Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Решение дробных рациональных уравнений

Решение уравнений и неравенств

Решение дробных рациональных уравнений

План урока

  • Дробные рациональные уравнения
  • Решение дробных рациональных уравнений

Цели урока

  • Знать определения рациональных, целых и дробных рациональных уравнений
  • Уметь решать целые уравнения, содержащие дроби
  • Уметь решать дробные рациональные уравнения

Разминка

  • Какие из выражений являются целыми, а какие — дробными?  
     
    a2+23a+4, x+y3x,a-ba+b,5x4+x5, a2+58a,13a3-3a4a-1.

Дробные рациональные уравнения


Если левая и правая части уравнения являются рациональными выражениями, то уравнение называют рациональным уравнением

Рациональное уравнение, в котором левая и правая части являются целыми выражениями, называют целым .

Рациональное уравнение, в котором левая или правая часть (или обе) является дробным выражением, называют дробным .

 


Пример 1

Решите целое уравнение 3x-x22+2x2-x6=x.

                                                                                                                                   

 

Решение
 

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель входящих в него дробей, т.е. на число 6. Получим уравнение, равносильное данному, не содержащее дробей: 

3(3x-x2)+(2x2-x)=6x

Упростим выражение в левой части уравнения: 

9x-3x2+2x2-x=6x,

-x2+2x=0,

-x(x-2)=0,

x1=0x2=2.

 

Ответ: 0; 2.


Пример 2

Решите уравнение  x-7x-2+x+4x+2=1

                                                                                                                                   

 

Решение

Левая часть уравнения содержит дроби, это уравнение является дробным рациональным.

По аналогии с предыдущим примером умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей, т.е. на выражение (x-2)(x+2).

Получим целое уравнение 

(x-7)(x+2)+(x+4)(x-2)=(x-2)(x+2),

x2-5x-14+x2+2x-8=x2-4,

x2-3x-18=0.

Решим уравнение

 D=32-41(-18)=9+72=81, D>0.

x1,2=3±812;

x1,2=3±92;

x1=-3x2=6.

Далее необходимо проверить, не теряют ли смысл дроби  x-7x-2 и x+4x+2 при данных значениях переменной. Видим, что знаменатели дробей не обращаются в нуль при x=-3 и x=6.

Таким образом, корнями уравнения x-7x-2+x+4x+2=1 являются корни уравнения x2-3x-18=0.

 

Ответ: –3; 6.


При решении дробных рациональных уравнений целесообразно поступать следующим образом:

1) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

2) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

3) решить получившееся целое уравнение;

4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.


Пример 3

Решите уравнение 7-2x(x-6)(x+1) +3(x-3)(x-6) +1x-3=0.

                                                                                                                                   

 

Решение
 

Общий знаменатель данного уравнения (x-6)(x-3)(x+1). Умножим обе части уравнения на общий знаменатель и получим уравнение
 

(7-2x)(x-3)+3(x+1)+(x-6)(x+1)=0,

-2x2+13x-21+3x+3+x2-5x-6=0,

-x2+11x-24=0,

x2-11x+24=0.

D=112-4124=121-96=25, D>0.

x 1,2=11±252;

x1,2=11±52;

x1=3x2=8.

 

Общий знаменатель  (x-6)(x-3)(x+1) обращается в нуль при x=3, т.е. число 3 это посторонний корень для исходного дробного рационального уравнения. Значит, корнем исходного уравнения является число 8.

 

Ответ: 8.


Упражнение 1

Решите уравнение:
 

а) x22-x=2x2-x; б) x2-2xx+4=x-4x+4
в) 5x-7x-3=4x-3x; г)  3y-33y-2+6+2y3y+2=2
д) 4y-2-2y=3-yy2-2y; е) 41-9y2+33y2+y=49y2+6y+1.

 


Контрольные вопросы

1. В чем отличие целых уравнений от дробных рациональных уравнений?

2. Сформулируйте алгоритм решения дробного рационального уравнения.


Ответы

Упражнение 1

 

а) 0; б) нет корней; в) –9; 1; г) 53; 2; д) -13; е) –1; 1.


 

Предыдущий урок
Решение задач с помощью квадратных уравнений
Решение уравнений и неравенств
Следующий урок
Решение задач с помощью рациональных уравнений
Решение уравнений и неравенств
  • Эмоции. Темперамент и характер

    Биология

  • Роль государства в экономике

    Обществознание

  • Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

    Геометрия

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке