Конспект урока: Решение систем неравенств с одной переменной

Решение систем неравенств с одной переменной

Существуют задачи, в которых необходимо найти решение системы неравенств, т.е. множество чисел при которых два и более неравенства верны одновременно. 

Двойные неравенства равносильны системам неравенств. Так неравенство $-4<2x+3\le 18$ равносильно системе неравенств

$\left\{\begin{array}{l}2x+3>-4,\\ 2x+3\le 18.\end{array}\right.$

Далее находят множество решений каждого из неравенств, а решением системы будет пересечение этих множеств.

Примеры решения систем неравенств с одной переменной

Рассмотрим примеры решения систем неравенств.

Решить систему неравенств $\left\{\begin{array}{l}5x>3x+1,\\ 0,6x<5,2-2x.\end{array}\right.$

Решение
 

Имеем

$\left\{\begin{array}{l}2x>1,\\ 2,6x<5,2.\end{array}\right.$

Отсюда,

$\left\{\begin{array}{l}x>0,5,\\ x<2.\end{array}\right.$
 

Изобразим множества решений каждого из неравенств на координатной прямой (рис. 1). Тогда множеством решений этой системы неравенств является интервал $(0,5;\hspace{0.33em}2)$.

Ответ: $(0,5;\hspace{0.33em}2)$.

Решить систему неравенств $\left\{\begin{array}{l}3x>-3,\\ -5x<10.\end{array}\right.$

Решение

Имеем

$\left\{\begin{array}{l}x>-1,\\ x>-2.\end{array}\right.$

 

Изобразим множества решений каждого из неравенств на координатной прямой (рис. 2).

Тогда множеством решений этой системы неравенств является интервал $(-1;\hspace{0.33em}+\infty )$.

 

Ответ: $(-1;\hspace{0.33em}+\infty )$.

Решить систему неравенств $\left\{\begin{array}{l}2(x+3)-(x-8)<4,\\ 6x>3(x+1)-1.\end{array}\right.$

Решение

Имеем

$\left\{\begin{array}{l}2x+6-x+8<4,\\ 6x-3x>3-1.\end{array}\right.$

Отсюда

$\left\{\begin{array}{l}x<-10,\\ 3x>2,\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x<-10,\\ x>\frac{2}{3}.\end{array}\right.$

 

Изобразим множества решений каждого из неравенств на координатной прямой (рис. 3).

Множества решений неравенств не имеют общих элементов, поэтому данная система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Решить двойное неравенство $-4<2x+3\le 18$.

Решение

Двойное неравенство равносильно системе неравенств

$\left\{\begin{array}{l}2x+3>-4,\\ 2x+3\le 18.\end{array}\right.$

Отсюда

$\left\{\begin{array}{l}x>-3,5,\\ x\le 7,5.\end{array}\right.$

Таким образом, неравенство $-4<2x+3\le 18$ равносильно неравенству $-3,5<x\le 7,5$. Множество решений этого неравенства полуинтервал $(-3,5;\hspace{0.33em}7,5]$.

Решение двойного неравенства удобнее записывать так:
 

$-4<2x+3\le 18,$

$-7<2x\le 15,$

$-3,5<x\le 7,5$

Ответ: $(-3,5;\hspace{0.33em}7,5]$.

Решите неравенство:

а)  $\left\{\begin{array}{l}0,5x<2,\\ -3x\ge -9;\end{array}\right.$
 

б)  $\left\{\begin{array}{l}1,5x>-3,\\ -6x>-12;\end{array}\right.$

в) $\left\{\begin{array}{l}6x+2>9-x,\\ x+8,3<11;\end{array}\right.$
 

г) $\left\{\begin{array}{l}-(x-2)-3(x-1)>2x,\\ 5x+4>12-(x-3).\end{array}\right.$

Решите двойное неравенство:

а) $-4<22+x<-1$; б) $1\le 11+2x\le 13$; 

в) $-1\le 5-3x\le 1$; г) $-4\le 2x+1<2$

1. Что называется решением системы неравенств с одной переменной?

2. Что значит решить систему неравенств?

3. В каких случаях система неравенств не имеет решения?