Конспект урока: Решение неравенств с одной переменной

Решение неравенств с одной переменной

Неравенство  $2x+3>4$ обращается в верное числовое равенство только при некоторых значениях переменной. Например, при $x=1$. Если же вместо $x$ подставить 0, то неравенство верным не будет. В таком случае говорят, что 1 является решением неравенства $2x+3>4$ или удовлетворяет этому неравенству. Заметим, что, например, числа 2, 10, 15 также являются решениями этого неравенства, а числа -3, 0,2 не являются. 

При решении неравенств используются следующие свойства:

Примеры решения неравенств с одной переменной

Рассмотрим примеры решения неравенств.

Решить неравенство $6+x<3-2x$.

Решение

Перенесём слагаемое $-2x$ из правой части неравенства с противоположным знаком в левую часть, а число 6 из левой части в правую с противоположным знаком:
 

$x+2x<3-6$.

 

 

Приведем подобные слагаемые: 

$3x<-3$.

Разделим обе части неравенства на положительное число 3:

$x<-1$

Этому неравенству отвечает открытый числовой луч  $(-\infty ;\hspace{0.33em}-1)$ (рис. 1).

 

Ответ: $(-\infty ;\hspace{0.33em}-1)$.

Решить неравенство $3(2+x)<4-x$.

Решение

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$6+3x<4-x$.
 

Перенесём слагаемое $-x$ из правой части неравенства с противоположным знаком в левую часть, а число 6 из левой части в правую с противоположным знаком:
 

$3x+x<4-6$.

Приведем подобные слагаемые: 
 

$4x<-2$.
 

Разделим обе части неравенства на положительное число 4:
 

$x<-0,5$
 

Этому неравенству отвечает открытый числовой луч  $(-\infty ;\hspace{0.33em}-0,5)$ (рис. 2).

 

Ответ: $(-\infty ;\hspace{0.33em}-0,5)$.

Решить неравенство $\frac{x-1}{3}-2x<\frac{3x+1}{2}$.        

Решение

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, входящих в неравенство:

 

$\frac{6(x-1)}{3}-12x<\frac{6(3x+1)}{2},$

$2x-2-12x<9x+3,$

$2x-12x-9x<3+2$

 

Отсюда,

 

$-19x<5,$

$x>-\frac{5}{19}$.

 

Получаем открытый луч $(-\frac{5}{19};\hspace{0.33em}+\infty )$.

 

Ответ: $(-\frac{5}{19};\hspace{0.33em}+\infty )$.

В некоторых случаях может случиться, мы придем к неравенству вида $0\cdot x<b$ и $0\cdot x>b$. Такие неравенства либо не имеют решения, либо их решением является любое число.

Например, неравенство $0\cdot x<12$, равносильное $0<12$, выполняется всегда, поэтому решением будет вся числовая прямая $(-\infty ;\hspace{0.33em}+\infty )$. Неравенство $0\cdot x<-3$, равносильно $0<-3$, не является верным, поэтому не имеет решения.

Решите неравенство:

а) $4+12x>7+13x$;  

б) $3(1-x)+2(2-2x)<0$;  

в) $-(4-x)\le 2(3+x)$; 

г) $\frac{2x}{5}-x>3$;  д) $x+\frac{x}{4}\ge 2$;  e) $\frac{2x}{3}-\frac{x-1}{6}+\frac{x+2}{2}\ge 0.$
 

1. Что называется решением неравенства? 

2. Всегда ли неравенство имеет решение?

3. Какие свойства используют при решении неравенств?

4. Какие неравенства называются линейными?