Конспект урока: Теорема Виета

Теорема Виета

Рассмотрим приведенное квадратное уравнение. По традиции второй коэффициент обозначают буквой p, а свободный член q:

$x^2+px+q=0$

Тогда дискриминант этого уравнения равен $D=p^2-4q$. 

Пусть $D>0$. Тогда это уравнение имеет два корня: 
 

 $x_1=\frac{-p-\sqrt{D}}{2} и x_2=\frac{-p+\sqrt{D}}{2}$ .

Найдем сумму и произведение корней:
 

$x_1+x_2=\frac{-p-\sqrt{D}}{2}+\frac{-p+\sqrt{D}}{2}=\frac{-2p}{2}=-p$;

$x_1·x_2=\frac{-p-\sqrt{D}}{2}·\frac{-p+\sqrt{D}}{2}=\frac{{\left(-p\right)}^2-{\left(\sqrt{D}\right)}^2}{4}=\frac{p^2-(p^2-4q)}{4}=\frac{4q}{4}=q$.

Таким образом, 

$x_1+x_2=-p,x_1\cdot x_2=q$ .

В случае $D=0$ считают, что квадратное уравнение имеет два равных корня, т.е. $x_1=x_2$. Тогда теорема Виета будет верна и в этом случае, поскольку корни уравнения можно вычислить по формуле $x=\frac{-p\pm \sqrt{D}}{2}$.

Рассмотрим общий случай. Пусть квадратное уравнение $a{x}^2+bx+c=0$ имеет корни $x_1$ и $x_2$. Равносильное данному уравнению приведенное имеет вид

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$.

По теореме Виета имеем

$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

Теорема, обратная теореме Виета

Справедливо и утверждение, обратное теореме Виета. 

По условию $m+n=-p,$ а $m\cdot n=q$. Значит, уравнение можно записать в виде
 

$x^2-(m+n)x+m\cdot n=0$.

Подставим вместо x число m, получим:
 

$m^2-(m+n)m+m\cdot n=m^2-m^2-mn+mn=0$.

Значит, число m является корнем уравнения. 

Аналогично можно показать, что число n также корень уравнения.

Применение теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета

Рассмотрим примеры применения теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета. 

Найдите сумму и произведение корней уравнения $x^2-16x+28=0.$                          

Решение
 

Вычислим дискриминант:

 $D={16}^2-4\cdot 1\cdot 28=256-112=144,D>0$.

Значит, уравнение имеет корни. Тогда

 $x_1+x_2=16,x_1\cdot x_2=28$.

Ответ: 16; 28.

Найдите сумму и произведение корней уравнения:

а) $x^2-12x-45=0$; б) $y^2+17y+60=0$; 
в) $3y-40+y^2=0$; г) $3x^2-6x-7=0$. 

По теореме, обратной теореме Виета, можно проверять, правильно ли найдены корни квадратного уравнения.

Решите уравнение $x^2-13x+40=0$ и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета.           

Решение
 

Решим уравнение

$D=(-13{)}^2-4\cdot 1\cdot 40=169-160=9,D>0$.

$x_{1,2}=\frac{13\pm \sqrt{9}}{2}$;

$x_{1,2}=\frac{13\pm 3}{2}$;

$x_1=5$; $x_2=8$.

Проверим правильность решения с помощью теоремы, обратной теореме Виета.

Сумма найденных чисел 5 и 8 равна 13, а их произведение 40. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, эти числа корни уравнения $x^2 -13x + 40 = 0$.

Ответ: 5; 8.

Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

а) $x^2+6x+8=0$; б) $x^2-3x-18=0$; 
в) $3x^2+5x-2=0$; г) $25x^2-25x+6=0.$

Найдите подбором корни уравнения $x^2+3x+2=0$.                                              

Решение
 

$D=3^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1,D>0$.

Пусть x₁ и x₂ — корни уравнения. Тогда 

$x_1+x_2=-3,x_1\cdot x_2=2$.

Если x₁ и x₂ — целые числа, они являются делителями числа 2. Т.е. возможны два варианта:

$1\cdot 2=2, (-1)\cdot (-2)=2$.

Поскольку $-1+(-2)=-3$, то $x_1=-2$, $x_2=-1$.

Ответ: –2; –1.

Найдите подбором корни уравнения:

а) $x^2-15x+14=0$; б) $x^2+8x+7=0$; 
в) $x^2-19x+18=0$; г) $x^2-11x-80=0.$

1. Как изменится формулировка теоремы Виета для квадратного уравнения в общем случае $a{x}^2+bx+c=0$?

2. Как с помощью теоремы, обратной теореме Виета, решить приведенное квадратное уравнение?