Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Числовые неравенства и их свойства

Решение уравнений и неравенств

Числовые неравенства и их свойства

План урока

  • Числовые неравенства
  • Свойства числовых неравенств
  • Применение свойств числовых неравенств

Цели урока

  • Знать определение и геометрическую интерпретацию отношений «больше», «меньше», «равно»
  • Уметь сравнивать два числа, зная их разность
  • Знать свойства числовых неравенств
  • Уметь применять свойства неравенств для обоснования следования одного неравенства из другого

Разминка

  • Сравните числа:

а) 15 и 10; б) –15 и –10; в) -23 и 15; г)  23и 35; д) 5,6748 и 5,675

Числовые неравенства

 

Для конкретных видов чисел использовался тот или иной способ сравнения. Гораздо удобнее иметь способ, охватывающий все случаи.


Число a больше b, если разность a – b — положительное число;
число a меньше b, если разность a – b — отрицательное число;

если разность a – b равна нулю, то числа числа a и равны.


На координатной прямой большее число располагается правее меньшего числа. Пусть a и b — некоторые числа. Обозначим разность a-b буквой с. Т.к. a-b=c, то a=b+c.

Рис. 1. Сравнение чисел на координатной прямой Рис. 1. Сравнение чисел на координатной прямой

Если c — положительное число, то точка с координатой b+c лежит правее точки с координатой b, а если c — отрицательное число, то левее. 

 

Таким образом, если a>b, то точка с координатой a лежит правее точки с координатой b, если a<b — левее.


Пример 1

Докажите, что при любых значениях переменной x верно неравенство   (x-4)(x-6)<(x-5)2.                        

 

Решение
 

Составим разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее:

 

(x-4)(x-6)-(x-5)2=x2-10x+24-(x2-10x+25)=x2-10x+24--x2+10x-25=-1<0.

 

Таким образом, значение разности отрицательно, следовательно неравенство (x-4)(x-6)<(x-5)2 верно для любых значений переменной x .


Пример 2

Пусть a и b — положительные числа. Число a+b2 называется средним арифметическим чисел a и b, число ab — средним геометрическим, число 
21a+1b — средним гармоническим. Докажите, что

21a+1baba+b2.

 

Решение
 

Разобьем двойное неравенство на два:

ab21a+1baba+b2

Докажем сначала, что 

ab21a+1b.

 

ab-21a+1b=ab-2aba+b=aab+bab-2aba+b=ab(a+b-2ab)a+b=ab(a-b)2a+b.

 

При a>0 и b>0 рассматриваемая разность неотрицательна и, следовательно, верно неравенство.

Далее докажем, что :

aba+b2.

ab-a+b2=2ab-a-b2=-a-2ab+b2=-(a-b)22.

 

Полученная разность неположительна, а, значит неравенство верно.

Таким образом, верно и двойное неравенство 21a+1baba+b2.


Упражнение 1

Сравните числа a и b если:

а) a-b=0,539; б) a-b=-79; в) a-b=6-232; г) a-b=35


Упражнение 2

Докажите, что при любых значениях переменных верно неравенство

а) a2+b22ab; б) (a-4)(a-3)>(a+2)(a-9); в) a(a-6)<(a-3)2.


Свойства числовых неравенств

 

Рассмотрим некоторые свойства числовых неравенств.


Теорема 1

Если a>b, то b<a; если a<b, то b>a.


Если разность a-b — положительное число, то разность b-a — отрицательное число, и наоборот.


Теорема 2

Если a<b и b<c, то a<c.


Докажем, что разность a-c — отрицательное число. Прибавим к этой разности числа -b и b и сгруппируем слагаемые:

a-c=a-c+b-b=(a-b)+(b-c)

Рис. 2. Геометрическая иллюстрация теоремы 2 Рис. 2. Геометрическая иллюстрация теоремы 2

По условию a<b и b<c, поэтому слагаемые a-b и b-c — отрицательные числа. Значит, и их сумма является отрицательным числом, следовательно, a<c.

Аналогично доказывается, что если a>b и b>c, то a>c.

 

Геометрическая иллюстрация этих свойств на рисунке 2.


Теорема 3

Если a<b и с — любое число, то a+c<b+c.


Преобразуем разность (a+c)-(b+c):

 

a+c-b+c=a+c-b-c=a-b.

 

По условию a<b, поэтому a-b — отрицательное число. Значит, и разность (a+c)-(b+c) отрицательна. Следовательно, a+c<b+c.

Таким образом, можно сформулировать свойство:


Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство.


Теорема 4

Если a<b и с — положительное число, то ac<bc.

Если a<b и с — отрицательное число, то ac>bc.


Преобразуем разность ac-bc: ac-bc=c(a-b).

По условию a<b, поэтому a-b — отрицательное число. Если c>0, то произведение c(a-b) отрицательно, и, следовательно, ac<bc. Если c<0, то произведение c(a-b) положительно, и, следовательно, ac>bc.

Т.к. деление можно заменить умножением на число, обратное делителю, то аналогичное свойство справедливо и для деления.


Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.


Следствие

Если a и b — положительные числа и a<b, то 1a>1b.


Разделим обе части неравенства a<b на положительное число ab:aab<bab. Если сократить дробь, то получим, что 1b<1a, т.е. 1a>1b.

 

Применение свойств числовых неравенств

 

Рассмотрим пример использования рассмотренных свойств неравенств.


Пример 3

Сравните с нулем числа a и b, если известно, что:

а) a+5>b+5 и b>0,5 ; б)  -12a>-12b и b<-1.                                 

 

Решение
 

а) Прибавим к обеим частям неравенства число –5: a>b. С учетом b>0,5 получаем 0,5<b<a.

Т.е. a>0 и b>0.

 

б) Разделим обе части неравенства на число –12: a<b. С учетом b<-1 получаем a<b<-1. Т.е. a<0 и b<0.

 

Ответ: а)  a>0 и b>0 ; б)  a<0 и b<0.


Упражнение 3

1. Известно, что a<b. Поставьте вместо * знак > или < так, чтобы получилось верное неравенство:

а) a-4*b-4; б) 10,5a*10,5b; в) -3,2a*-3,2b; г) -a3*-b3.

2. Сравните с нулем числа a и b, если известно, что:

а)  a-1<b-1 и b<-0,2; б)  3a<3b и a>1.


Контрольный вопрос


Сформулируйте теоремы, выражающие основные свойства числовых неравенств.


Ответы

Упражнение 1

 

а) a>b; б) a<b; в) a=b; г) a>b.

 

Упражнение 3

 

1. а)  a-4<b-4; б) 10,5a<10,5b; в) -3,2a>-3,2b; г)-a3>-b3

2. а)   a<0 и b<0; б) a>0 и b>0


 

Предыдущий урок
Решение задач с помощью квадратных уравнений
Решение уравнений и неравенств
Следующий урок
Решение дробных рациональных уравнений
Решение уравнений и неравенств
  • Охрана природы и охраняемые территории

    География

  • Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60 градусов

    Геометрия

  • Количество вещества. Молярный объём газов

    Химия

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке