Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Решение задач с помощью рациональных уравнений

Решение уравнений и неравенств

Решение задач с помощью рациональных уравнений

План урока

  • Решение задач с помощью рациональных уравнений

Цели урока

  • Уметь составлять уравнение по условию задачи
  • Уметь определять, соответствуют ли найденные корни уравнения условию задачи

Разминка

  • Решите уравнение y+4y+2=2y-1y.

Решение задач с помощью рациональных уравнений

 

Решение многих задач приводит к дробным рациональным уравнениям.

 


Пример 1

Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч, прошел 50 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Какова скорость течения реки, если известно, что она больше 7 км/ч?                         

 

Решение
 

Пусть x км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость теплохода по течению 18+x км/ч, а против течения 18-x км/ч.

По течению реки 50 км лодка прошла за 5018+x ч, а против течения 8 км — за 818-x ч. Значит, все время, затраченное на весь путь равно 5018+x+818-x ч.

По условию задачи на весь путь теплоход затратил 3 ч. Следовательно, 

5018+x+818-x=3.
 

Краткую запись к данной задаче можно оформить в виде таблицы:

 

Этапы пути

v, км/ч

t, ч

s, км

по течению

18+x

5018+x

50

против течения

18–x

818-x

8


 

Решим уравнение: 

50(18-x)+8(18+x)=3(324-x2),

900-50x+144+8x=972-3x2,

3x2-42x+72=0,

x2-14x+24=0,

D=142-4124=196-96=100, D>0.

x1,2=14±1002;

x1,2=14±102;

x1=2x2=12.

По условию задачи  скорость течения реки больше 7 км/ч, тогда из найденных корней уравнения подходит 12.

 

Ответ: 12 км/ч.

 


Пример 2

В сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, добавили 100 г золота. В результате содержание золота в сплаве увеличилось на 20 %. Сколько граммов серебра в сплаве? 

 

 

Решение
 

Пусть x г серебра было в сплаве изначально и масса сплава была x+80 г, а процентное содержание золота было 80x+80×100%. Масса нового сплава равна x+180г. А процентное содержание золота 180x+180×100%. 

Составим уравнение:

 

180x+180100%-80x+80100%=20%,

180x+180-80x+80=0,2,

 

180×5x+180-80×5x+80=1,

 

900x+180-400x+80=1,

 

900x+80-400x+180=(x+180)(x+80),

 

900x+72000-400x-72000=x2+260x+14400,

 

x2-240x+14400=0,

 

D1=1202-14400=14400-14400=0,

x=120

 

 

Ответ: 120 г.


Пример 3

Два автомата должны были изготовить по 180 деталей. Первый автомат изготовлял в час на 2 детали больше, чем второй, и поэтому закончил работу на 3 ч раньше. Сколько деталей изготовлял в час каждый автомат?

 

Решение
 

Заполним таблицу, в которой p — производительность автоматов, t — время, A — объем работы, x деталей — изготавливает второй автомат за час.

 

Автоматы

p, дет/ч

t, ч

A, дет

I

x+2

180x+2

180

II

x

180x

180

 

По условию задачи первый автомат закончил работу на 3 часа раньше, составим и решим уравнение:
 

180x-180x+2=3,

60x-60x+2=1,

 

60(x+2)-60x=x(x+2),

60x+120-60x=x2+2x,

x2+2x-120=0,

D1=12+120=121, D>0.

 

x1,2=-1±121;

x1,2=-1±11;

x1=-12x2=10.

 

 

Отрицательный корень не удовлетворяет условию задачи, т.к. количество деталей — число положительное, поэтому производительность второго автомата 10 дет/ч. Тогда производительность первого автомата 12 дет/ч.

 

Ответ: 12 дет/ч, 10 дет/ч.

 


Упражнение 1

1. Катер на путь длиной 72 км по течению реки и на такой же путь обратно затратил 7 ч 30 мин. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 4 км/ч.

 

2. В сплав меди и цинка, содержащий 5 кг цинка, добавили 15 кг цинка, после чего содержание цинка в сплаве повысилось на 30 %. Какова первоначальная масса сплава, если известно, что в нем меди было больше, чем цинка?

 

3. Чтобы вспахать поле, первому трактористу требуется на 4 дня меньше, чем второму. Если сначала 7 дней будет работать первый тракторист, а затем к нему присоединится второй, то через 5 дней совместной работы они закончат вспашку поля. За какое время может вспахать это поле каждый тракторист, работая отдельно. 


Контрольный вопрос

Какие основные типы задач вы знаете?


Ответы

Упражнение 1

 

1. 20 км/ч

2. 25 кг

3. 16 дней; 20 дней


 

Предыдущий урок
Числовые неравенства и их свойства
Решение уравнений и неравенств
Следующий урок
Сложение и умножение числовых неравенств
Решение уравнений и неравенств
  • Ковалентная химическая связь

    Химия

  • Прямая речь. Диалог

    Русский язык

  • Строение органов дыхания. Газообмен в лёгких и тканях. Заболевания органов дыхания и их гигиена

    Биология

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке