Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Сложение и умножение числовых неравенств

Решение уравнений и неравенств

Сложение и умножение числовых неравенств

План урока

  • Сложение числовых неравенств
  • Умножение числовых неравенств
  • Применение свойств сложения и умножения числовых неравенств

Цели урока

  • Знать формулировки свойств сложения и умножения числовых неравенств
  • Уметь применять свойства сложения и умножения числовых неравенств для обоснования следования одного неравенства из другого

Разминка

  • Известно, что a<b. Сравните:

а)  23a и 23b ; б)  -23a и -23b.

Сложение и умножение неравенств

 

Рассмотрим, как выполняется сложение и умножение числовых неравенств.


Теорема 5

Если a<b и c<d, то a+c<b+d.


К обеим частям неравенства a<b прибавим число c и получим a+c<b+c. А к обеим частям неравенства c<d прибавим число b, получим b+c<b+d. Тогда из неравенств a+c<b+c и b+c<b+d следует, что  a+c<b+d.

Теорема справедлива и в случае почленного сложения и более двух неравенств. Сформулируем свойство сложения числовых неравенств. 


Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.


Теорема 6

Если a<b и c<d, где  a,b,c,d — положительные числа, то ac<bd.


Умножим обе части неравенства a<b на число c и получим ac<bc. А обе части неравенства c<d умножим на число b, получим bc<bd. Тогда из неравенств  ac<bc и bc<bd  следует, что ac<bd.

 

Теорема справедлива и в случае почленного умножения более двух неравенств указанного вида. Сформулируем свойство умножения числовых неравенств. 


Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых — положительные числа, то получится верное неравенство.

 

Следствие
 

Если числа a и b положительны и a<b, то an<bn, где n — натуральное число.


Если почленно перемножить n верных неравенств a<b, в которых a и b — положительные числа, то получим верное неравенство an<bn.

 

Применение свойств сложения и умножения числовых неравенств

 

Доказанные свойства используют для оценки суммы, разности, произведения и частного.


Пример 1

Зная, что  2<p<3 и 4<q<5, оцените значение выражения: 

а) 5p+q; б) 2q-p; в) pq2; г) p22q.

 

Решение
 

а) Оценим сумму 5p+q.

Умножим на число 5 неравенства 2<p и p<3, получим 10<5p и 5p<15. Затем почленно сложим неравенства 10<5p и 4<q, 5p<15 и q<5, получим 14<5p+q и 5p+q<20 , т.е. 14<5p+q<20

Запись можно вести короче:
 

10<5p<15
 4<q<5 

14<5p+q<20
 

б) Оценим разность 2q-p.

Для этого преобразуем разность в сумму 2q-p=(-p)+2q. Получим оценку для -p и 2q. Т.к. 2<p<3, то -2>-p>-3, т.е. -3<-p<-2. Т.к. 4<q<5, то 8<2q<10. Далее почленно сложим неравенства:
 

-3<-p<-2
 8<2q<10 

5<2q-p<8
 

в) Оценим сначала произведение pq.

Т.к. все границы неравенств положительны, то можем применить теорему о почленном умножении: 
 

2<p<3 
4<q<5 

8<pq<15
 

Т.к. 8<pq<15, то после деления на число 2 получим 4<pq2<7,5.
 

г) Частное p22q представим как произведение p2×12q.

Т.к. 2<p<3, то 4<p2<9. Т.к.  4<q<5, то 14>1q>15. Таким образом, 

4<p2<9

15<1q<14

 

45<p2q<94

После деления на число 2 получаем 25<p22q<98.

Ответ: а) 14<5p+q<20; б) 5<2q-p<8; в) 4<pq2<7,5; г) 25<p22q<98.


Упражнение 1

1. Зная, что  1<x<2 и 2<y<3, оцените значение выражения: 

а) x+y; б) x-y; в) xy; г) xy.

2. Зная, что 2<p<3 и 3<q<4, оцените значение выражения:

а) p+2q; б) 2q-p; в) 3pq; г) p24q.


Контрольные вопросы

Сформулируйте теоремы, выражающие свойства почленного сложения и умножения числовых неравенств.


Ответы

Упражнение 1

 

1. а) 3<x+y<5; б) -2<x-y<0; в) 2<xy<6; г) 13<xy<1.

 

2. а) 8<p+2q<11; б) 3<2q-p<6; в) 18<3pq<36; г) 14<p24q<34.


 

 

Предыдущий урок
Уравнение x^2=a. Нахождение приближенных значений квадратного корня
Решение уравнений и неравенств
Следующий урок
Числовые неравенства и их свойства
Решение уравнений и неравенств
  • Главные члены предложения. Сказуемое и способы его выражения

    Русский язык

  • Витамины и их роль в организме. Регуляция обмена веществ. Нарушение обмена веществ

    Биология

  • Моральный выбор — это ответственность

    Обществознание

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке