Конспект урока: Неполные квадратные уравнения

Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения

Например, квадратными уравнениями являются уравнения

 $-5x^2+3x-9=0; 0,5x^2-7x=0;-4x^2-9=0$.
 

В первом уравнении коэффициенты $a=-5, b=3, c=-9$, во втором — $a=0,5, b=-7, c=0$, в третьем — $a=-4,b=0,c=-9$.

Заметим, что квадратное уравнение называют еще уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Выпишите коэффициенты квадратного уравнения: 

а) $3x^2+7x-6=0$; б) $2x^2-5x+1=0$; в) $x^2+7-4x=0$; 

г) $2x^2-11=0$; д) $15x-x^2=0$; е) $3x-x^2+19=0$.

Например, приведенными квадратными уравнениями являются уравнения $x^2-4x-9=0,x^2-8x=0,x^2-3=0.$

Например, неполными квадратными уравнениями являются уравнения $x^2-7=0,x^2-3x=0,5x^2=0.$
 

В первом уравнении $b=0$, во втором $c=0$, в третьем $b=0$ и $c=0$.

Решение неполных квадратных уравнений

Рассмотрим алгоритмы решения каждого вида неполных квадратных уравнений.

Для решения неполного уравнения вида $a{x}^2+c=0$, где $c\ne 0$, перенесём его свободный член в правую часть и разделим обе части уравнения на $a$. Получаем уравнение $x^2=-\frac{c}{a}$, равносильное уравнению $a{x}^2+c=0$.

Т.к. $c\ne 0$, то $-\frac{c}{a}\ne 0$.

Если $-\frac{c}{a}>0$, то уравнение имеет два корня:

 $x_1=-\sqrt{-\frac{c}{a}} и x_2=\sqrt{-\frac{с}{а}}$ .

Если $-\frac{c}{a}<0$, то уравнение не имеет корней.

Решите уравнение $-7x^2+5=0$.

Решение

Воспользуемся алгоритмом решения:

$-7x^2=-5,$

$x^2=\frac{5}{7}$.

Отсюда

 $x_1=-\sqrt{\frac{5}{7}}и x_2=\sqrt{\frac{5}{7}}$

Ответ:$-\sqrt{\frac{5}{7}}, \sqrt{\frac{5}{7}}$

Решите уравнение $5x^2+6=0$.                                                                 

Решение

Воспользуемся алгоритмом решения:

$$\begin{gathered} 5x^2=-6, \\ {x}^2=-1,2. \end{gathered}$$

Т.к. –1,2 < 0, то уравнение корней не имеет.

Ответ: нет корней.

Решите уравнение: 

а) $3x^2-12=0$; б) $z^2+9=0$; в) $7y^2-14=0$; г) $6x^2+24=0$; 

д) $15-5y^2=0$; е)$\frac{1}{7}{x}^2-\frac{6}{7}=0$

Для решения неполного квадратного уравнения вида $a{x}^2+bx=0$, где $b\ne 0$, раскладывают его левую часть на множители путем вынесения общего множителя за скобки и получают уравнение 
 

$x(ax+b)=0$

Произведение $x(ax+b)$ равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
 

$x=0 или ax+b=0$
 

Решая уравнение $ax+b=0$, в котором $a\ne 0$, находим
 

$$\begin{gathered} ax=-b, \\ x=-\frac{b}{a} \end{gathered}$$

Таким образом, произведение $x(ax+b)$ обращается в нуль при $x=0$ и при $x=-\frac{b}{a}$. Корнями уравнения $a{x}^2+bx=0$ являются числа 0 и $-\frac{b}{a}$.

Значит, неполное квадратное уравнение вида $a{x}^2+bx=0$, где $b\ne 0$, всегда имеет два корня.

Решите уравнение $6x^2+3x=0$.

Решение

Разложим левую часть уравнения на множители, для этого вынесем множитель $3x$ за скобку: $3x(2x+1)=0$, откуда $3x=0$ или $2x+1=0$. Решением первого уравнения является $x=0$, второго — $x=-\frac{1}{2}$. То есть у уравнения $6x^2+3x=0$ два корня: 0 и $-\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}, 0$.

а) $2{х}^2+6х=0$; б) $z^2-3z=0$; в) $10х+2{х}^2=0$; г) $8y+y^2=0$.

Неполное квадратное уравнение $\mathit{a}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{0}$ равносильно уравнению ${\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{0}$ и поэтому имеет единственный корень 0.