Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Действительные числа

Числа

23.07.2024
2329
0

Рациональные числа

План урока

  • Множество рациональных чисел
  • Рациональные числа как бесконечные десятичные периодические дроби

Цели урока

  • Знать основные множества чисел (натуральные, целые, рациональные) и их математические обозначения
  • Знать определение подмножества
  • Знать определение разности множеств
  • Уметь использовать математическую символику теории множеств
  • Уметь проверять истинность утверждений о принадлежности элементов данному множеству
  • Уметь находить подмножества данного множества
  • Уметь находить разность множеств
  • Знать определение рациональных чисел
  • Уметь записывать рациональное число в виде дроби с разными знаменателями
  • Знать определения бесконечной десятичной периодической дроби и периода бесконечной десятичной периодической дроби
  • Уметь записывать рациональные числа в виде конечной десятичной дроби и бесконечной десятичной периодической дроби
  • Уметь сравнивать рациональные числа

Множество рациональных чисел

 

Вам хорошо известно множество натуральных чисел — чисел, которые мы используем при счете: 1, 2, 3, … .

 

Натуральные числа, противоположные им числа (отрицательные числа) и число нуль составляют множество целых чисел.

 

На множестве целых чисел не всегда возможно выполнить деление. Для этого вводятся дробные числа (положительные и отрицательные): 12, 13, … . Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел .


Множество натуральных чисел обозначают буквой N (от первой буквы латинского слова naturalis — естественный, природный).

Множество целых чисел обозначают буквой Z (от первой буквы немецкого слова Zahl — число).

 

Множество рациональных чисел обозначают буквой Q (от первой буквы французского слова quontiet — отношение).

 

Для того чтобы записать, что какое-либо число принадлежит рассматриваемому множеству, используют знак принадлежности  

Для того чтобы записать, что число не принадлежит рассматриваемому множеству, используют знак .


Используя введенные обозначения множеств N, Z, Q и знак принадлежности, можем записать следующие математические утверждения:

1. «n — натуральное число» — nN (читают: «n принадлежит множеству N»);

2. «m — целое число» — mZ;

3. «k — рациональное число» — kQ.


Пример 1

Используя обозначения множеств N, Z, Q и знаки , запишите следующие утверждения:

а) –8 — целое число;

б) –12 — рациональное число; 

в) –79 — не является натуральным числом;

г) 15,6 — не является целым числом.

 

Решение
 

а) «–8 — целое число» записываем -8Z;

б) «–12 — рациональное число» записываем -12Q

в) «–79 — не является натуральным числом» записываем -79N;

г) «15,6 — не является целым числом» записываем 15,6Z.

 

Ответ: а) -8Z; б) -12Q; в) -79N; г) 15,6Z.


Пример 2

Установите, является ли следующее высказывание истинным: 

а) -12N; б) -3Q; в) -817Q; г) 0N.

 

Решение
 

а) -12N — истинное утверждение, поскольку –12 отрицательное число, а не натуральное;

б) -3Q — истинное утверждение, поскольку отрицательные целые числа являются элементами множества рациональных чисел; 

в) -817Q — ложное утверждение, поскольку дробные числа являются элементами множества рациональных чисел;

г) 0N — ложное утверждение, поскольку нуль не является натуральным числом.

 

Ответ: а) истинное; б) истинное; в) ложное; г) ложное. 


Упражнение 1

Установите, является ли следующее высказывание истинным: 

а) -37N; б) -5N; в) -513Z; г) 38Q


Пусть каждый элемент множества B является элементом множества A. Тогда множество B называют подмножеством множества A.

Для записи используют знак включения : 

BA

(читается: «множество B подмножество множества A», «множество B содержится во множестве A»).

 

Если хотя бы один элемент множества B не является элементом множества A, то множество B не будет подмножеством A.

Для записи используют перечеркнутый знак включения : 

BA

(читается: «множество B не содержится во множестве A»).

 


Так, например, множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел, а множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел: 

 NZ,ZQ или NZQ .

Введем понятие разности множеств.


Разностью множеств и B называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат множеству и не принадлежат множеству B. 


Например, разностью множества целых чисел и множества натуральных чисел, является множество, состоящее из отрицательных целых чисел и нуля.


Упражнение 2

Найдите разность множеств и B:

а) A — множество четных чисел, B — множество чисел кратных 5;

б) A — множество треугольников, B — множество тупоугольных треугольников. 


Рациональные числа как бесконечные десятичные периодические дроби


Любое рациональное число, как целое, так и дробное, можно представить в виде дроби mn, где m — целое число, а n — натуральное. 

Т.е. рациональное число — это отношение целого числа к натуральному числу. Одно и то же число можно представить в таком виде разными способами.

 

Например, 13=26=412=50150112=32=64=150100-0,2=-210=-15=-14703=31=62=217.
 

Среди дробей, с помощью которых записывается данное рациональное число, всегда можно указать дробь с наименьшим знаменателем. Эта дробь несократима. Для целых чисел такая дробь имеет знаменатель, равный 1.


Упражнение 3

Представьте в виде дроби с наименьшим натуральным знаменателем числа:
 

13;-21;3,1;-0,25;7 13;-48.


Рассмотрим вопрос о представлении рациональных чисел в виде десятичных дробей. 

Представим в виде десятичной дроби 740. Для этого разделим числитель на знаменатель дроби. Получим:

 

Таким образом,  740=0,175.
 

Точно так же можно показать 14=0,25;38=0,375;-35=-0,6. В этих случаях мы получаем конечные десятичные дроби.


Десятичная дробь, в десятичной записи которой после запятой конечное число знаков, называется конечной десятичной дробью .


Применим теперь этот способ обращения обыкновенной дроби в десятичную дробь к числу 411. Делим числитель на знаменатель. 
Как видим, что сколько бы мы не продолжали деление, мы не получим остаток 0. Значит, деление никогда не закончится.

Говорят, что дробь 411 обращается в бесконечную десятичную дробь 0, 3636…

411=0,3636...


Десятичная дробь, в десятичной записи которой после запятой бесконечное число знаков, называется бесконечной десятичной дробью .


Как видим, в записи дроби 0,3636… есть повторяющаяся группа цифр 3 и 6. 


Если в десятичной записи бесконечной дроби, начиная с некоторого разряда, одна цифра или группа цифр повторяется, то такую дробь называют бесконечной десятичной периодической дробью .

Повторяющаяся группа цифр называется периодом дроби и записывается в скобках.


Таким образом, дробь 411 записывается:

411=0,3636...=0,(36).

Эта запись читается так: нуль целых, тридцать шесть в периоде. 

Число 512 также записывается в виде бесконечной десятичной периодической дроби:

512=0,41666...=0,41(6).

Эта запись читается так: нуль целых, сорок одна сотая, шесть в периоде.

Любую конечную десятичную дробь и любое целое число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби, приписав справа в качестве десятичных знаков бесконечную последовательность нулей. Например:
 

4,5=4,5000...,-3,2=-3,2000...

Таким образом, 


Каждое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Верно и обратное утверждение:

 

Каждая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет собой некоторое рациональное число.

 


Например:

0,1(6)=16;0,3 (571428)=514.
 

Эти равенства несложно проверить, выполнив деление.

Разные бесконечные десятичные периодические дроби представляют разные рациональные числа. Исключением являются дроби с периодом 9, которые считают другой записью дробей с периодом 0:
 

0,1(9)=0,1999...=0,2000...=0,2; 1,(9)=1,999...=2,000...=2.


Бесконечные десятичные дроби с периодом 9 заменяют дробями с периодом 0. Заметим, что при обращении обыкновенной дроби в десятичную не может получиться дробь с периодом 9.


Упражнение 4

Представьте в виде бесконечной десятичной дроби число:

а) 23; б) 76; в) -37; г) -119; д) 3; е) 1,28; ж) 58; з) 311.


Упражнение 5

Сравните рациональные числа:

а) 0,137 и 0,173; б) 56 и 67; в) –3 и –3,1; 

г) -214 и –2,25; д) 0,074 и 340; е) 516 и 0,312.


Контрольные вопросы

1. Нуль это натуральное число?

2. Какие числа образуют множество рациональных чисел?

2. Как обозначают множество рациональных чисел?

3. В каком виде можно представить рациональные числа?

4. Как можно представить конечную десятичную дробь в виде бесконечной десятичной дроби?

5. Как связаны дроби с периодом 0 и периодом 9?


Ответы

Упражнение 1

 

а) ложное; б) ложное; в) истинное; г) истинное.

 

Упражнение 2

 

а) множество четных чисел не кратных 10;

б) множество, содержащее остроугольные и прямоугольные треугольники. 

 

Упражнение 3

 

131;-211;3110;-14;223;-12.

 

Упражнение 4

 

а) 0,(6); б) 1,1(6); в) -0,(428571); г) -1,(2);

д) 3,(0); е) 1,28(0); ж) 0,625(0); з) 0,(27). 

 

Упражнение 5

 

а) 0,137 < 0,173; б) 56<67; в) –3 > –3,1; 

г) -214 = –2,25; д) 0,074 <340; е) 516 > 0,312.


Предыдущий урок
Функция корня и её график
Функции
Следующий урок
Погрешность и точность приближения
Числа
Урок подготовил(а)
teacher
Валерия Александровна
Учитель математики
Опыт работы: более 20 лет
Поделиться:
  • Науки, изучающие организм человека. Систематическое положение человека

    Биология

  • Признаки подобия треугольников

    Геометрия

  • Вписанная окружность

    Геометрия

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке