[header]Формула корней квадратного уравнения[/header]
[flex column='true'][row title='План урока']
- Формула корней квадратного уравнения
- Применение формулы корней квадратных уравнений
- Формула корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом
- Применение формулы корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом
[/row][row title='Цели урока']
- Знать метод выделения квадрата двучлена для решения квадратных уравнений
- Знать формулу корней квадратного уравнения
- Уметь выделять квадрат двучлена при решении квадратных уравнений
- Уметь применять формулу корней квадратного уравнения в различных случаях
- Знать формулу корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом
- Уметь применять формулу корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом в различных случаях
[/row][row title='Разминка' final]
- Решите уравнение: а) ; б) ; в) ;
г) .
[/row][/flex]
Формула корней квадратного уравнения
Рассмотрим вопрос решения квадратного уравнения, у которого все коэффициенты ненулевые.
[line][/line]
[section icon='example']
Пример 1
[/section]
Решите уравнение .
[line][/line]
Решение
Разделим обе части этого уравнения на старший коэффициент 4, получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение
.
Выделим из трехчлена квадрат двучлена. Для этого разность представим в виде , прибавим к ней выражение и вычтем его.
Получим
.
Отсюда
,
.
Тогда,
или ,
или ,
или .
Ответ: ; .
[line][/line]
Способ, с помощью которого мы решили уравнение, называют выделением квадрата двучлена.
Его применение к решению квадратных уравнений требует громоздких преобразований. Поэтому с помощью выделения квадрата двучлена получим формулу корней квадратного уравнения в общем случае, которую можно будет применять к решению квадратных уравнений.
(1)
,
,
,
. (2)
Уравнение (2) равносильно уравнению (1). Число его корней зависит от знака дроби . Т.к. , то — положительное число, поэтому знак этой дроби зависит от знака её числителя, т.е. выражения . Это выражение называют дискриминантом квадратного уравнения («дискриминант» по-латыни — разделитель). Его обозначают буквой D, т.е.
Перепишем уравнение (2) в виде .
Рассмотрим различные возможные случаи в зависимости от значения D.
1) Если D > 0, то
Таким образом, в этом случае уравнение (1) имеет два корня:
или .
Принята следующая краткая запись, которую называют формулой корней квадратного уравнения:
[line][/line]
[section icon='note']
.
[/section]
[line][/line]
2) Если D = 0, то уравнение примет вид
.
Отсюда получаем
,
.
В этом случае уравнение (1) имеет один корень .
В этом случае можно применить и формулу корней квадратного уравнения. При D = 0:
,
откуда
.
3) Если D < 0, то значение дроби отрицательно и поэтому уравнение
,
а следовательно, и уравнение (1) не имеют корней.
[line][/line]
[section icon='note']
По значению дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение:
при D > 0 уравнение имеет два корня,
при D = 0 уравнение имеет один корень,
при D < 0 уравнение не имеет корней.
[/section]
При решении квадратного уравнения по формуле корней квадратного уравнения надо:
1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;
2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой квадратных корней, если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.
[line][/line]
Применение формулы корней квадратных уравнений
Рассмотрим различные случаи применения формулы корней квадратных уравнений на конкретных примерах.
[line][/line]
[section icon='example']
Пример 2
[/section]
Решите уравнение .
Решение
Определим сначала коэффициенты уравнения
Вычислим дискриминант:
Применим формулу корней квадратного уравнения:
;
;
; .
Ответ:
[line][/line]
[section icon='example']
Пример 3
[/section]
Решите уравнение .
Решение
Имеем
Ответ: -7.
[line][/line]
[section icon='example']
Пример 4
[/section]
Решите уравнение .
Решение
Имеем ,
Ответ: корней нет.
[line][/line]
[section icon='exercise']
Упражнение 1
[/section]
Решите уравнение:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е)
[line][/line]
Формула корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом
Из формулы корней квадратного уравнения можно получить другую формулу, которой удобно пользоваться при решении квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом.
Рассмотрим квадратное уравнение .
Найдем его дискриминант: .
Очевидно, что число корней уравнения зависит от знака выражения . Обозначим это выражение через , т.е. .
Если , то по формуле корней квадратного уравнения получим
[line][/line]
[section icon='note']
Если квадратное уравнение имеет вид
,
то если , то корни уравнения определяют по формуле
, где .
Если , то уравнение не имеет корней.
[/section]
[line][/line]
Применение формулы корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом
Рассмотрим применение формулы корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом к конкретному уравнению.
[line][/line]
[section icon='example']
Пример 5
[/section]
Решите уравнение .
Решение
Имеем
;
;
; .
Ответ: .
[line][/line]
[section icon='exercise']
Упражнение 2
[/section]
Решите уравнение:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) .
[line][/line]
[section icon='question']
Контрольные вопросы
[/section]
1. Как называется выражение ?
2. Что «разделяет» дискриминант?
3. В каком случае можно применить формулу, содержащую ?
[line][/line]
[flex column='true'][row title='Ответы' final]
Упражнение 1
а) ; б); в) нет корней;
г) ; д) нет корней; е) .
Упражнение 2
а) –20; –14; б) 6; 18; в) ; 3;
г) 1;; д) 1; 21,4; е) –4; .
[/row][/flex]
[line][/line]