Конспект урока: Сложение и умножение числовых неравенств

Сложение и умножение неравенств

Рассмотрим, как выполняется сложение и умножение числовых неравенств.

Если $a<b$ и $c<d$, то $a+c<b+d$.

К обеим частям неравенства $a<b$ прибавим число c и получим $a+c<b+c$. А к обеим частям неравенства $c<d$ прибавим число b, получим $b+c<b+d$. Тогда из неравенств $a+c<b+c$ и $b+c<b+d$ следует, что $a+c<b+d$.

Теорема справедлива и в случае почленного сложения и более двух неравенств. Сформулируем свойство сложения числовых неравенств. 

Если $a<b$ и $c<d$, где  a,b,c,d — положительные числа, то $ac<bd$.

Умножим обе части неравенства $a<b$ на число c и получим $ac<bc$. А обе части неравенства $c<d$ умножим на число b, получим $bc<bd$. Тогда из неравенств $ac<bc$ и $bc<bd$ следует, что $ac<bd$.

Теорема справедлива и в случае почленного умножения более двух неравенств указанного вида. Сформулируем свойство умножения числовых неравенств. 

Если почленно перемножить n верных неравенств $a<b$, в которых a и b — положительные числа, то получим верное неравенство $a^n<b^n$.

Применение свойств сложения и умножения числовых неравенств

Доказанные свойства используют для оценки суммы, разности, произведения и частного.

Зная, что  $2<p<3 и 4<q<5$, оцените значение выражения: 

а) $5p+q$; б) $2q-p$; в) $\frac{pq}{2}$; г) $\frac{p^2}{2q}$.

Решение
 

а) Оценим сумму $5p+q$.

Умножим на число 5 неравенства $2<p$ и $p<3$, получим $10<5p и 5p<15$. Затем почленно сложим неравенства $10<5p и 4<q, 5p<15 и q<5,$ получим $14<5p+q и 5p+q<20$ , т.е. $14<5p+q<20$. 

Запись можно вести короче:
 

$10<5p<15$
$4<q<5$

$14<5p+q<20$
 

б) Оценим разность $2q-p$.

Для этого преобразуем разность в сумму $2q-p=(-p)+2q$. Получим оценку для $-p и 2q$. Т.к. $2<p<3, то -2>-p>-3$, т.е. $-3<-p<-2$. Т.к. $4<q<5, то 8<2q<10.$ Далее почленно сложим неравенства:
 

$-3<-p<-2$
$8<2q<10$

$5<2q-p<8$
 

в) Оценим сначала произведение $pq$.

Т.к. все границы неравенств положительны, то можем применить теорему о почленном умножении: 
 

$2<p<3$
$4<q<5$

$8<pq<15$
 

Т.к. $8<pq<15$, то после деления на число 2 получим $4<\frac{pq}{2}<7,5$.
 

г) Частное $\frac{p^2}{2q}$ представим как произведение $p^2\times \frac{1}{2q}$.

Т.к. $2<p<3, то 4<p^2<9$. Т.к. $4<q<5, то \frac{1}{4}>\frac{1}{q}>\frac{1}{5}$. Таким образом, 

$4<p^2<9$

$\frac{1}{5}<\frac{1}{q}<\frac{1}{4}$

$\frac{4}{5}<\frac{p^2}{q}<\frac{9}{4}$

После деления на число 2 получаем $\frac{2}{5}<\frac{p^2}{2q}<\frac{9}{8}$.

Ответ: а) $14<5p+q<20$; б) $5<2q-p<8$; в) $4<\frac{pq}{2}<7,5$; г) $\frac{2}{5}<\frac{p^2}{2q}<\frac{9}{8}$.

1. Зная, что  $1<x<2 и 2<y<3$, оцените значение выражения: 

а) $x+y$; б) $x-y$; в) $xy$; г) $\frac{x}{y}$.

2. Зная, что $2<p<3 и 3<q<4$, оцените значение выражения:

а) $p+2q$; б) $2q-p$; в) $3pq$; г) $\frac{p^2}{4q}$.

Сформулируйте теоремы, выражающие свойства почленного сложения и умножения числовых неравенств.