Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Решение неравенств с одной переменной

Решение уравнений и неравенств

Решение неравенств с одной переменной

План урока

  • Решение неравенств с одной переменной
  • Примеры решения неравенств с одной переменной

Цели урока

  • Знать определение решения неравенств с одной переменной
  • Знать правила переходов от одного неравенства к другому, ему равносильному
  • Знать определение линейного неравенства с одной переменной
  • Уметь решать линейные неравенства с одной переменной

Разминка

  • Прочитайте неравенство и назовите соответствующий ему числовой промежуток: а) x<-3; б) x7; в) -2<x<3; г) -1x1

 

Решение неравенств с одной переменной

 

Неравенство  2x+3>4 обращается в верное числовое равенство только при некоторых значениях переменной. Например, при x=1. Если же вместо x подставить 0, то неравенство верным не будет. В такое случае говорят, что 1 является решением неравенства 2x+3>4 или удовлетворяет этому неравенству. Заметим, что, например, числа 2, 10, 15 также являются решениями этого неравенства, а числа -3, 0,2 не являются. 


Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

 

Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

 

Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными . Неравенства, не имеющие решений, также считают равносильными.


При решении неравенств используются следующие свойства:


1) Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получиться равносильное ему неравенство. 

 

2) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получиться равносильное ему неравенство;
если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.


Примеры решения неравенств с одной переменной

 

Рассмотрим примеры решения неравенств.


Пример 1

Решить неравенство 6+x<3-2x.

 

Решение

Перенесём слагаемое -2x из правой части неравенства с противоположным знаком в левую часть, а число 6 из левой части в правую часть с противоположным знаком:
 

x+2x<3-6.

 

 

Приведем подобные слагаемые: 

3x<-3.

Разделим обе части неравенства на положительное число 3:

x<-1

Этому неравенству отвечает открытый числовой луч  (-;-1) (рис. 1).

 

Ответ: (-;-1).


Пример 2

Решить неравенство 3(2+x)<4-x.

 

Решение

Раскроем скобки в левой части неравенства:

6+3x<4-x.
 

Перенесём слагаемое  из правой части неравенства с противоположным знаком в левую часть, а число 6 из левой части в правую часть с противоположным знаком:
 

3x+x<4-6.

Приведем подобные слагаемые: 
 

4x<-2.
 

Разделим обе части неравенства на положительное число 4:
 

x<-0,5
 

Этому неравенству отвечает открытый числовой луч  (-;-0,5) (рис. 2).

 

Ответ: (-;-0,5).


Пример 3

Решить неравенство x-13-2x<3x+12.        

 

Решение

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, входящих в неравенство:

 

6(x-1)3-12x<6(3x+1)2, 

2x-2-12x<9x+3, 

2x-12x-9x<3+2

 

Отсюда,

 

-19x<5, 

x>-519.

 

Получаем открытый луч (-519;+).

 

Ответ: (-519;+).


Неравенства вида ax>b  или ax<b , где a и b — некоторые числа, называют  линейными неравенствами с одной переменной .


В некоторых случаях может случиться, мы придем к неравенству вида 0x<b и 0x>b. Такие неравенства либо не имеют решения, либо их решением является любое число.

 

Например, неравенство 0x<12, равносильное 0<12, выполняется всегда, поэтому решением будет вся числовая прямая  (-;+). Неравенство 0x<-3, равносильно 0<-3, не является верным, поэтому не имеет решения.


Упражнение 1

Решите неравенство:

 

а) 4+12x>7+13x;  

б) 3(1-x)+2(2-2x)<0;  

в) -(4-x)2(3+x)

 

г) 2x5-x>3;  д) x+x42;  e) 2x3-x-16+x+220.
 


Контрольные вопросы

1. Что называется решением неравенства? 

2. Всегда ли неравенство имеет решение?

3. Какие свойства используют при решении неравенств?

4. Какие неравенства называются линейными?


Ответы

Упражнение 1

 

а) (-;-3); б)  (1;+); в) (-10;+); г) (-;-5); д) (1,6;+)

е) (-116;+).


 

Предыдущий урок
Уравнение x^2=a. Нахождение приближенных значений квадратного корня
Решение уравнений и неравенств
Следующий урок
Пересечение и объединение множеств. Числовые промежутки
Решение уравнений и неравенств
  • Древнерусская литература. Жанры древнерусской литературы. «Повести о житии и храбрости благородного и великого князя Александра Невского»

    Литература

  • Уточняющие члены предложения

    Русский язык

  • Химические формулы. Валентность

    Химия

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке