Цифровая библиотека

Интернет-библиотека по школьным предметам от «Онлайн-школы». Библиотека поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

Например: формулы сокращенного умножения

Выбери класс

Выбери все классы

Все предметы
7 класс
Геометрия
Первый признак равенства треугольников

Геометрия 7 класс Геометрия 7 класс

Конспект урока: Первый признак равенства треугольников

Треугольники

07.12.2024

2389

Первый признак равенства треугольников

План урока

Треугольник;
Равные треугольники;
Первый признак равенства треугольника.

Цели урока

Знать определение треугольника, его элементы;
Знать, что такое теорема;
Знать первый признак равенства треугольников;
Уметь применять этот признак при решении задач.

Разминка

Приведите примеры геометрических фигур, которые можно составить из отрезков.
Назовите простейшую из них.
Кроме отрезков, какие ещё геометрические фигуры можно увидеть в треугольнике?
Какие фигуры называются равными?

Треугольник

Треугольник – это геометрическая фигура, составленная из отрезков, соединяющих три точки, не лежащие на одной прямой.

Рис. 1. Δ АВС

Точки $A, B, C$ - вершины треугольника, по ним составляется название фигуры: «Треугольник $A B C$ ». Слово «треугольник» заменяют знаком $∆$ и записывают $∆ A B C$ .

Отрезки $A B, B C, A C$ - стороны треугольника.

$∠ B A C, ∠ A B C, ∠ B C A$ - углы треугольника. Углы треугольника можно называть по его вершинам: $∠ A, ∠ B, ∠ C$ .

Сумма длин всех сторон - это периметр треугольника.

Упражнение 1

Найдите периметр треугольника $M E D$ , если $M E = 25$ cм, $E D = 350$ мм, $D M = 4, 5$ дм.

Равные треугольники

Чтобы выяснить, равны ли между собой два данных треугольника, можно совместить их наложением. Если попарно совместятся вершины и стороны треугольников, то треугольники будут равны.

Если два треугольника равны, то элементы одного треугольника (стороны и углы) соответственно равны элементам другого треугольника.

В равных треугольниках против соответственно равных сторон (совмещающихся при наложении) лежат равные углы.

Будет верным и обратное утверждение. В равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Рис. 2. Δ SОM = Δ KАB

На рисунке 2 треугольники $S O M$ и $K A B$ равны. Пишут так: $∆ S O M = ∆ K A B$ .

Соответственные элементы этих треугольников равны:

$S M = B K$ , $∠ S = ∠ K$ ,

$S O = A K$ , $∠ M = ∠ B$ ,

$O M = A B$ , $∠ O = ∠ A$ .

Первый признак равенства треугольников

Устанавливать равенство треугольников (равенство шести пар элементов) с помощью совмещения не всегда удобно. На практике невозможно сравнивать с помощью наложения земельные участки, элементы зданий и т. п. Но, оказывается, можно установить их равенство, измерив и сравнив некоторые элементы.

Равенство двух треугольников можно установить, сравнивая только некоторые их элементы. Например, если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Чтобы применять это утверждение, надо установить его справедливость, применяя при рассуждениях уже полученные знания, изученные факты. Утверждение, справедливость которого надо установить, называется теоремой, а рассуждения - это доказательство теоремы.

Запомните, что все теоремы надо учить наизусть.

Теорема (первый признак равенства треугольников)

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рис. 3. Δ FDC и Δ DEF

Рассмотрим $∆ A B C$ и $∆ D E F$ (Рис. 3), у которых $A B = D E$ , $A C = D F$ , $∠ A = ∠ D$ .

Надо доказать, что $∆ A B C = ∆ D E F$ .

$∠ A = ∠ D$ , значит, при наложении углы совместятся, т. е. совместятся и вершины $A$ и $D$ , и стороны углов $A B$ и $D E$ , $A C$ и $D F$ .
Если $A B = D E$ и вершины $A$ и $D$ совмещены, то при наложении совместятся вершины $B$ и $E$ .
Если $A C = D F$ и вершины $A$ и $D$ совмещены, то при наложении совместятся вершины $C$ и $F$ .

Три вершины треугольника $A B C$ совместятся с вершинами треугольника $D E F$ , при этом совместятся и стороны треугольников. $∆ A B C$ и $∆ D E F$ полностью совместятся, значит, $∆ A B C = ∆ D E F$ , что и требовалось доказать.

Доказав теорему, мы можем применять это утверждение при решении задач и на практике.

Пример 1

В треугольниках $A B C$ и $D B C$ $A B = D B$ и $∠ A B C = ∠ D B C$ .

Докажите, что $∠ A = ∠ D$ .

Решение

Рис. 4. Пример 1

Рассмотрим $∆ A B C$ и $∆ D B C$ (рис. 4), у них $A B = B D$ (по условию), $∠ A B C = ∠ D B C$ (по условию), $B C$ - общая сторона.

Тогда $∆ A B C = ∆ D B C$ - по двум сторонам и углу между ними.

Треугольники равны, значит, соответствующие элементы равны, т. е. $∠ A = ∠ D$ , что и требовалось доказать.

Упражнение 2

1. На рисунке 5 $O B = O K$ , $O R = O L$ . Докажите, что: а) $∆ B O R = ∆ K O L$ ; б) $B R = K L$ .

2. На рисунке 6 $S U = P A$ , $∠ 1 = ∠ 2$ , $∠ S U P = 120 °$ . а) Докажите, что $∆ S U P = ∆ P A S;$ б) Найдите градусную меру $∠ P A S$ .

Контрольные вопросы

Что такое треугольник? Назовите его элементы.
Как найти периметр треугольника.
Какие треугольники называются равными?
Что такое теорема?
Прочитайте наизусть первый признак равенства треугольников.
Докажите первый признак равенства треугольников.

Ответы

Упражнение 1

1. $105$ см.

Упражнение 2

2. б) $120 °$ .

Предыдущий урок

Сумма углов треугольника

Треугольники

Следующий урок

Прямоугольные треугольники

Треугольники

Урок подготовил(а)

Валерия Александровна

Учитель математики

Опыт работы: более 20 лет

Рельеф и полезные ископаемые

География
Человек и млекопитающие

Биология
Решение задач с помощью систем уравнений

Алгебра

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:

Пока никто не оставил отзыв об этом уроке