Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Решение задач с помощью квадратных уравнений

Решение уравнений и неравенств

Решение задач с помощью квадратных уравнений

План урока

  • Решение задач с помощью квадратных уравнений

Цели урока

  • Уметь составлять уравнение по условию задачи
  • Уметь определять, соответствуют ли найденные корни уравнения условию задачи

Разминка

Решите уравнение
 

1)2x2-x-10=0

2)7x2-2x+48=0

3) x2+6x+9=0

Решение задач с помощью квадратных уравнений

 

Рассмотрим несколько задач, которые решают с помощью квадратных уравнений. 


Пример 1

Найдите натуральное число, квадрат которого на 56 больше самого числа.

 

Решение
 

Пусть неизвестное натуральное число равно x. Тогда квадрат этого числа x2. Из условия, что квадрат числа на 56 больше самого числа, получим уравнение

x2=x+56.
 

Перенесем члены из правой части в левую и получим квадратное уравнение
 

x2-x-56=0.

Определим коэффициенты уравнения: 
 

a=1,b=-1,c=-56.

Вычислим дискриминант:
 

D=(-1)2-41(-56)=1+224=225,D>0.
 

Применим формулу корней квадратного уравнения:
 

x1,2=1±2252;

x1,2=1±152;

x1=-7x2=8.
 

Поскольку по условию число натуральное, то корень уравнения –7 не соответствует условию, т.е. является посторонним корнем. Таким образом, неизвестное число равно 8.

 

Ответ: 8.


Пример 2

Одна из сторон прямоугольника на 5 см больше другой, а его площадь равна 84 см2. Найдите стороны прямоугольника.

 

Решение
 

Пусть одна из сторон равна x см. Тогда другая равна (x+5) см. Площадь прямоугольника равна
 

x(x+5)=84.
 

Раскроем скобки, перенесем 84 в левую часть и получим квадратное уравнение
 

x2+5x-84=0.

Решим уравнение: 
 

 D=52-41(-84)=25+336=361, D>0.

x1,2=-5±3612;

x1,2=-5±192;

x1=-12x2=7.
 

Мы имеем дело с геометрическими величинами, поэтому по смыслу задачи одна из сторон прямоугольника равна 7 см, тогда вторая 12 см.

 

Ответ: 7 см, 12 см.


Пример 3

Найдите периметр прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 61 см, а разность катетов — 49 см.    
      

Решение
 

Пусть меньший катет равен x см. Тогда больший катет равен (x+49) см. Выразим гипотенузу по теореме Пифагора
 

x2+(x+49)2=612.

Упростим левую часть этого уравнения:
 

  x2+x2+98x+2401=3721,

2x2+98x-1320=0,

x2+49x-660=0.

Решим уравнение: 
 

D=492-41(-660)=2401+2640=5041, D>0.

x1,2=-49±50412;

x1,2=-49±712;

x1=-60x2=11.

 

По смыслу задачи мы имеем дело с геометрическими величинами, поэтому меньший катет равен 11 см, больший 60 см.

Периметр треугольника тогда равен 

 

11+60+61=132 (см).

 

Ответ: 132 см.

 


Упражнение 1

1. Произведение двух натуральных чисел равно 273. Найдите эти числа, если одно из них на 8 больше другого.

2. Площадь прямоугольника 480 дм2. Найдите его стороны, если периметр прямоугольника равен 94 дм. 

3. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если их сумма равна 46 см. а гипотенуза — 34 см.


Контрольные вопросы

На какие этапы можно разбить решение задачи?


Ответы

Упражнение 1

 

1. 13; 21.

2. 15 дм, 32 дм.

3. 16 см, 30 см.


 

Предыдущий урок
Решение задач с помощью рациональных уравнений
Решение уравнений и неравенств
Следующий урок
Неполные квадратные уравнения
Решение уравнений и неравенств
  • Россия после Петра I

    История

  • Обращение

    Русский язык

  • Порядок слов в предложении

    Русский язык

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке