Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Функция корня и её график

Функции

Функция x и ее график

План урока

  • Функция y=x и ее график
  • Симметрия графиков функций y=x2 (при x0) и y=x
  • Графическое решение уравнений вида x=kx+b

Цели урока

  • Уметь строить график функции y=x
  • Знать свойства функции y=x
  • Уметь сравнивать действительные числа с помощью свойств функции y=x
  • Знать свойство симметричности графиков функций y=x2 (при x0) и y=x
  • Уметь решать уравнения вида x=kx+b графическим способом

Разминка

  • Решите уравнение:

а) x2=169; б) x2=3; в) x=3; г)x-2=9

Функция y=x и ее график

 

Пусть длина стороны квадрата равна a см, а его площадь равна S см2. Каждому значению длины a стороны квадрата соответствует единственное значение его площади S. Зависимость площади квадрата от длины его стороны выражается формулой S = a2, где a0.

Рис. 1. График функции Рис. 1. График функции

И, наоборот, каждому значению площади квадрата S соответствует единственное значение длины стороны a. Зависимость длины стороны квадрата от площади выражается формулой a=S.

 

Формулы S = a2, где a0, и a=S выражают функциональные зависимости между переменными a и S. Только в первом случае независимой переменной является длина a стороны квадрата, а во втором — площадь S.

 

Если независимую переменную обозначить буквой x, а зависимую переменную – y, то получим формулы 

y=x2, где x0, и y=x.

Графиком функции y=x2, где x0, является правая ветвь параболы (рис. 1). Построим далее график функции y=x.

 

Т.к. выражение x имеет смысл при неотрицательных значениях x, то областью определения функции  служит множество неотрицательных чисел. 

 

Составим таблицу значений функции y=x (для значений x, не являющихся квадратами целых чисел посчитаем приближенные значения y с точностью до 0,1):


 

x

0

0,5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

y

0

0,7

1

1,4

1,7

2

2,2

2,4

2,6

2,8

3



 

Построим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице. Проведем от начала координат плавную линию и получим график функции y=x.

Рис. 2. График функции y=x

Перечислим некоторые свойства функции y=x (рис. 2).


1. Если x = 0, то y = 0, поэтому начало координат принадлежит графику функции.

2. Если x > 0, то y > 0, т.е. график расположен в первой координатной четверти.

3. Большему значению аргумента соответствует большее значение функции (0<x1<x2, тогда x1<x2), поэтому график идёт вверх. 


Упражнение 1

Используя график функции (рис. 2), определите:

1. Значение функции при х = 2; 3,5; 5,2; 8,5;

2. Значение аргумента, которому соответствует значение функции 0,8; 1,6; 2,3; 2,9.


Пример 1

Сравните числа с помощью свойства функции:

а) 1,3 и 2,5; б) 5 и 4,5

 

Решение
 

а)1,3 <2,5, т.к. 1,3<2,5

б) 5>4,5, т.к. 5>4,5.

 

Ответ: а) 1,3 <2,5; б) 5>4,5.


Упражнение 2

Сравните числа с помощью свойств функции:

а) 43 и 45; б) 2,6 и 2,1; в) 110 и 112


Симметрия графиков функций y=x2 (при x0) и y=x

 

График функции y=x, как и график функции y=x2, где x0, представляет собой ветвь параболы. Эти графики симметричны относительно прямой y=x (рис. 3). Докажем этот факт.

 

Пусть точка M(ab) принадлежит графику функции y=x2, где x0. Тогда верно равенство a2=b. По условию a — неотрицательное число поэтому a=b. Значит при подстановке координат точки N(ba) в формулу y=x получается верное равенство, т.е. точка N(ba) принадлежит графику функции y=x.

Рис. 3. Симметричность графиков функций Рис. 3. Симметричность графиков функций

Верно и обратное: если точка N(ba) принадлежит графику функции y=x, то M(ab) принадлежит графику функции y=x2, где x0.

 

Таким образом, между точкой M(ab) графика функции y=x2, где x0, и точкой N(ba) графика функции y=x, существует взаимно однозначное соответствие. Т.к. точки M(ab) и N(ba) симметричны относительно прямой y=x, то и сами графики симметричны относительно этой прямой.

 

Графическое решение уравнений вида x=kx+b

 

Рассмотрим пример решения уравнения вида x=kx+b графическим способом.


Пример 2

Решите уравнение x=6-x графическим способом.

Рис. 4. Графическое решение уравнения <br>√<i>x</i> = 6 – <i>x</i> Рис. 4. Графическое решение уравнения 
x = 6 – x

Решение
 

Построим график функции y=x. График функции y=6-x — прямая, которую можно построить по двум точкам (0; 6) и (6; 0). Оба графика изобразим в одной координатной плоскости (рис. 4).

Графики этих функций пересекаются в точке A(4; 2). Если подставить в уравнение вместо x абсциссу этой точки 4, то получим верное равенство:

4=6-4.

Таким образом, решение уравнения x = 4.

 

Ответ: 4.


Упражнение 3

Решите уравнение x=x-2 графическим способом.


Контрольные вопросы

1. Какова область определения функции y=x?

2. Как расположен график функции y=x в координатной плоскости?

3. Пересекает ли прямая y=a, где а — некоторое число, график функции y=x?


Ответы

Упражнение 1

 

1. 1,4; 1,9; 2,3; 2,9; 

2. 0,6; 2,6; 5,3; 8,4.

 

Упражнение 2

 

а) 43 < 45; б) 2,6 >2,1 ; в)  110>112 .

 

Упражнение 3

Рис. 5. Упражнение 3. Ответ Рис. 5. Упражнение 3. Ответ

4


Предыдущий урок
Функция y=k/x и её график
Функции
Следующий урок
Стандартный вид числа
Числа
  • Внутриутробное развитие. Рост и развитие ребёнка после рождения

    Биология

  • Using a computer. За компьютером

    Английский язык

  • Fiction. Художественная литература

    Английский язык

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке