Цифровая библиотека

Интернет-библиотека по школьным предметам от «Онлайн-школы». Библиотека поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

Например: формулы сокращенного умножения

Выбери класс

Выбери все классы

Все предметы
8 класс
Алгебра
Формула корней квадратного уравнения

Алгебра 8 класс Алгебра 8 класс

Конспект урока: Формула корней квадратного уравнения

Решение уравнений и неравенств

19.04.2024

1640

Формула корней квадратного уравнения

План урока

Формула корней квадратного уравнения
Применение формулы корней квадратных уравнений
Формула корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом
Применение формулы корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом

Цели урока

Знать метод выделения квадрата двучлена для решения квадратных уравнений
Знать формулу корней квадратного уравнения
Уметь выделять квадрат двучлена при решении квадратных уравнений
Уметь применять формулу корней квадратного уравнения в различных случаях
Знать формулу корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом
Уметь применять формулу корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом в различных случаях

Разминка

Решите уравнение: а) $x^{2} - 3 x = 0$ ; б) $- 4 x^{2} + 16 = 0$ ; в) $\frac{1}{7} x^{2} = 0$ ;
г) $3 x^{2} + 5 = 0$ .

Формула корней квадратного уравнения

Рассмотрим вопрос решения квадратного уравнения, у которого все коэффициенты ненулевые.

Пример 1

Решите уравнение $4 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ .

Решение

Разделим обе части этого уравнения на старший коэффициент 4, получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение

$x^{2} - \frac{3}{4} x - \frac{1}{4} = 0$ .

Выделим из трехчлена $x^{2} - \frac{3}{4} x - \frac{1}{4}$ квадрат двучлена. Для этого разность $x^{2} - \frac{3}{4} x$ представим в виде $x^{2} - 2 \cdot \frac{3}{8} x$ , прибавим к ней выражение ${(\frac{3}{8})}^{2}$ и вычтем его.

Получим

$x^{2} - 2 \cdot \frac{3}{8} x + {(\frac{3}{8})}^{2} - {(\frac{3}{8})}^{2} - \frac{1}{4} = 0$ .

Отсюда

$x^{2} - 2 \cdot \frac{3}{8} x + {(\frac{3}{8})}^{2} = {(\frac{3}{8})}^{2} + \frac{1}{4}$ ,

$(x - \frac{3}{8})^{2} = \frac{25}{64}$ .

Тогда,

$x - \frac{3}{8} = \sqrt{\frac{25}{64}}$ или $x - \frac{3}{8} = - \sqrt{\frac{25}{64}}$ ,

$x - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ или $x - \frac{3}{8} = - \frac{5}{8}$ ,

$x = 1$ или $x = - \frac{1}{4}$ .

Ответ: $- \frac{1}{4}$ ; $1$ .

Способ, с помощью которого мы решили уравнение, называют выделением квадрата двучлена .

Его применение к решению квадратных уравнений требует громоздких преобразований. Поэтому с помощью выделения квадрата двучлена получим формулу корней квадратного уравнения в общем случае, которую можно будет применять к решению квадратных уравнений.

$a x^{2} + b x + c = 0,$ (1)

$x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0,$

$x^{2} + 2 \cdot \frac{b}{2 a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{c}{a} = 0$ ,

$x^{2} + 2 \cdot \frac{b}{2 a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} = {(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a}$ ,

${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = {(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a}$ ,

${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$ . (2)

Уравнение (2) равносильно уравнению (1). Число его корней зависит от знака дроби $\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$ . Т.к. $a \neq 0$ , то $4 a^{2}$ — положительное число, поэтому знак этой дроби зависит от знака её числителя, т.е. выражения $b^{2} - 4 a c$ . Это выражение называют дискриминантом квадратного уравнения («дискриминант» по-латыни — разделитель). Его обозначают буквой D, т.е.

$D = b^{2} - 4 a c$

Перепишем уравнение (2) в виде ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{D}{4 a^{2}}$ .

Рассмотрим различные возможные случаи в зависимости от значения D.

1) Если D > 0, то

$x + \frac{b}{2 a} = - \frac{\sqrt{D}}{2 a} и л и x + \frac{b}{2 a} = \frac{\sqrt{D}}{2 a}$

$x = - \frac{b}{2 a} - \frac{\sqrt{D}}{2 a} и л и x = - \frac{b}{2 a} + \frac{\sqrt{D}}{2 a}$

$x = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} и л и x = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a}$

Таким образом, в этом случае уравнение (1) имеет два корня:

$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a}$ или $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a}$ .

Принята следующая краткая запись, которую называют формулой корней квадратного уравнения :

$x = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}, г д е D = b^{2} - 4 a c$ .

2) Если D = 0, то уравнение примет вид

$(x + \frac{b}{2 a})^{2} = 0$ .

Отсюда получаем

$x + \frac{b}{2 a} = 0$ ,

$x = - \frac{b}{2 a}$ .

В этом случае уравнение (1) имеет один корень $- \frac{b}{2 a}$ .

В этом случае можно применить и формулу корней квадратного уравнения. При D = 0:

$x = \frac{- b \pm \sqrt{0}}{2 a}$ ,

откуда

$x = - \frac{b}{2 a}$ .

3) Если D < 0, то значение дроби отрицательно и поэтому уравнение

$(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{D}{4 a^{2}}$ ,

а следовательно, и уравнение (1) не имеют корней.

По значению дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение:

при D > 0 уравнение имеет два корня,
при D = 0 уравнение имеет один корень,
при D < 0 уравнение не имеет корней.

При решении квадратного уравнения по формуле корней квадратного уравнения надо:

1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;

2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой квадратных корней, если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.

Применение формулы корней квадратных уравнений

Рассмотрим различные случаи применения формулы корней квадратных уравнений на конкретных примерах.

Пример 2

Решите уравнение $2 x^{2} - 3 x - 2 = 0$ .

Решение

Определим сначала коэффициенты уравнения

$a = 2, b = - 3, c = - 2$

Вычислим дискриминант: $D = b^{2} - 4 a c = (- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 2) = 9 + 16 = 25, D > 0$

Применим формулу корней квадратного уравнения:

$x_{1, 2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \times 2}$ ;

$x_{1, 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$ ;

$x_{1} = - 0, 5$ ; $x_{2} = 2$ .

Ответ: $- 0, 5; 2$

Пример 3

Решите уравнение $x^{2} + 14 x + 49 = 0$ .

Решение

Имеем $a = 1, b = 14, c = 49,$

$D = b^{2} - 4 a c = 14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 49 = 196 - 196 = 0,$

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{0}}{2} = \frac{- 14}{2} = - 7$

Ответ: -7.

Пример 4

Решите уравнение $5 x^{2} - 25 x + 39 = 0$ .

Решение

Имеем $a = 5, b = - 25, c = 39$ ,

$D = b^{2} - 4 a c = (- 25)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 39 = 625 - 780 = - 155, D < 0$

Ответ: корней нет.

Упражнение 1

Решите уравнение:

а) $2 x^{2} - x - 1 = 0$ ; б) $5 x^{2} + x - 4 = 0$ ; в) $20 x^{2} + x + 1 = 0$ ;
г) $9 x^{2} + 6 x + 1 = 0$ ; д) $3 x^{2} + 8 x + 9 = 0$ ; е) $- 6 x^{2} + 7 x - 2 = 0$

Формула корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом

Из формулы корней квадратного уравнения можно получить другую формулу, которой удобно пользоваться при решении квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом.

Рассмотрим квадратное уравнение $a x^{2} + 2 k x + c = 0$ .

Найдем его дискриминант: $D = (2 k)^{2} - 4 a c = 4 k^{2} - 4 a c = 4 (k^{2} - a c)$ .

Очевидно, что число корней уравнения зависит от знака выражения $k^{2} - a c$ . Обозначим это выражение через $D_{1}$ , т.е. $D = 4 D_{1}$ .

Если $D_{1} \geq 0$ , то по формуле корней квадратного уравнения получим

$x = \frac{- 2 k \pm {\sqrt{4 D}}_{1}}{2 a} = \frac{- 2 k \pm 2 \sqrt{D_{1}}}{2 a} = \frac{- k \pm \sqrt{D_{1}}}{a}$

Если квадратное уравнение имеет вид

$a x^{2} + 2 k x + c = 0$ ,

то если $D_{1} \geq 0$ , то корни уравнения определяют по формуле

$x = \frac{- k \pm \sqrt{D_{1}}}{a}$ , где $D_{1} = k^{2} - a c$ .

Если $D_{1} < 0$ , то уравнение не имеет корней.

Применение формулы корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом

Рассмотрим применение формулы корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом к конкретному уравнению.

Пример 5

Решите уравнение $8 x^{2} + 10 x + 3 = 0$ .

Решение

Имеем $a = 8, b = 10, c = 3, k = \frac{b}{2} = 5$

$D_{1} = k^{2} - a c = 5^{2} - 8 \cdot 3 = 25 - 24 = 1, D > 0$

$x_{1, 2} = \frac{- k \pm \sqrt{D_{1}}}{a}$ ;

$x_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 1}{8}$ ;

$x_{1} = - 0, 5$ ; $x_{2} = - 0, 75$ .

Ответ: $- 0, 75; - 0, 5$ .

Упражнение 2

Решите уравнение:

а) $x^{2} + 34 x + 280 = 0$ ;
б) $x^{2} - 24 x + 108 = 0$ ;

в) $9 x^{2} - 20 x - 21 = 0$ ;
г) $3 x^{2} - 104 x + 101 = 0$ ;

д) $5 x^{2} - 112 x + 107 = 0$ ;
е) $7 x^{2} + 26 x - 8 = 0$ .

Контрольные вопросы

1. Как называется выражение $b^{2} - 4 a c$ ?

2. Что «разделяет» дискриминант?

3. В каком случае можно применить формулу, содержащую $D_{1}$ ?

Ответы

Упражнение 1

а) $- \frac{1}{2}; 1$ ; б) $- 1; \frac{4}{5}$ ; в) нет корней;

г) $- \frac{1}{3}$ ; д) нет корней; е) $\frac{1}{2}; \frac{2}{3}$ .

Упражнение 2

а) –20; –14; б) 6; 18; в) $- \frac{7}{9}$ ; 3;

г) 1; $\frac{101}{3}$ ; д) 1; 21,4; е) –4; $\frac{2}{7}$ .

Предыдущий урок

Сложение и умножение числовых неравенств

Решение уравнений и неравенств

Следующий урок

Формула корней квадратного уравнения

Решение уравнений и неравенств

Урок подготовил(а)

Валерия Александровна

Учитель математики

Опыт работы: более 20 лет

Теорема Пифагора. Прямая теорема Пифагора. Обратная теорема Пифагора

Геометрия
Кислород

Химия
«Многоэтажность» природы гор. Человек и горы. Физико-географические страны

География

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:

Пока никто не оставил отзыв об этом уроке