Функция y=k/x и её график | Алгебра 8 класс

Функция y=k\x и ее график

План урока

Функция $y = \frac{k}{x}$ и ее график
Графический способ решения уравнений

Цели урока

Знать определение обратной пропорциональности
Знать свойства обратной пропорциональности
Уметь определять обратно пропорциональную зависимость между реальными величинами
Уметь строить график функции $y = \frac{k}{x}$
Уметь решать графически уравнения вида $\frac{k}{x} = a x + b$

Разминка

Как называются функции, задаваемые формулами:

$y = 2 x + 3; y = - \frac{1}{2} x + 4; y = - 3 x; y = x^{2}; y = - 2 x^{2}$ ?

Что представляют собой их графики? Как они расположены? Укажите область определения и область значений каждой из функций.

Функция $y = \frac{k}{x}$ и ее график

Пусть площадь прямоугольника, длина которого x см, а ширина у см, равна S см². Тогда зависимость y от x выражается $y = \frac{S}{x}$ .

Геометрические величины x и y в этой задаче могут принимать только положительные значения. Далее же мы будем рассматривать функции, задаваемые формулой вида $y = \frac{k}{x}$ , в которой переменные x и y могут принимать как положительные, так и отрицательные значения, причем $k \neq 0$ .

Функция, которую можно задать формулой вида $y = \frac{k}{x}$ , где x — независимая переменная и k — не равное нулю число, называется обратной пропорциональностью .

Областью определения функции $y = \frac{k}{x}$ является множество всех чисел, отличных от нуля, т.к. выражение $\frac{k}{x}$ имеет смысл при всех $x \neq 0$ .

Рассмотрим свойство обратной пропорциональности.

Пусть x₁ и x₂ — значения аргумента ( $x_{1} \neq 0, x_{2} \neq 0$ ), а y₁ и y₂ — соответствующие им значения функции. Так как $k \neq 0$ , то $y_{1} \neq 0, y_{2} \neq 0$ . Из формулы следует, что $x_{1} y_{1} = k$ и $x_{2} y_{2} = k$ . Приравняем левые части равенств $x_{1} y_{1} = x_{2} y_{2}$ . Отсюда получаем пропорцию $\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{y_{2}}{y_{1}}$ .

Свойство обратной пропорциональности : отношение двух произвольных значений аргумента равно обратному отношению соответствующих значений функции.

С этим свойством связано и название функции — обратная пропорциональность.

В реальной жизни обратно пропорциональная зависимость между переменными величинами распространена.

Пример 1

На путь длиной s км автомобиль, двигаясь со скоростью v км/ч, тратит время t ч. Выразите зависимость: а) t от v; б) v от t.

Решение

Путь выражается формулой $s = v t .$ Тогда получаем

а) $t = \frac{s}{v}$

б) $v = \frac{s}{t}$

Видим, что обе зависимости являются обратными пропорциональностями.

Ответ: а) $t = \frac{s}{v}$ ; б) $v = \frac{s}{t}$ .

Пример 2

Бассейн объёма V л заполняется через трубу за время t мин. Выразите производительность трубы p л/мин.

Решение

Производительность трубы — это скорость, с которой заполняется заданный объём: $p = \frac{V}{t}$ .

Также получаем обратную пропорциональность.

Ответ: $p = \frac{V}{t}$ .

Построим график функции $y = \frac{2}{x}$ . Для этого найдем значения функции y, соответствующие некоторым положительным значениям и противоположным им отрицательным значениям аргумента x, и оформим их в виде таблицы:

x	-4	-2	-1	-0,5	0,5	1	2	4
y	-0,5	-1	-2	-4	4	2	1	0,5

Рис. 1. График функции y=2/x (поточечный)

Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых помещены в таблице.
Прежде чем соединить точки проведем небольшое исследование функции $y = \frac{2}{x}$ . Ее свойства связаны с дробным выражением $\frac{2}{x}$ .

1) Т.к. аргумент x не может быть равным нулю, то график не пересекает ось Oy.

2) Т.к. значение функции у не может быть равным нулю, поскольку числитель дроби положительное число, то график не пересекает и ось Ox.

3) Положительным значениям x соответствуют положительные значения y, а отрицательным значениям x — отрицательные значения y: $y > 0$ при $x > 0$ , $y < 0$ при $x < 0$ .

Таким образом, график функции будет состоять из двух частей (!), которые называют ветви, и располагаться в I и III координатных четвертях, т.е. симметрично относительно начала координат.

4) Чем больше положительное значение x, тем меньше соответствующее значение y, — знаменатель возрастает, поэтому значение дроби убывает. Поэтому точки графика всё ближе к оси абсцисс. Математически это записывается следующим образом: $x \to + \infty$ , тогда $y \to 0$ («x стремится к плюс бесконечности, тогда y стремится к нулю»). При значение $x \to - \infty$ , $y \to 0$ («x стремится к минус бесконечности, значение y стремится к нулю»).

Рис. 2. График функции y=2/x

5) При приближении к нулю положительной абсциссы точки, ордината этой точки увеличивается: $x > 0, x \to 0$ , тогда $y \to + \infty$ («x положительно, x стремится к нулю, тогда y стремится к плюс бесконечности»). Можно также показать, что $x < 0, x \to 0$ , тогда $y \to - \infty$ («x отрицательно, x стремится к нулю, тогда y стремится к минус бесконечности»).

График функции $y = \frac{2}{x}$ показан на рисунке 2. Он состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат.

Рис. 3. График функции y= -2/x

График функции $y = - \frac{2}{x}$ выглядит аналогично, только расположен во II и IV координатных четвертях.

В общем случае, график функции $y = \frac{k}{x}$ при любых $k > 0$ будет иметь аналогичный вид, что и график функции $y = \frac{2}{x}$ (рис. 4), а при любых $k < 0$ будет иметь аналогичный вид, что и $y = - \frac{2}{x}$ (рис. 5).

Рис. 4. График функции $y = \frac{k}{x}$ ( $k > 0$ ) Рис. 5. График функции $y = \frac{k}{x}$ ( $k < 0$ )

Кривую, являющуюся графиком обратной пропорциональности, называют гиперболой . Гипербола состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат.

Упражнение 1

Функция задана формулой $y = \frac{k}{x}$ . График данной функции проходит через точку с координатами (5; 1,2). Найдите значение k и запишите формулу данной функции.

Заполните таблицу:

x		-4			-1		2	3		6
y	-1		-2	-3		6			1,5

Постройте график данной функции.

Упражнение 2

Постройте график функции $y = - \frac{4}{x}$ .

Упражнение 3

Функции задана формулой $y = - \frac{5}{x}$ . Используя соотношение $x y = k$ , определите, принадлежат ли графику функции точки (-5; 1), (2; 2,5), (4; –1,25), ( –1; -5), (10; -2),

(-4; 0,8), (-1; 5).

Графический способ решения уравнений

Пример 3

Решить уравнение $\frac{4}{x} = 5 - x$ графическим способом.

Решение

1) Рассмотрим две функции: $y = \frac{4}{x}$ и $y = 5 - x$ .

2) Построим график функции $y = \frac{4}{x}$ — гиперболу (рис. 6).

3) Построим график линейной функции $y = 5 - x$ . Это прямая. Ее можно построить по двум точкам (0; 5) и (5; 0). Она изображена на том же чертеже (рис. 6).

4) По чертежу устанавливаем, что гипербола и прямая пересекаются в точках A(1; 4) и B(4; 1). Проверка показывает, что это на самом деле так. Значит, данное уравнение имеет два корня: 1 и 4 — это абсциссы точек A и B.

Ответ: 1; 4.

Упражнение 4

Решите уравнение $- \frac{2}{x} = 1 - x$ графическим способом.

Контрольные вопросы

1. В чем суть свойства обратной пропорциональности?

2. Как называют график функции $y = \frac{k}{x}$ ?

3. В чем состоит графический способ решения уравнений?

Ответы

Упражнение 1

$y = \frac{6}{x}$

x	-6	-4	-3	-2	-1	1	2	3	4	6
y	-1	-1,5	-2	-3	-6	6	3	2	1,5	1

Рис. 7. График функции y=6/х.

Упражнение 2

Рис. 8. График функции y= –4/х.

Упражнение 3

(–5; 1), (4; –1,25), (–1; 5) — принадлежат графику функции;

(2; 2,5), ( –1; –5), (10; –2), (–4; 0,8) — не принадлежат графику функции.

Упражнение 4

–1; 2.

Конспект урока: Функция y=k/x и её график

Функции

Функция y=kx и ее график

Графический способ решения уравнений

Функция $y = \frac{k}{x}$ и ее график