- Пересечение множеств
- Объединение множеств
- Числовые промежутки
- Знать определения пересечения и объединения двух множеств
- Знать, что такое пустое множество
- Уметь находить пересечение и объединение двух множеств
- Знать обозначения числовых промежутков, их названия, их изображение на координатной прямой и неравенства, которые задают эти числовые промежутки
- Уметь изображать на координатной прямой числовые промежутки, заданные неравенствами или обозначением промежутка
- Уметь находить пересечение и объединение числовых промежутков
Пересечение и объединение множеств
Основатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) определял множество как «объединение определённых, различных объектов, называемых элементами множества в единое целое».
Пусть множество A — множество натуральных делителей 18, B — множество натуральных делителей 24. Зададим множества A и B перечислением элементов:
Обозначим буквой C множество общих делителей чисел 18 и 24, т.е. общих элементов множеств A и B. Получим, что
.
Тогда говорят, что множество C является пересечением множеств A и B, и обозначают: .
Пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.
Рис. 1. Геометрическая иллюстрация пересечения множеств
Соотношение между множествами A, B и C изображается с помощью кругов Эйлера (рис. 1).
Если множества X и Y не имеют общих элементов, то говорят, что их пересечение — пустое множество, которое обозначают знаком . И записывают: .
Рис. 2. Геометрическая иллюстрация объединения множеств
Вернемся к примеру. Пусть множество D — множество делителей чисел 18 и 24.
Тогда получим
.
Про множество D говорят, что оно является объединением множеств A и B, и обозначают: .
На рисунке 2 с помощью кругов Эйлера изображено объединение множеств A и B (закрашенная фигура).
Упражнение 1
1. Пусть A — множество однозначных простых чисел, Y — множество однозначных натуральных чисел. Задайте путем перечисления множества их пересечения и объединения.
2. Пусть A — множество делителей числа 45, Y — множество делителей числа 14. Задайте путем перечисления элементов множества их пересечения и объединения.
Числовые промежутки
Пусть a и b — некоторые числа, причем . Пусть x — число больше a и меньше b, т.е. . Тогда число x на координатной прямой изображается точкой между точками с координатами a и b (рис. 3). Верно и обратное: точке между точками с координатами a и b, соответствует число x, для которого верно .
Множество всех чисел, удовлетворяющих условию , называют интервалом и обозначают так: (a; b) (читают: интервал от a до b). На рисунке 4 это множество показано штриховкой, а светлые кружки с координатами a и b показывают, что числа a и b не принадлежат (a; b).
Множество всех чисел, удовлетворяющих условию , называют
отрезком
и обозначают так: [a; b] (читают: отрезок от a до b). На рисунке 5 это множество показано штриховкой, а закрашенные кружки с координатами a и b показывают, что числа a и b принадлежат отрезку.
Множества чисел x, для которых выполняются двойные неравенства и , называют
полуинтервалами
и обозначают соответственно (a; b] и [a; b) (читают: полуинтервал от a до b, включая b; полуинтервал от a до b, включая a). Эти полуинтервалы изображены на рисунках 6 и 7.
Числовые отрезки, интервалы и полуинтервалы называют
числовыми промежутками
.
Существуют и другие числовые промежутки. Обозначения числовых промежутков, их названия и изображение на координатной прямой показаны в таблице.
Таблица 1. Числовые промежутки
Множество действительных чисел изображается всей координатной прямой. Его называют числовой прямой и обозначают .
Выясним, какое множество является пересечением и какое объединением некоторых числовых промежутков.
Пример 1
Найдите пересечение и объединение числовых промежутков:
а) (рис. 8); б) (рис. 9).
Решение
а) ;
.
б) ;
.
Ответ: а) , ;
б) , .
В некоторых случаях числовые промежутки не имеют общих элементов, поэтому их пересечение является пустым множеством.
Например, (рис. 10). Объединение числовых промежутков не всегда является числовым промежутком. Например, (рис. 10).
Упражнение 2
Найдите пересечение и объединение числовых промежутков:
а) ; б) ; в) ;
г)
Контрольные вопросы
1. Что называется пересечением двух множеств? Объединением двух множеств?
2. Назовите числовые промежутки различного вида.
3. В каком случае пересечение промежутков является пустым множеством?
Упражнение 1
1.
2.
Упражнение 2
а) ; б) ; в) ;
г) .
