Конспект урока: Пересечение и объединение множеств. Числовые промежутки

Рис. 1. Геометрическая иллюстрация пересечения множеств

Соотношение между множествами A, B и C изображается с помощью кругов Эйлера (рис. 1).

Если множества X и Y не имеют общих элементов, то говорят, что их пересечение — пустое множество, которое обозначают знаком $\varnothing$. И записывают: $X\cap Y=\varnothing$. 

Рис. 2. Геометрическая иллюстрация объединения множеств

Вернемся к примеру. Пусть множество D — множество делителей чисел 18 и 24. 

Тогда получим

$D = \left\{1,\hspace{0.33em}2,\hspace{0.33em}3,\hspace{0.33em}4,\hspace{0.33em}6,\hspace{0.33em}8,\hspace{0.33em}9,\hspace{0.33em}12,\hspace{0.33em}18,\hspace{0.33em}24\right\}$.

Про множество D говорят, что оно является объединением множеств A и B, и обозначают: $A\cup B=D$.

На рисунке 2 с помощью кругов Эйлера изображено объединение множеств A и B (закрашенная фигура). 

Пусть $a$ и $b$ — некоторые числа, причем $a<b$. Пусть $x$ — число больше $a$ и меньше $b,$ т.е. $a<x<b$. Тогда число $x$ на координатной прямой изображается точкой между точками с координатами $a$ и $b$ (рис. 3). Верно и обратное: точке между точками с координатами $a$ и $b$, соответствует число $x$, для которого верно $a<x<b$. 

Множество всех чисел, удовлетворяющих условию $a<x<b$, называют интервалом и обозначают так: ($a$; $b$) (читают: интервал от $a$ до $b$). На рисунке 4 это множество показано штриховкой, а светлые кружки с координатами $a$ и $b$ показывают, что числа $a$ и $b$ не принадлежат ($a$; $b$).

Множество всех чисел, удовлетворяющих условию $a\le x\le b$, называют отрезком и обозначают так: [$a$; $b$] (читают: отрезок от $a$ до $b$). На рисунке 5 это множество показано штриховкой, а закрашенные кружки с координатами $a$ и $b$ показывают, что числа $a$ и $b$ принадлежат отрезку.

Множества чисел $x$, для которых выполняются двойные неравенства $a<x\le b$ и $a\le x<b$, называют  полуинтервалами и обозначают соответственно ($a$; $b$] и [$a$; $b$) (читают: полуинтервал от $a$ до $b$, включая $b$; полуинтервал от $a$ до $b$, включая $a$). Эти полуинтервалы изображены на рисунках 6 и 7.

Числовые отрезки, интервалы и полуинтервалы называют числовыми промежутками.

а) $\left[-1; 4\right]\cap \left[1; 5\right]=\left[1; 4\right]$;

$\left[-1; 4\right]\cup \left[1; 5\right]=\left[-1; 5\right]$.

б) $\left(-2; +\infty \right)\cap [1; +\infty )=[1; +\infty )$;

$\left(-2; +\infty \right)\cup [1; +\infty )=\left(-2; +\infty \right)$.

Ответ: а) $\left[1; 4\right]$, $\left[-1; 5\right]$;

б) $[1; +\infty )$, $\left(-2; +\infty \right)$.

В некоторых случаях числовые промежутки не имеют общих элементов, поэтому их пересечение является пустым множеством. 

Например, $[-1;\hspace{0.33em}1]\cap [4;\hspace{0.33em}5]=\varnothing$(рис. 10). Объединение числовых промежутков не всегда является числовым промежутком. Например, $[-1;\hspace{0.33em}1]\cup [4;\hspace{0.33em}5]$ (рис. 10).