Конспект урока: Решение задач с помощью квадратных уравнений

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Рассмотрим несколько задач, которые решают с помощью квадратных уравнений. 

Найдите натуральное число, квадрат которого на 56 больше самого числа.

Решение
 

Пусть неизвестное натуральное число равно x. Тогда квадрат этого числа x². Из условия, что квадрат числа на 56 больше самого числа, получим уравнение

$x^2=x+56$.
 

Перенесем члены из правой части в левую и получим квадратное уравнение
 

$x^2-x-56=0$.

Определим коэффициенты уравнения: 
 

$a=1,\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}b=-1,\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}c=-56$.

Вычислим дискриминант:
 

$D=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-56)=1+224=225,D>0$.
 

Применим формулу корней квадратного уравнения:
 

$x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{225}}{2}$;

$x_{1,2}=\frac{1\pm 15}{2}$;

$x_1=-7$; $x_2=8$.
 

Поскольку по условию число натуральное, то корень уравнения –7 не соответствует условию, т.е. является посторонним корнем. Таким образом, неизвестное число равно 8.

Ответ: 8.

Одна из сторон прямоугольника на 5 см больше другой, а его площадь равна 84 см². Найдите стороны прямоугольника.

Решение
 

Пусть одна из сторон равна x см. Тогда другая равна (x+5) см. Площадь прямоугольника равна
 

$x(x+5)=84$.
 

Раскроем скобки, перенесем 84 в левую часть и получим квадратное уравнение
 

$x^2+5x-84=0$.

Решим уравнение: 
 

 $D=5^2-4\cdot 1\cdot (-84)=25+336=361, D>0$.

$x_{1,2}=\frac{-5\pm \sqrt{361}}{2}$;

$x_{1,2}=\frac{-5\pm 19}{2}$;

$x_1=-12$; $x_2=7$.
 

Мы имеем дело с геометрическими величинами, поэтому по смыслу задачи одна из сторон прямоугольника равна 7 см, тогда вторая 12 см.

Ответ: 7 см, 12 см.

Найдите периметр прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 61 см, а разность катетов — 49 см.    
      

Решение
 

Пусть меньший катет равен x см. Тогда больший катет равен (x+49) см. Выразим гипотенузу по теореме Пифагора
 

$x^2+(x+49{)}^2={61}^2$.

Упростим левую часть этого уравнения:
 

$\begin{array}{rcl} & & x^2+x^2+98x+2401=3721\end{array}$,

$\begin{array}{rcl}2x^2+98x-1320& =& 0\end{array}$,

$\begin{array}{rcl}{x}^2+49x-660& =& 0\end{array}$.

Решим уравнение: 
 

$D={49}^2-4\cdot 1\cdot (-660)=2401+2640=5041, D>0$.

$x_{1,2}=\frac{-49\pm \sqrt{5041}}{2}$;

$x_{1,2}=\frac{-49\pm 71}{2}$;

$x_1=-60$; $x_2=11$.

По смыслу задачи мы имеем дело с геометрическими величинами, поэтому меньший катет равен 11 см, больший 60 см.

Периметр треугольника тогда равен 

$11+60+61=132$ (см).

Ответ: 132 см.

1. Произведение двух натуральных чисел равно 273. Найдите эти числа, если одно из них на 8 больше другого.

2. Площадь прямоугольника 480 дм². Найдите его стороны, если периметр прямоугольника равен 94 дм. 

3. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если их сумма равна 46 см. а гипотенуза — 34 см.

На какие этапы можно разбить решение задачи?