Конспект урока: Функция y=k/x и её график

Функция $y=\frac{k}{x}$ и ее график
 

Пусть площадь прямоугольника, длина которого $x$ см, а ширина $y$ см, равна $S$ см². Тогда зависимость $y$ от $x$ выражается $y=\frac{S}{x}$.

Геометрические величины $x$ и $y$ в этой задаче могут принимать только положительные значения. Далее же мы будем рассматривать функции, задаваемые формулой вида $y=\frac{k}{x}$, в которой переменные $x$ и $y$ могут принимать как положительные, так и отрицательные значения, причем $k\ne 0$.

Областью определения функции $y=\frac{k}{x}$ является множество всех чисел, отличных от нуля, т.к. выражение $\frac{k}{x}$ имеет смысл при всех $x\ne 0$.

Рассмотрим свойство обратной пропорциональности. 

Пусть $x_1$ и $x_2$ — значения аргумента ($x_1\ne 0,x_2\ne 0$), а $y_1$ и $y_2$ — соответствующие им значения функции. Так как $k\ne 0$, то $y_1\ne 0,y_2\ne 0$. Из формулы  следует, что $x_1{y}_1=k$ и $x_2{y}_2=k$. Приравняем левые части равенств $x_1{y}_1=x_2{y}_2$. Отсюда получаем пропорцию $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_2}{y_1}$.

С этим свойством связано и название функции — обратная пропорциональность.

В реальной жизни обратно пропорциональная зависимость между переменными величинами распространена.

На путь длиной $s$ км автомобиль, двигаясь со скоростью $v$ км/ч, тратит время $t$ ч. Выразите зависимость: а) $t$ от $v$; б) $v$ от $t$.
 

Решение
 

Путь выражается формулой $s=vt.$ Тогда получаем

а)  $t=\frac{s}{v}$

б)  $v=\frac{s}{t}$

Видим, что обе зависимости являются обратными пропорциональностями.

Ответ: а) $t=\frac{s}{v}$;  б) $v=\frac{s}{t}$.

Бассейн объёма $V$ л заполняется через трубу за время $t$ мин. Выразите производительность трубы $p$ л/мин.

Решение
 

Производительность трубы — это скорость, с которой заполняется заданный объём:   $p=\frac{V}{t}$.

Также получаем обратную пропорциональность.

Ответ: $p=\frac{V}{t}$.

Построим график функции $y=\frac{2}{x}$. Для этого найдем значения функции $y$, соответствующие некоторым положительным значениям и противоположным им отрицательным значениям аргумента $x$, и оформим их в виде таблицы:
 

Рис. 1. График функции $y=\frac{2}{x}$ (поточечный)

Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых помещены в таблице.
Прежде чем соединить точки проведем небольшое исследование функции $y=\frac{2}{x}$. Ее свойства связаны с дробным выражением $\frac{2}{x}$.

1) Т.к. аргумент $x$ не может быть равным нулю, то график не пересекает ось $y$.
 

2) Т.к. значение функции $y$ не может быть равным нулю, поскольку числитель дроби положительное число, то график не пересекает и ось $x$.
 

3) Положительным значениям $x$ соответствуют положительные значения $y$, а отрицательным значениям $x$ — отрицательные значения $y$:  $y>0$ при $x>0$, $y<0$ при $x<0$.

Таким образом, график функции  будет состоять из двух частей (!), которые называют ветви, и располагаться в I и III координатных четвертях, т.е. симметрично относительно начала координат.
 

4) Чем больше положительное значение $x$, тем меньше соответствующее значение $y$, — знаменатель возрастает, поэтому значение дроби убывает. Поэтому точки графика всё ближе к оси абсцисс. Математически это записывается следующим образом: $x\to +\infty$, тогда $y\to 0$ («x стремится к плюс бесконечности, тогда y стремится к нулю»). При  значение $x\to -\infty$, $y\to 0$ («$x$ стремится к минус бесконечности, значение $y$ стремится к нулю»).

Рис. 2. График функции $y=\frac{2}{x}$

5) При приближении к нулю положительной абсциссы точки, ордината этой точки увеличивается: $x>0, x\to 0$, тогда $y\to +\infty$  («$x$  положительно, $x$ стремится к нулю, тогда $y$ стремится к плюс бесконечности»). Можно также показать, что $x<0, x\to 0$, тогда $y\to -\infty$ («$x$ отрицательно, $x$ стремится к нулю, тогда $y$ стремится к минус бесконечности»).

 

График функции $y=\frac{2}{x}$ показан на рисунке 2. Он состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. 

Рис. 3. График функции $y=-\frac{2}{x}$

График функции $y=-\frac{2}{x}$ выглядит аналогично, только расположен во II и IV координатных четвертях.

 

В общем случае, график функции $y=\frac{k}{x}$ при любых $k>0$ будет иметь аналогичный вид, что и график функции $y=\frac{2}{x}$(рис. 4), а при любых $k<0$ будет иметь аналогичный вид, что и  $y=-\frac{2}{x}$(рис. 4).

Рис. 4. График функции $y=\frac{k}{x}$

Функция задана формулой $y=\frac{k}{x}$. График данной функции проходит через точку с координатами (5; 1,2). Найдите значение $k$ и запишите формулу данной функции. 

Заполните таблицу:
 

Постройте график функции $y=-\frac{4}{x}$.

Функции задана формулой $y=-\frac{5}{x}$. Используя соотношение $xy=k$, определите, принадлежат ли графику функции точки (-5; 1), (2; 2,5), (4; –1,25), ( –1; -5), (10; -2), 

(-4; 0,8), (-1; 5).

Графический способ решения уравнений

Решить уравнение $\frac{4}{x}=5-x$ графическим способом.

Решение

Рис. 5. Графики функций $y=\frac{4}{x}$ и $y=5-x$

1) Рассмотрим две функции: $y=\frac{4}{x}$ и $y=5-x$.

2) Построим график функции $y=\frac{4}{x}$ — гиперболу (рис. 5).
 

3) Построим график линейной функции $y=5-x$. Это прямая. Ее можно построить по двум точкам (0; 5) и (5; 0). Она изображена на том же чертеже (рис. 5). 
 

4) По чертежу устанавливаем, что гипербола и прямая пересекаются в точках $A(1; 4)$ и $B(4; 1)$. Проверка показывает, что это на самом деле так. Значит, данное уравнение имеет два корня: 1 и 4 — это абсциссы точек $A$ и $B$.
 

Ответ: 1; 4.

Решите уравнение  $-\frac{2}{x}=1-x$ графическим способом.

1. В чем суть свойства обратной пропорциональности?

2. Как называют график функции $y=\frac{k}{x}$? 

3. В чем состоит графический способ решения уравнений? 

Ответы

Упражнение 1

 

$y=\frac{6}{x}$
 

Рис. 6. График функции $y=\frac{6}{x}$

 

 

Упражнение 2

Рис. 7. График функции $y=-\frac{4}{x}$

 

 

Упражнение 3

 

(–5; 1), (4; –1,25), (–1; 5) — принадлежат графику функции;

(2; 2,5), ( –1; –5), (10; –2), (–4; 0,8) — не принадлежат графику функции.

 

Упражнение 4

 

–1; 2.