Конспект урока: Решение дробных рациональных уравнений

Дробные рациональные уравнения

Решите целое уравнение $\frac{3x-x^2}{2}+\frac{2x^2-x}{6}=x$.

Решение
 

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель входящих в него дробей, т.е. на число 6. Получим уравнение, равносильное данному, не содержащее дробей: 

$3(3x-x^2)+(2x^2-x)=6x$. 

Упростим выражение в левой части уравнения: 

$9x-3x^2+2x^2-x=6x$,

$-x^2+2x=0$,

$-x(x-2)=0$,

$x_1=0$, $x_2=2$.

Ответ: 0; 2.

Решите уравнение $\frac{ x-7}{x-2}+\frac{x+4}{x+2}=1$. 

Решение

Левая часть уравнения содержит дроби, это уравнение является дробным рациональным.

По аналогии с предыдущим примером умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей, т.е. на выражение $(x-2)(x+2)$.

Получим целое уравнение 

$(x-7)(x+2)+(x+4)(x-2)=(x-2)(x+2)$,

$x^2-5x-14+x^2+2x-8=x^2-4$,

$x^2-3x-18=0$.

Решим уравнение

 $D=3^2-4\cdot 1\cdot (-18)=9+72=81, D>0$.

$x_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{81}}{2}$;

$x_{1,2}=\frac{3\pm 9}{2}$;

$x_1=-3$; $x_2=6$.

Далее необходимо проверить, не теряют ли смысл дроби $\frac{ x-7}{x-2}$ и $\frac{x+4}{x+2}$ при данных значениях переменной. Видим, что знаменатели дробей не обращаются в нуль при $x=-3$ и $x=6$.

Таким образом, корнями уравнения $\frac{x-7}{x-2}+\frac{x+4}{x+2}=1$ являются корни уравнения $x^2-3x-18=0$.

Ответ: –3; 6.

Решите уравнение $\frac{7-2x}{(x-6)(x+1)} +\frac{3}{(x-3)(x-6)} +\frac{1}{x-3}=0$.

Решение
 

Общий знаменатель данного уравнения $(x-6)(x-3)(x+1)$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель и получим уравнение
 

$(7-2x)(x-3)+3(x+1)+(x-6)(x+1)=0,$

$-2x^2+13x-21+3x+3+x^2-5x-6=0,$

$-x^2+11x-24=0,$

$x^2-11x+24=0.$

$D={11}^2-4\cdot 1\cdot 24=121-96=25, D>0.$

$x{ }_{1,2}=\frac{11\pm \sqrt{25}}{2}$;

$x_{1,2}=\frac{11\pm 5}{2}$;

$x_1=3$; $x_2=8$.

Общий знаменатель $(x-6)(x-3)(x+1)$ обращается в нуль при $x=3$, т.е. число 3 это посторонний корень для исходного дробного рационального уравнения. Значит, корнем исходного уравнения является число 8.

Ответ: 8.

Решите уравнение:
 

а) $\frac{x^2}{2-x}=\frac{2x}{2-x}$; б) $\frac{x^2-2x}{x+4}=\frac{x-4}{x+4}$; 
в) $\frac{5x-7}{x-3}=\frac{4x-3}{x}$; г) $\frac{ 3y-3}{3y-2}+\frac{6+2y}{3y+2}=2$; 
д) $\frac{4}{y-2}-\frac{2}{y}=\frac{3-y}{y^2-2y}$; е) $\frac{4}{1-9y^2}+\frac{3}{3y^2+y}=\frac{4}{9y^2+6y+1}$.

1. В чем отличие целых уравнений от дробных рациональных уравнений?

2. Сформулируйте алгоритм решения дробного рационального уравнения.