Конспект урока: Числовые неравенства и их свойства

Числовые неравенства

Для конкретных видов чисел использовался тот или иной способ сравнения. Гораздо удобнее иметь способ, охватывающий все случаи.

На координатной прямой большее число располагается правее меньшего числа. Пусть a и b — некоторые числа. Обозначим разность $a-b$ буквой с. Т.к. $a-b=c$, то $a=b+c$.

Рис. 1. Сравнение чисел на координатной прямой

Если c — положительное число, то точка с координатой $b+c$ лежит правее точки с координатой b, а если c — отрицательное число, то левее. 

 

Таким образом, если $a>b$, то точка с координатой a лежит правее точки с координатой b, если $a<b$ — левее.

Докажите, что при любых значениях переменной x верно неравенство   $(x-4)(x-6)<(x-5{)}^2$.                        

Решение
 

Составим разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее:

$(x-4)(x-6)-(x-5{)}^2=x^2-10x+24-(x^2-10x+25)=$

$=x^2-10x+24-x^2+10x-25=-1<0.$

Таким образом, значение разности отрицательно, следовательно неравенство $(x-4)(x-6)<(x-5{)}^2$ верно для любых значений переменной x .

Пусть a и b — положительные числа. Число $\frac{a+b}{2}$ называется средним арифметическим чисел a и b, число $\sqrt{ab}$ — средним геометрическим, число 
$\frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}}$ — средним гармоническим. Докажите, что

$\frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}}}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$.

Решение
 

Разобьем двойное неравенство на два:

$\sqrt{ab}\ge \frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}}$, $\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$

Докажем сначала, что 

$\sqrt{ab}\ge \frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}}}$.

$\sqrt{ab}-\frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}}}=\sqrt{ab}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{a\sqrt{ab}+b\sqrt{ab}-2ab}{a+b}=\frac{\sqrt{ab}(a+b-2\sqrt{ab})}{a+b}=\frac{\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2}{a+b}$.

При $a>0$ и $b>0$ рассматриваемая разность неотрицательна и, следовательно, верно неравенство.

Далее докажем, что :

$\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$.

$\sqrt{ab}-\frac{a+b}{2}=\frac{2\sqrt{ab}-a-b}{2}=-\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{2}=-\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2}{2}$.

Полученная разность неположительна, а, значит неравенство верно.

Таким образом, верно и двойное неравенство $\frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}}}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$.

Сравните числа a и b если:

а) $a-b=0,539$; б) $a-b=-\frac{7}{9}$; в) $a-b=\sqrt{6}-\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$; г) $a-b=\sqrt{\frac{3}{5}}$

Докажите, что при любых значениях переменных верно неравенство

а) $a^2+b^2\ge 2ab$; б) $(a-4)(a-3)>(a+2)(a-9)$; в) $a(a-6)<(a-3{)}^2$.

Свойства числовых неравенств

Рассмотрим некоторые свойства числовых неравенств.

Если $a>b$, то $b<a$; если $a<b$, то $b>a$.

Если разность $a-b$ — положительное число, то разность $b-a$ — отрицательное число, и наоборот.

Если $a<b$ и $b<c$, то $a<c$.

Докажем, что разность $a-c$ — отрицательное число. Прибавим к этой разности числа $-b$ и $b$ и сгруппируем слагаемые:

$a-c=a-c+b-b=(a-b)+(b-c)$

Рис. 2. Геометрическая иллюстрация теоремы 2

По условию $a<b$ и $b<c$, поэтому слагаемые $a-b$ и $b-c$ — отрицательные числа. Значит, и их сумма является отрицательным числом, следовательно, $a<c$.

Аналогично доказывается, что если $a>b$ и $b>c$, то $a>c$.

 

Геометрическая иллюстрация этих свойств на рисунке 2.

Если $a<b$ и с — любое число, то $a+c<b+c$.

Преобразуем разность $(a+c)-(b+c)$:

$\left(a+c\right)-\left(b+c\right)=a+c-b-c=a-b$.

По условию $a<b$, поэтому $a-b$ — отрицательное число. Значит, и разность $(a+c)-(b+c)$ отрицательна. Следовательно, $a+c<b+c$.

Таким образом, можно сформулировать свойство:

Если $a<b$ и с — положительное число, то $ac<bc$.

Если $a<b$ и с — отрицательное число, то $ac>bc$.

Преобразуем разность $ac-bc: ac-bc=c(a-b)$.

По условию $a<b$, поэтому $a-b$ — отрицательное число. Если $c>0$, то произведение $c(a-b)$ отрицательно, и, следовательно, $ac<bc$. Если $c<0$, то произведение $c(a-b)$ положительно, и, следовательно, $ac>bc$.

Т.к. деление можно заменить умножением на число, обратное делителю, то аналогичное свойство справедливо и для деления.

Если a и b — положительные числа и $a<b$, то $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$.

Разделим обе части неравенства $a<b$ на положительное число $ab:\frac{a}{ab}<\frac{b}{ab}$. Если сократить дробь, то получим, что $\frac{1}{b}<\frac{1}{a}$, т.е. $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$.

Применение свойств числовых неравенств

Рассмотрим пример использования рассмотренных свойств неравенств.

Сравните с нулем числа a и b, если известно, что:

а) $a+5>b+5 и b>0,5$ ; б)  $-12a>-12b и b<-1$.                                 

Решение
 

а) Прибавим к обеим частям неравенства число –5: $a>b$. С учетом $b>0,5$ получаем $0,5<b<a$.

Т.е. $a>0$ и $b>0$.

б) Разделим обе части неравенства на число –12: $a<b$. С учетом $b<-1$ получаем $a<b<-1$. Т.е. $a<0$ и $b<0$.

Ответ: а)  $a>0 и b>0$ ; б)  $a<0 и b<0$.

1. Известно, что $a<b$. Поставьте вместо * знак > или < так, чтобы получилось верное неравенство:

а) $a-4*b-4$; б) $10,5a*10,5b$; в) $-3,2a*-3,2b$; г) $-\frac{a}{3}*-\frac{b}{3}$.

2. Сравните с нулем числа a и b, если известно, что:

а)  $a-1<b-1 и b<-0,2$; б)  $3a<3b и a>1$.