Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Теорема Виета

Решение уравнений и неравенств

Теорема Виета

План урока

  • Теорема Виета
  • Теорема, обратная теореме Виета
  • Применение теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета

Цели урока

  • Знать формулировку и доказательство теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета
  • Уметь применять теорему Виета
  • Уметь применять теорему, обратную теореме Виета к решению квадратных уравнений

Разминка

  • Назовите типы квадратных уравнений.
  • Какие бывают виды неполных квадратных уравнений
  • Какого вида уравнение x2-3x+2=0? Решите его.
  • Что такое приведенное квадратное уравнение?

Теорема Виета


Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.


Рассмотрим приведенное квадратное уравнение. По традиции второй коэффициент обозначают буквой p, а свободный член q:

x2+px+q=0

Тогда дискриминант этого уравнения равен D=p2-4q

Пусть D>0. Тогда это уравнение имеет два корня: 
 

 x1=-p-D2 и x2=-p+D2 .

Найдем сумму и произведение корней:
 

x1+x2=-p-D2+-p+D2=-2p2=-p;

x1×x2=-p-D2×-p+D2=-p2-D24=p2-(p2-4q)4=4q4=q.

Таким образом, 

x1+x2=-p,x1x2=q .

В случае D=0 считают, что квадратное уравнение имеет два равных корня, т.е. x1=x2. Тогда теорема Виета будет верна и в этом случае, поскольку корни уравнения можно вычислить по формуле x=-p±D2.

Рассмотрим общий случай. Пусть квадратное уравнение ax2+bx+c=0 имеет корни x1 и x2. Равносильное данному уравнению приведенное имеет вид

x2+bax+ca=0.

По теореме Виета имеем

x1+x2=-ba,x1x2=ca

 

Теорема, обратная теореме Виета

 

Справедливо и утверждение, обратное теореме Виета. 


Если числа m и n таковы, что их сумма равна –p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения x2+px+q=0.


По условию m+n=-p, а mn=q. Значит, уравнение можно записать в виде
 

x2-(m+n)x+mn=0.

Подставим вместо x число m, получим:
 

m2-(m+n)m+mn=m2-m2-mn+mn=0.

Значит, число m является корнем уравнения. 

Аналогично можно показать, что число n также корень уравнения.


Применение теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета

 

Рассмотрим примеры применения теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета. 


Пример 1

Найдите сумму и произведение корней уравнения x2-16x+28=0.                          

 

Решение
 

Вычислим дискриминант:

 D=162-4128=256-112=144,D>0.

Значит, уравнение имеет корни. Тогда

 x1+x2=16,x1x2=28.

 

Ответ: 16; 28.


Упражнение 1

Найдите сумму и произведение корней уравнения:

а) x2-12x-45=0; б) y2+17y+60=0
в) 3y-40+y2=0; г) 3x2-6x-7=0


По теореме, обратной теореме Виета, можно проверять, правильно ли найдены корни квадратного уравнения.


Пример 2

Решите уравнение x2-13x+40=0 и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета.           

 

Решение
 

Решим уравнение

D=(-13)2-4140=169-160=9,D>0.

x1,2=13±92;

x1,2=13±32;

x1=5x2=8.

Проверим правильность решения с помощью теоремы, обратной теореме Виета.

Сумма найденных чисел 5 и 8 равна 13, а их произведение 40. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, эти числа корни уравнения x2 13x + 40 = 0.

 

Ответ: 5; 8.


Упражнение 2

Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

а) x2+6x+8=0; б) x2-3x-18=0
в) 3x2+5x-2=0; г) 25x2-25x+6=0;


Пример 3

Найдите подбором корни уравнения x2+3x+2=0.                                              

 

Решение
 

D=32-412=9-8=1,D>0.

Пусть x1 и x2 — корни уравнения. Тогда 

x1+x2=-3,x1x2=2.

Если x1 и x2 — целые числа, они являются делителями числа 2. Т.е. возможны два варианта:

12=2, (-1)(-2)=2.

Поскольку -1+(-2)=-3, то x1=-2x2=-1.

 

Ответ: –2; –1.


Упражнение 3

Найдите подбором корни уравнения:

а) x2-15x+14=0; б) x2+8x+7=0
в) x2-19x+18=0; г) x2-11x-80=0


Контрольные вопросы

1. Как изменится формулировка теоремы Виета для квадратного уравнения в общем случае ax2+bx+c=0?

2. Как с помощью теоремы, обратной теореме Виета, решить приведенное квадратное уравнение?


Ответы

Упражнение 1

 

а) 12; –45; б) –17; 60; в) –3; –40; г) 2; -73

 

Упражнение 2

 

а) –4; –2; б) –3; 6; в) –2; 13; г) 0,4; 0,6.

 

Упражнение 3

 

а) 1; 14; б) –7; –1; в) 1; 18; г) –5; 16.


 

Предыдущий урок
Решение неравенств с одной переменной
Решение уравнений и неравенств
Следующий урок
Уравнение x^2=a. Нахождение приближенных значений квадратного корня
Решение уравнений и неравенств
  • Молекулярная теория строения вещества. Вещество и его структурные единицы. Свойства вещества. Модель молекулы. Примеры решения задач

    Физика

  • Агрегатные состояния веществ

    Химия

  • Эксперименты Кулона. Закон Кулона. Сложение электрических сил

    Физика

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке