- Пересечение множеств
- Объединение множеств
- Числовые промежутки
- Знать определения пересечения и объединения двух множеств
- Знать, что такое пустое множество
- Уметь находить пересечение и объединение двух множеств
- Знать обозначения числовых промежутков, их названия, их изображение на координатной прямой и неравенства, которые задают эти числовые промежутки
- Уметь изображать на координатной прямой числовые промежутки, заданные неравенствами или обозначением промежутка
- Уметь находить пересечение и объединение числовых промежутков
Пересечение и объединение множеств
Основатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) определял множество как «объединение определённых, различных объектов, называемых элементами множества в единое целое».
Пусть множество A — множество натуральных делителей 18, B — множество натуральных делителей 24. Зададим множества A и B перечислением элементов:
Обозначим буквой C множество общих делителей чисел 18 и 24, т.е. общих элементов множеств A и B. Получим, что
.
Тогда говорят, что множество C является пересечением множеств A и B, и обозначают: .
Пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.
![](/upload/XnZ6vB7W4Wmw_98%281%29.png)
Соотношение между множествами A, B и C изображается с помощью кругов Эйлера (рис. 1).
Если множества X и Y не имеют общих элементов, то говорят, что их пересечение — пустое множество, которое обозначают знаком . И записывают: .
![](/upload/edN0R4Az1liL_95.png)
Вернемся к примеру. Пусть множество D — множество делителей чисел 18 и 24.
Тогда получим
.
Про множество D говорят, что оно является объединением множеств A и B, и обозначают: .
На рисунке 2 с помощью кругов Эйлера изображено объединение множеств A и B (закрашенная фигура).
Упражнение 1
1. Пусть A — множество однозначных простых чисел, Y — множество однозначных натуральных чисел. Задайте путем перечисления множества их пересечения и объединения.
2. Пусть A — множество делителей числа 45, Y — множество делителей числа 14. Задайте путем перечисления элементов множества их пересечения и объединения.
Числовые промежутки
![](/upload/hk03nlWhyK9b_96.png)
Пусть и — некоторые числа, причем . Пусть — число больше и меньше т.е. . Тогда число на координатной прямой изображается точкой между точками с координатами и (рис. 3). Верно и обратное: точке между точками с координатами и , соответствует число , для которого верно .
Множество всех чисел, удовлетворяющих условию , называют интервалом и обозначают так: (; ) (читают: интервал от до ). На рисунке 4 это множество показано штриховкой, а светлые кружки с координатами и показывают, что числа и не принадлежат (; ).
Множество всех чисел, удовлетворяющих условию , называют
отрезком
и обозначают так: [; ] (читают: отрезок от до ). На рисунке 5 это множество показано штриховкой, а закрашенные кружки с координатами и показывают, что числа и принадлежат отрезку.
Множества чисел , для которых выполняются двойные неравенства и , называют
полуинтервалами
и обозначают соответственно (; ] и [; ) (читают: полуинтервал от до , включая ; полуинтервал от до , включая ). Эти полуинтервалы изображены на рисунках 6 и 7.
Числовые отрезки, интервалы и полуинтервалы называют
числовыми промежутками
.
Существуют и другие числовые промежутки. Обозначения числовых промежутков, их названия и изображение на координатной прямой показаны в таблице.
![](/upload/ZdUGiu6pi8vi_97%2520%25D0%25A3%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25BA%252024.%2520%25D0%259F%25D0%25B5%25D1%2580%25D0%25B5%25D1%2581%25D0%25B5%25D1%2587%25D0%25B5%25D0%25BD%25D0%25B8%25D0%25B5%2520%25D0%25B8%2520%25D0%25BE%25D0%25B1%25D1%258A%25D0%25B5%25D0%25B4%25D0%25B8%25D0%25BD%25D0%25B5%25D0%25BD%25D0%25B8%25D0%25B5%2520%25D0%25BC%25D0%25BD%25D0%25BE%25D0%25B6%25D0%25B5%25D1%2581%25D1%2582%25D0%25B2.%2520%25D0%25A7%25D0%25B8%25D1%2581%25D0%25BB%25D0%25BE%25D0%25B2%25D1%258B%25D0%25B5%2520%25D0%25BF%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25BC%25D0%25B5%25D0%25B6%25D1%2583%25D1%2582%25D0%25BA%25D0%25B8%2520.png)
Множество действительных чисел изображается всей координатной прямой. Его называют числовой прямой и обозначают .
Выясним, какое множество является пересечением и какое объединением некоторых числовых промежутков.
Пример 1
Найдите пересечение и объединение числовых промежутков:
а) (рис. 8); б) (рис. 9).
Решение
![](/upload/sbJ0MYqvgxDh_100.png)
а) ;
.
б) ;
.
Ответ: а) , ;
б) , .
![](/upload/rUqRuDaYL1Bq_99.png)
В некоторых случаях числовые промежутки не имеют общих элементов, поэтому их пересечение является пустым множеством.
Например, (рис. 10). Объединение числовых промежутков не всегда является числовым промежутком. Например, (рис. 10).
Упражнение 2
Найдите пересечение и объединение числовых промежутков:
а) ; б) ; в) ;
г)
Контрольные вопросы
1. Что называется пересечением двух множеств? Объединением двух множеств?
2. Назовите числовые промежутки различного вида.
3. В каком случае пересечение промежутков является пустым множеством?
Упражнение 1
1.
2.
Упражнение 2
а) ; б) ; в) ;
г) .