнобедренным.


Пример 1

 

MA - биссектриса треугольника TMK. Какой отрезок больше: MK или AK?


Решение

Рис. 2. Пример 1 Рис. 2. Пример 1

Рассмотрим треугольник MAK (рис. 2). 

 

MK лежит против угла MAKAK лежит против угла KMA

 

Сравним MAK и KMA.

 

MAK - внешний угол для треугольника TMA, значит, MAK=MTA+TMA, но TMA=KMA, т. к. MA - биссектриса, тогда MAK=MTA+KMAMAK>KMA, значит, MK>AK.

 

Ответ: MK.


Упражнение 1

 

  1. Докажите следствие 1 из теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника.
  2. Докажите следствие 2 из теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника. При доказательстве следствия 2 используйте метод «от противного».
  3. В треугольнике KTM угол T - тупой. На стороне KT отмечена точка P. Докажите, что MK>MP.


Неравенство треугольника


Теорема 2

 

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.


Доказательство

Рис. 3. Теорема 2 Рис. 3. Теорема 2

Дан треугольник ABC. Надо доказать, что AB<AC+CB (рис. 3).

 

  1. Отложим на продолжении стороны AC отрезок CM, равный CB, получим равнобедренный треугольник, значит, 1=2 как углы при его основании.
  2. Рассмотрим треугольник ABMABM>1, поэтому, ABM>2 и AM>AB (в треугольнике против большего угла лежит большая сторона). AM=AC+CM=AC+BC, т. к. AB<AM (см. п. 2), значит, AB<AC+BC.

Теорема доказана.


Следствие 

 

Для любых трёх точек AB и C, не лежащих на одной прямой, будут справедливы неравенства:

 

AB<AC+CB, AC<AB+BC, BC<BA+AC


Каждое из этих неравенств называется неравенством треугольника .


Пример 2

 

Существует ли треугольник со сторонами 12 см, 2,5 дм, 80 мм? Ответ поясните.


Решение

  1. Выразим 2,5 дм, 80 мм в одних единицах измерения: 2,5 дм=25 см, 80 мм=8 см.
  2. 25 см>12 см+8 см, что противоречит неравенству треугольника.

Ответ: такой треугольник не существует.


Упражнение 2

 

  1. Стороны равнобедренного треугольника равны 8 см и 20 см. Какая из них является основанием?
  2. Точка A лежит на стороне SK треугольника SOKOA=AK. Докажите, что SO<SK.


Контрольные вопросы

 

1. Сформулируйте теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника.

2. Какая сторона в прямоугольном треугольнике наибольшая? 

3. Сформулируйте признак равнобедренного треугольника.

4. Сформулируйте теорему о неравенстве треугольника.


Ответы

Упражнение 2

 

1. 8 см.

2. 

Рис. 4. Упражнение 2. Ответ Рис. 4. Упражнение 2. Ответ

1) Рассмотрим треугольник SOK (рис. 4).                                                                                          

SK=SA+AK=SA+AO.

2) Рассмотрим треугольник OSA

SO<SA+AO (неравенство треугольника), SO<SK.

Предыдущий урок
Первый признак равенства треугольников
Треугольники
Следующий урок
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Треугольники
  • Бедность и богатство

    Обществознание

  • Health issues. Здоровье

    Английский язык

  • Функции y=x^2, y=x^3 и их графики

    Алгебра

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке