Цифровая библиотека

Интернет-библиотека по школьным предметам от «Онлайн-школы». Библиотека поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

Например: формулы сокращенного умножения

Выбери класс

Выбери все классы

Все предметы
8 класс
Алгебра
Формула корней квадратного уравнения

Алгебра 8 класс Алгебра 8 класс

Конспект урока: Формула корней квадратного уравнения

Решение уравнений и неравенств

07.09.2024

1999

[header]Формула корней квадратного уравнения[/header]

[flex column='true'][row title='План урока']

Формула корней квадратного уравнения
Применение формулы корней квадратных уравнений
Формула корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом
Применение формулы корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом

[/row][row title='Цели урока']

Знать метод выделения квадрата двучлена для решения квадратных уравнений
Знать формулу корней квадратного уравнения
Уметь выделять квадрат двучлена при решении квадратных уравнений
Уметь применять формулу корней квадратного уравнения в различных случаях
Знать формулу корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом
Уметь применять формулу корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом в различных случаях

[/row][row title='Разминка' final]

Решите уравнение: а) $x^{2} - 3 x = 0$ ; б) $- 4 x^{2} + 16 = 0$ ; в) $\frac{1}{7} x^{2} = 0$ ;
г) $3 x^{2} + 5 = 0$ .

[/row][/flex]

Формула корней квадратного уравнения

Рассмотрим вопрос решения квадратного уравнения, у которого все коэффициенты ненулевые.

[line][/line]

[section icon='example']

Пример 1

[/section]

Решите уравнение $4 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ .

[line][/line]

Решение

Разделим обе части этого уравнения на старший коэффициент 4, получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение

$x^{2} - \frac{3}{4} x - \frac{1}{4} = 0$ .

Выделим из трехчлена $x^{2} - \frac{3}{4} x - \frac{1}{4}$ квадрат двучлена. Для этого разность $x^{2} - \frac{3}{4} x$ представим в виде $x^{2} - 2 \cdot \frac{3}{8} x$ , прибавим к ней выражение ${(\frac{3}{8})}^{2}$ и вычтем его.

Получим

$x^{2} - 2 \cdot \frac{3}{8} x + {(\frac{3}{8})}^{2} - {(\frac{3}{8})}^{2} - \frac{1}{4} = 0$ .

Отсюда

$x^{2} - 2 \cdot \frac{3}{8} x + {(\frac{3}{8})}^{2} = {(\frac{3}{8})}^{2} + \frac{1}{4}$ ,

$(x - \frac{3}{8})^{2} = \frac{25}{64}$ .

Тогда,

$x - \frac{3}{8} = \sqrt{\frac{25}{64}}$ или $x - \frac{3}{8} = - \sqrt{\frac{25}{64}}$ ,

$x - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ или $x - \frac{3}{8} = - \frac{5}{8}$ ,

$x = 1$ или $x = - \frac{1}{4}$ .

Ответ: $- \frac{1}{4}$ ; $1$ .

[line][/line]

Способ, с помощью которого мы решили уравнение, называют выделением квадрата двучлена.

Его применение к решению квадратных уравнений требует громоздких преобразований. Поэтому с помощью выделения квадрата двучлена получим формулу корней квадратного уравнения в общем случае, которую можно будет применять к решению квадратных уравнений.

$a x^{2} + b x + c = 0,$ (1)

$x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0,$

$x^{2} + 2 \cdot \frac{b}{2 a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{c}{a} = 0$ ,

$x^{2} + 2 \cdot \frac{b}{2 a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} = {(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a}$ ,

${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = {(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a}$ ,

${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$ . (2)

Уравнение (2) равносильно уравнению (1). Число его корней зависит от знака дроби $\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$ . Т.к. $a \neq 0$ , то $4 a^{2}$ — положительное число, поэтому знак этой дроби зависит от знака её числителя, т.е. выражения $b^{2} - 4 a c$ . Это выражение называют дискриминантом квадратного уравнения («дискриминант» по-латыни — разделитель). Его обозначают буквой D, т.е.

$D = b^{2} - 4 a c$

Перепишем уравнение (2) в виде ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{D}{4 a^{2}}$ .

Рассмотрим различные возможные случаи в зависимости от значения D.

1) Если D > 0, то

$x + \frac{b}{2 a} = - \frac{\sqrt{D}}{2 a} и л и x + \frac{b}{2 a} = \frac{\sqrt{D}}{2 a}$

$x = - \frac{b}{2 a} - \frac{\sqrt{D}}{2 a} и л и x = - \frac{b}{2 a} + \frac{\sqrt{D}}{2 a}$

$x = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} и л и x = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a}$

Таким образом, в этом случае уравнение (1) имеет два корня:

$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a}$ или $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a}$ .

Принята следующая краткая запись, которую называют формулой корней квадратного уравнения:

[line][/line]

[section icon='note']

$x = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}, г д е D = b^{2} - 4 a c$ .

[/section]

[line][/line]

2) Если D = 0, то уравнение примет вид

$(x + \frac{b}{2 a})^{2} = 0$ .

Отсюда получаем

$x + \frac{b}{2 a} = 0$ ,

$x = - \frac{b}{2 a}$ .

В этом случае уравнение (1) имеет один корень $- \frac{b}{2 a}$ .

В этом случае можно применить и формулу корней квадратного уравнения. При D = 0:

$x = \frac{- b \pm \sqrt{0}}{2 a}$ ,

откуда

$x = - \frac{b}{2 a}$ .

3) Если D < 0, то значение дроби отрицательно и поэтому уравнение

$(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{D}{4 a^{2}}$ ,

а следовательно, и уравнение (1) не имеют корней.

[line][/line]

[section icon='note']

По значению дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение:

при D > 0 уравнение имеет два корня,
при D = 0 уравнение имеет один корень,
при D < 0 уравнение не имеет корней.

[/section]

При решении квадратного уравнения по формуле корней квадратного уравнения надо:

1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;

2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой квадратных корней, если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.

[line][/line]

Применение формулы корней квадратных уравнений

Рассмотрим различные случаи применения формулы корней квадратных уравнений на конкретных примерах.

[line][/line]

[section icon='example']

Пример 2

[/section]

Решите уравнение $2 x^{2} - 3 x - 2 = 0$ .

Решение

Определим сначала коэффициенты уравнения

$a = 2, b = - 3, c = - 2$

Вычислим дискриминант: $D = b^{2} - 4 a c = (- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 2) = 9 + 16 = 25, D > 0$

Применим формулу корней квадратного уравнения:

$x_{1, 2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \times 2}$ ;

$x_{1, 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$ ;

$x_{1} = - 0, 5$ ; $x_{2} = 2$ .

Ответ: $- 0, 5; 2$

[line][/line]

[section icon='example']

Пример 3

[/section]

Решите уравнение $x^{2} + 14 x + 49 = 0$ .

Решение

Имеем $a = 1, b = 14, c = 49,$

$D = b^{2} - 4 a c = 14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 49 = 196 - 196 = 0,$

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{0}}{2} = \frac{- 14}{2} = - 7$

Ответ: -7.

[line][/line]

[section icon='example']

Пример 4

[/section]

Решите уравнение $5 x^{2} - 25 x + 39 = 0$ .

Решение

Имеем $a = 5, b = - 25, c = 39$ ,

$D = b^{2} - 4 a c = (- 25)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 39 = 625 - 780 = - 155, D < 0$

Ответ: корней нет.

[line][/line]

[section icon='exercise']

Упражнение 1

[/section]

Решите уравнение:

а) $2 x^{2} - x - 1 = 0$ ; б) $5 x^{2} + x - 4 = 0$ ; в) $20 x^{2} + x + 1 = 0$ ;
г) $9 x^{2} + 6 x + 1 = 0$ ; д) $3 x^{2} + 8 x + 9 = 0$ ; е) $- 6 x^{2} + 7 x - 2 = 0$

[line][/line]

Формула корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом

Из формулы корней квадратного уравнения можно получить другую формулу, которой удобно пользоваться при решении квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом.

Рассмотрим квадратное уравнение $a x^{2} + 2 k x + c = 0$ .

Найдем его дискриминант: $D = (2 k)^{2} - 4 a c = 4 k^{2} - 4 a c = 4 (k^{2} - a c)$ .

Очевидно, что число корней уравнения зависит от знака выражения $k^{2} - a c$ . Обозначим это выражение через $D_{1}$ , т.е. $D = 4 D_{1}$ .

Если $D_{1} \geq 0$ , то по формуле корней квадратного уравнения получим

$x = \frac{- 2 k \pm {\sqrt{4 D}}_{1}}{2 a} = \frac{- 2 k \pm 2 \sqrt{D_{1}}}{2 a} = \frac{- k \pm \sqrt{D_{1}}}{a}$

[line][/line]

[section icon='note']

Если квадратное уравнение имеет вид

$a x^{2} + 2 k x + c = 0$ ,

то если $D_{1} \geq 0$ , то корни уравнения определяют по формуле

$x = \frac{- k \pm \sqrt{D_{1}}}{a}$ , где $D_{1} = k^{2} - a c$ .

Если $D_{1} < 0$ , то уравнение не имеет корней.

[/section]

[line][/line]

Применение формулы корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом

Рассмотрим применение формулы корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом к конкретному уравнению.

[line][/line]

[section icon='example']

Пример 5

[/section]

Решите уравнение $8 x^{2} + 10 x + 3 = 0$ .

Решение

Имеем $a = 8, b = 10, c = 3, k = \frac{b}{2} = 5$

$D_{1} = k^{2} - a c = 5^{2} - 8 \cdot 3 = 25 - 24 = 1, D > 0$

$x_{1, 2} = \frac{- k \pm \sqrt{D_{1}}}{a}$ ;

$x_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 1}{8}$ ;

$x_{1} = - 0, 5$ ; $x_{2} = - 0, 75$ .

Ответ: $- 0, 75; - 0, 5$ .

[line][/line]

[section icon='exercise']

Упражнение 2

[/section]

Решите уравнение:

а) $x^{2} + 34 x + 280 = 0$ ;
б) $x^{2} - 24 x + 108 = 0$ ;

в) $9 x^{2} - 20 x - 21 = 0$ ;
г) $3 x^{2} - 104 x + 101 = 0$ ;

д) $5 x^{2} - 112 x + 107 = 0$ ;
е) $7 x^{2} + 26 x - 8 = 0$ .

[line][/line]

[section icon='question']

Контрольные вопросы

[/section]

1. Как называется выражение $b^{2} - 4 a c$ ?

2. Что «разделяет» дискриминант?

3. В каком случае можно применить формулу, содержащую $D_{1}$ ?

[line][/line]

[flex column='true'][row title='Ответы' final]

Упражнение 1

а) $- \frac{1}{2}; 1$ ; б) $- 1; \frac{4}{5}$ ; в) нет корней;

г) $- \frac{1}{3}$ ; д) нет корней; е) $\frac{1}{2}; \frac{2}{3}$ .

Упражнение 2

а) –20; –14; б) 6; 18; в) $- \frac{7}{9}$ ; 3;

г) 1; $\frac{101}{3}$ ; д) 1; 21,4; е) –4; $\frac{2}{7}$ .

[/row][/flex]

[line][/line]

Предыдущий урок

Решение неравенств с одной переменной

Решение уравнений и неравенств

Следующий урок

Решение задач с помощью рациональных уравнений

Решение уравнений и неравенств

Урок подготовил(а)

Валерия Александровна

Учитель математики

Опыт работы: более 20 лет

Химические формулы. Валентность

Химия
Свойства природных территориальных комплексов. Человек в ландшафте

География
Влияние искусства на развитие личности и общества

Обществознание

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:

Пока никто не оставил отзыв об этом уроке