Конспект урока: Решение задач с помощью рациональных уравнений

Решение задач с помощью рациональных уравнений

Решение многих задач приводит к дробным рациональным уравнениям.

Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч, прошел 50 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Какова скорость течения реки, если известно, что она больше 7 км/ч?                         

Решение
 

Пусть x км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость теплохода по течению $\left(18+x\right)$ км/ч, а против течения $\left(18-x\right)$ км/ч.

По течению реки 50 км лодка прошла за $\frac{50}{18+x}$ ч, а против течения 8 км — за $\frac{8}{18-x}$ ч. Значит, все время, затраченное на весь путь равно $\left(\frac{50}{18+x}+\frac{8}{18-x}\right)$ ч.

По условию задачи на весь путь теплоход затратил 3 ч. Следовательно, 

$\frac{50}{18+x}+\frac{8}{18-x}=3$.
 

Краткую запись к данной задаче можно оформить в виде таблицы:

Решим уравнение: 

$50(18-x)+8(18+x)=3(324-x^2),$

$900-50x+144+8x=972-3x^2,$

$3x^2-42x+72=0,$

$x^2-14x+24=0,$

$D={14}^2-4\cdot 1\cdot 24=196-96=100, D>0$.

$x_{1,2}=\frac{14\pm \sqrt{100}}{2}$;

$x_{1,2}=\frac{14\pm 10}{2}$;

$x_1=2$; $x_2=12$.

По условию задачи  скорость течения реки больше 7 км/ч, тогда из найденных корней уравнения подходит 12.

Ответ: 12 км/ч.

В сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, добавили 100 г золота. В результате содержание золота в сплаве увеличилось на 20 %. Сколько граммов серебра в сплаве? 

Решение
 

Пусть x г серебра было в сплаве изначально и масса сплава была $x+80$ г, а процентное содержание золота было $\frac{80}{x+80}\times 100$%. Масса нового сплава равна $x+180$г. А процентное содержание золота $\frac{180}{x+180}\times 100$%. 

Составим уравнение:

 

$\frac{180}{x+180}\cdot 100\%-\frac{80}{x+80}\cdot 100\%=20\%,$

$\frac{180}{x+180}-\frac{80}{x+80}=0,2,$

$\frac{180\times 5}{x+180}-\frac{80\times 5}{x+80}=1,$

$\frac{900}{x+180}-\frac{400}{x+80}=1,$

$900\left(x+80\right)-400\left(x+180\right)=(x+180)(x+80),$

$900x+72000-400x-72000=x^2+260x+14400,$

$x^2-240x+14400=0,$

$D_1={120}^2-14400=14400-14400=0,$

$x=120$

Ответ: 120 г.

Два автомата должны были изготовить по 180 деталей. Первый автомат изготовлял в час на 2 детали больше, чем второй, и поэтому закончил работу на 3 ч раньше. Сколько деталей изготовлял в час каждый автомат?

Решение
 

Заполним таблицу, в которой p — производительность автоматов, t — время, A — объем работы, x деталей — изготавливает второй автомат за час.

По условию задачи первый автомат закончил работу на 3 часа раньше, составим и решим уравнение:
 

$\frac{180}{x}-\frac{180}{x+2}=3,$

$\frac{60}{x}-\frac{60}{x+2}=1,$

$60(x+2)-60x=x(x+2),$

$60x+120-60x=x^2+2x,$

$x^2+2x-120=0,$

$D_1=1^2+120=121, D>0.$

$x_{1,2}=-1\pm \sqrt{121}$;

$x_{1,2}=-1\pm 11$;

$x_1=-12$; $x_2=10$.

Отрицательный корень не удовлетворяет условию задачи, т.к. количество деталей — число положительное, поэтому производительность второго автомата 10 дет/ч. Тогда производительность первого автомата 12 дет/ч.

Ответ: 12 дет/ч, 10 дет/ч.

1. Катер на путь длиной 72 км по течению реки и на такой же путь обратно затратил 7 ч 30 мин. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 4 км/ч.

2. В сплав меди и цинка, содержащий 5 кг цинка, добавили 15 кг цинка, после чего содержание цинка в сплаве повысилось на 30 %. Какова первоначальная масса сплава, если известно, что в нем меди было больше, чем цинка?

3. Чтобы вспахать поле, первому трактористу требуется на 4 дня меньше, чем второму. Если сначала 7 дней будет работать первый тракторист, а затем к нему присоединится второй, то через 5 дней совместной работы они закончат вспашку поля. За какое время может вспахать это поле каждый тракторист, работая отдельно. 

Какие основные типы задач вы знаете?