Все уроки по всем предметам школьной программы ФГОС

Действительные числа

План урока

Множество рациональных чисел
Рациональные числа как бесконечные десятичные периодические дроби

Цели урока

Знать основные множества чисел (натуральные, целые, рациональные) и их математические обозначения
Знать определение подмножества
Знать определение разности множеств
Уметь использовать математическую символику теории множеств
Уметь проверять истинность утверждений о принадлежности элементов данному множеству
Уметь находить подмножества данного множества
Уметь находить разность множеств
Знать определение рациональных чисел
Уметь записывать рациональное число в виде дроби с разными знаменателями
Знать определения бесконечной десятичной периодической дроби и периода бесконечной десятичной периодической дроби
Уметь записывать рациональные числа в виде конечной десятичной дроби и бесконечной десятичной периодической дроби
Уметь сравнивать рациональные числа

Множество рациональных чисел

Вам хорошо известно множество натуральных чисел — чисел, которые мы используем при счете: 1, 2, 3, … .

Натуральные числа, противоположные им числа (отрицательные числа) и число нуль составляют множество целых чисел.

На множестве целых чисел не всегда возможно выполнить деление. Для этого вводятся дробные числа (положительные и отрицательные): $\frac{1}{2}, \frac{1}{3},$ … . Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел.

Множество натуральных чисел обозначают буквой N (от первой буквы латинского слова naturalis — естественный, природный).

Множество целых чисел обозначают буквой Z (от первой буквы немецкого слова Zahl — число).

Множество рациональных чисел обозначают буквой Q (от первой буквы французского слова quontiet — отношение).

Для того чтобы записать, что какое-либо число принадлежит рассматриваемому множеству, используют знак принадлежности $\in$ .

Для того чтобы записать, что число не принадлежит рассматриваемому множеству, используют знак $\notin$ .

Используя введенные обозначения множеств N, Z, Q и знак принадлежности, можем записать следующие математические утверждения:

1. «n — натуральное число» — $n \in N$ (читают: «n принадлежит множеству N»);

2. «m — целое число» — $m \in Z$ ;

3. «k — рациональное число» — $k \in Q$ .

Пример 1

Используя обозначения множеств N, Z, Q и знаки $\in$ , $\notin$ , запишите следующие утверждения:

а) –8 — целое число;

б) –12 — рациональное число;

в) –79 — не является натуральным числом;

г) 15,6 — не является целым числом.

Решение

а) «–8 — целое число» записываем $- 8 \in Z$ ;

б) «–12 — рациональное число» записываем $- 12 \in Q$ ;

в) «–79 — не является натуральным числом» записываем $- 79 \notin N$ ;

г) «15,6 — не является целым числом» записываем $15, 6 \notin Z$ .

Ответ: а) $- 8 \in Z$ ; б) $- 12 \in Q$ ; в) $- 79 \notin N$ ; г) $15, 6 \notin Z$ .

Пример 2

Установите, является ли следующее высказывание истинным:

а) $- 12 \notin N$ ; б) $- 3 \in Q$ ; в) $- \frac{8}{17} \notin Q$ ; г) $0 \in N$ .

Решение

а) $- 12 \notin N$ — истинное утверждение, поскольку –12 отрицательное число, а не натуральное;

б) $- 3 \in Q$ — истинное утверждение, поскольку отрицательные целые числа являются элементами множества рациональных чисел;

в) $- \frac{8}{17} \notin Q$ — ложное утверждение, поскольку дробные числа являются элементами множества рациональных чисел;

г) $0 \in N$ — ложное утверждение, поскольку нуль не является натуральным числом.

Ответ: а) истинное; б) истинное; в) ложное; г) ложное.

Упражнение 1

Установите, является ли следующее высказывание истинным:

а) $- 37 \in N$ ; б) $- 5 \in N$ ; в) $- \frac{5}{13} \notin Z$ ; г) $\frac{3}{8} \in Q$

Пусть каждый элемент множества $B$ является элементом множества $A .$ Тогда множество $B$ называют подмножеством множества $A .$

Для записи используют знак включения:

$B \subset A$

(читается: «множество $B$ подмножество множества $A$ », «множество $B$ содержится во множестве $A$ »).

Если хотя бы один элемент множества $B$ не является элементом множества $A,$ то множество $B$ не будет подмножеством $A .$

Для записи используют перечеркнутый знак включения:

$B ⊄ A$

(читается: «множество $B$ не содержится во множестве $A$ »).

Так, например, множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел, а множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел:

$N \subset Z, Z \subset Q и л и N \subset Z \subset Q$ .

Введем понятие разности множеств.

Разностью множеств $A$ и $B$ называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат множеству $A$ и не принадлежат множеству $B .$

Например, разностью множества целых чисел и множества натуральных чисел, является множество, состоящее из отрицательных целых чисел и нуля.

Упражнение 2

Найдите разность множеств $A$ и $B$ :

а) $A$ — множество четных чисел, $B$ — множество чисел кратных 5;

б) $A$ — множество треугольников, $B$ — множество тупоугольных треугольников.

Рациональные числа как бесконечные десятичные периодические дроби

Любое рациональное число, как целое, так и дробное, можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$ , где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное.

Т.е. рациональное число — это отношение целого числа к натуральному числу. Одно и то же число можно представить в таком виде разными способами.

Например, $\frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{4}{12} = \frac{50}{150}$ , $1 \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = \frac{6}{4} = \frac{150}{100}$ , $- 0, 2 = \frac{- 2}{10} = \frac{- 1}{5} = \frac{- 14}{70}$ , $3 = \frac{3}{1} = \frac{6}{2} = \frac{21}{7}$ .

Среди дробей, с помощью которых записывается данное рациональное число, всегда можно указать дробь с наименьшим знаменателем. Эта дробь несократима. Для целых чисел такая дробь имеет знаменатель, равный 1.

Упражнение 3

Представьте в виде дроби с наименьшим натуральным знаменателем числа:

$13; - 21; 3, 1; - 0, 25; 7 \frac{1}{3}; - \frac{4}{8} .$

Рассмотрим вопрос о представлении рациональных чисел в виде десятичных дробей.

Представим в виде десятичной дроби $\frac{7}{40}$ . Для этого разделим числитель на знаменатель дроби. Получим:

Таким образом, $\frac{7}{40} = 0, 175 .$

Точно так же можно показать $\frac{1}{4} = 0, 25; \frac{3}{8} = 0, 375; - \frac{3}{5} = - 0, 6$ . В этих случаях мы получаем конечные десятичные дроби.

Десятичная дробь, в десятичной записи которой после запятой конечное число знаков, называется конечной десятичной дробью.

Применим теперь этот способ обращения обыкновенной дроби в десятичную дробь к числу $\frac{4}{11} .$ Делим числитель на знаменатель.
Как видим, что сколько бы мы не продолжали деление, мы не получим остаток 0. Значит, деление никогда не закончится.

Говорят, что дробь $\frac{4}{11}$ обращается в бесконечную десятичную дробь 0, 3636…

$\frac{4}{11} = 0, 3636 . . .$

Десятичная дробь, в десятичной записи которой после запятой бесконечное число знаков, называется бесконечной десятичной дробью.

Как видим, в записи дроби 0,3636… есть повторяющаяся группа цифр 3 и 6.

Если в десятичной записи бесконечной дроби, начиная с некоторого разряда, одна цифра или группа цифр повторяется, то такую дробь называют бесконечной десятичной периодической дробью.

Повторяющаяся группа цифр называется периодом дроби и записывается в скобках.

Таким образом, дробь $\frac{4}{11}$ записывается:

$\frac{4}{11} = 0, 3636 . . . = 0, (36) .$

Эта запись читается так: нуль целых, тридцать шесть в периоде.

Число $\frac{5}{12}$ также записывается в виде бесконечной десятичной периодической дроби:

$\frac{5}{12} = 0, 41666 . . . = 0, 41 (6) .$

Эта запись читается так: нуль целых, сорок одна сотая, шесть в периоде.

Любую конечную десятичную дробь и любое целое число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби, приписав справа в качестве десятичных знаков бесконечную последовательность нулей. Например:

$4, 5 = 4, 5000 . . ., - 3, 2 = - 3, 2000 . . .$

Таким образом,

Каждое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Верно и обратное утверждение:

Каждая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет собой некоторое рациональное число.

Например:

$0, 1 (6) = \frac{1}{6}; 0, 3 (571428) = \frac{5}{14}$ .

Эти равенства несложно проверить, выполнив деление.

Разные бесконечные десятичные периодические дроби представляют разные рациональные числа. Исключением являются дроби с периодом 9, которые считают другой записью дробей с периодом 0:

$0, 1 (9) = 0, 1999 . . . = 0, 2000 . . . = 0, 2; 1, (9) = 1, 999 . . . = 2, 000 . . . = 2 .$

Бесконечные десятичные дроби с периодом 9 заменяют дробями с периодом 0. Заметим, что при обращении обыкновенной дроби в десятичную не может получиться дробь с периодом 9.

Упражнение 4

Представьте в виде бесконечной десятичной дроби число:

а) $\frac{2}{3}$ ; б) $\frac{7}{6}$ ; в) $- \frac{3}{7}$ ; г) $- \frac{11}{9}$ ; д) $3$ ; е) $1, 28$ ; ж) $\frac{5}{8}$ ; з) $\frac{3}{11}$ .

Упражнение 5

Сравните рациональные числа:

а) 0,137 и 0,173; б) $\frac{5}{6}$ и $\frac{6}{7}$ ; в) –3 и –3,1;

г) $- 2 \frac{1}{4}$ и –2,25; д) 0,074 и $\frac{3}{40}$ ; е) $\frac{5}{16}$ и 0,312.

Контрольные вопросы

1. Нуль это натуральное число?

2. Какие числа образуют множество рациональных чисел?

2. Как обозначают множество рациональных чисел?

3. В каком виде можно представить рациональные числа?

4. Как можно представить конечную десятичную дробь в виде бесконечной десятичной дроби?

5. Как связаны дроби с периодом 0 и периодом 9?

Ответы

Упражнение 1

а) ложное; б) ложное; в) истинное; г) истинное.

Упражнение 2

а) множество четных чисел не кратных 10;

б) множество, содержащее остроугольные и прямоугольные треугольники.

Упражнение 3

$\frac{13}{1}; - \frac{21}{1}; \frac{31}{10}; - \frac{1}{4}; \frac{22}{3}; - \frac{1}{2} .$

Упражнение 4

а) 0,(6); б) 1,1(6); в) -0,(428571); г) -1,(2);

д) 3,(0); е) 1,28(0); ж) 0,625(0); з) 0,(27).

Упражнение 5

а) 0,137 $<$ 0,173; б) $\frac{5}{6}$ $<$ $\frac{6}{7}$ ; в) –3 $>$ –3,1;

г) $- 2 \frac{1}{4}$ = –2,25; д) 0,074 $<$ $\frac{3}{40}$ ; е) $\frac{5}{16}$ $>$ 0,312.

Действительные числа

План урока

Множество рациональных чисел
Рациональные числа как бесконечные десятичные периодические дроби

Цели урока

Знать основные множества чисел (натуральные, целые, рациональные) и их математические обозначения
Знать определение подмножества
Знать определение разности множеств
Уметь использовать математическую символику теории множеств
Уметь проверять истинность утверждений о принадлежности элементов данному множеству
Уметь находить подмножества данного множества
Уметь находить разность множеств
Знать определение рациональных чисел
Уметь записывать рациональное число в виде дроби с разными знаменателями
Знать определения бесконечной десятичной периодической дроби и периода бесконечной десятичной периодической дроби
Уметь записывать рациональные числа в виде конечной десятичной дроби и бесконечной десятичной периодической дроби
Уметь сравнивать рациональные числа

Множество рациональных чисел

Вам хорошо известно множество натуральных чисел — чисел, которые мы используем при счете: 1, 2, 3, … .

Множество целых чисел обозначают буквой Z (от первой буквы немецкого слова Zahl — число).

Множество рациональных чисел обозначают буквой Q (от первой буквы французского слова quontiet — отношение).

Для того чтобы записать, что число не принадлежит рассматриваемому множеству, используют знак $\notin$ .

1. «n — натуральное число» — $n \in N$ (читают: «n принадлежит множеству N»);

2. «m — целое число» — $m \in Z$ ;

3. «k — рациональное число» — $k \in Q$ .

Пример 1

Используя обозначения множеств N, Z, Q и знаки $\in$ , $\notin$ , запишите следующие утверждения:

а) –8 — целое число;

б) –12 — рациональное число;

в) –79 — не является натуральным числом;

г) 15,6 — не является целым числом.

Решение

а) «–8 — целое число» записываем $- 8 \in Z$ ;

б) «–12 — рациональное число» записываем $- 12 \in Q$ ;

в) «–79 — не является натуральным числом» записываем $- 79 \notin N$ ;

г) «15,6 — не является целым числом» записываем $15, 6 \notin Z$ .

Ответ: а) $- 8 \in Z$ ; б) $- 12 \in Q$ ; в) $- 79 \notin N$ ; г) $15, 6 \notin Z$ .

Пример 2

Установите, является ли следующее высказывание истинным:

а) $- 12 \notin N$ ; б) $- 3 \in Q$ ; в) $- \frac{8}{17} \notin Q$ ; г) $0 \in N$ .

Решение

а) $- 12 \notin N$ — истинное утверждение, поскольку –12 отрицательное число, а не натуральное;

г) $0 \in N$ — ложное утверждение, поскольку нуль не является натуральным числом.

Ответ: а) истинное; б) истинное; в) ложное; г) ложное.

Упражнение 1

Установите, является ли следующее высказывание истинным:

а) $- 37 \in N$ ; б) $- 5 \in N$ ; в) $- \frac{5}{13} \notin Z$ ; г) $\frac{3}{8} \in Q$

Для записи используют знак включения:

$B \subset A$

(читается: «множество $B$ подмножество множества $A$ », «множество $B$ содержится во множестве $A$ »).

Для записи используют перечеркнутый знак включения:

$B ⊄ A$

(читается: «множество $B$ не содержится во множестве $A$ »).

$N \subset Z, Z \subset Q и л и N \subset Z \subset Q$ .

Введем понятие разности множеств.

Упражнение 2

Найдите разность множеств $A$ и $B$ :

а) $A$ — множество четных чисел, $B$ — множество чисел кратных 5;

б) $A$ — множество треугольников, $B$ — множество тупоугольных треугольников.

Рациональные числа как бесконечные десятичные периодические дроби

Упражнение 3

Представьте в виде дроби с наименьшим натуральным знаменателем числа:

$13; - 21; 3, 1; - 0, 25; 7 \frac{1}{3}; - \frac{4}{8} .$

Рассмотрим вопрос о представлении рациональных чисел в виде десятичных дробей.

Представим в виде десятичной дроби $\frac{7}{40}$ . Для этого разделим числитель на знаменатель дроби. Получим:

Таким образом, $\frac{7}{40} = 0, 175 .$

Говорят, что дробь $\frac{4}{11}$ обращается в бесконечную десятичную дробь 0, 3636…

$\frac{4}{11} = 0, 3636 . . .$

Как видим, в записи дроби 0,3636… есть повторяющаяся группа цифр 3 и 6.

Повторяющаяся группа цифр называется периодом дроби и записывается в скобках.

Таким образом, дробь $\frac{4}{11}$ записывается:

$\frac{4}{11} = 0, 3636 . . . = 0, (36) .$

Эта запись читается так: нуль целых, тридцать шесть в периоде.

Число $\frac{5}{12}$ также записывается в виде бесконечной десятичной периодической дроби:

$\frac{5}{12} = 0, 41666 . . . = 0, 41 (6) .$

Эта запись читается так: нуль целых, сорок одна сотая, шесть в периоде.

$4, 5 = 4, 5000 . . ., - 3, 2 = - 3, 2000 . . .$

Таким образом,

Каждое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Верно и обратное утверждение:

Каждая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет собой некоторое рациональное число.

Например:

$0, 1 (6) = \frac{1}{6}; 0, 3 (571428) = \frac{5}{14}$ .

Эти равенства несложно проверить, выполнив деление.

$0, 1 (9) = 0, 1999 . . . = 0, 2000 . . . = 0, 2; 1, (9) = 1, 999 . . . = 2, 000 . . . = 2 .$

Упражнение 4

Представьте в виде бесконечной десятичной дроби число:

а) $\frac{2}{3}$ ; б) $\frac{7}{6}$ ; в) $- \frac{3}{7}$ ; г) $- \frac{11}{9}$ ; д) $3$ ; е) $1, 28$ ; ж) $\frac{5}{8}$ ; з) $\frac{3}{11}$ .

Упражнение 5

Сравните рациональные числа:

а) 0,137 и 0,173; б) $\frac{5}{6}$ и $\frac{6}{7}$ ; в) –3 и –3,1;

г) $- 2 \frac{1}{4}$ и –2,25; д) 0,074 и $\frac{3}{40}$ ; е) $\frac{5}{16}$ и 0,312.

Контрольные вопросы

1. Нуль это натуральное число?

2. Какие числа образуют множество рациональных чисел?

2. Как обозначают множество рациональных чисел?

3. В каком виде можно представить рациональные числа?

4. Как можно представить конечную десятичную дробь в виде бесконечной десятичной дроби?

5. Как связаны дроби с периодом 0 и периодом 9?

Ответы

Упражнение 1

а) ложное; б) ложное; в) истинное; г) истинное.

Упражнение 2

а) множество четных чисел не кратных 10;

б) множество, содержащее остроугольные и прямоугольные треугольники.

Упражнение 3

$\frac{13}{1}; - \frac{21}{1}; \frac{31}{10}; - \frac{1}{4}; \frac{22}{3}; - \frac{1}{2} .$

Упражнение 4

а) 0,(6); б) 1,1(6); в) -0,(428571); г) -1,(2);

д) 3,(0); е) 1,28(0); ж) 0,625(0); з) 0,(27).

Упражнение 5

а) 0,137 $<$ 0,173; б) $\frac{5}{6}$ $<$ $\frac{6}{7}$ ; в) –3 $>$ –3,1;

г) $- 2 \frac{1}{4}$ = –2,25; д) 0,074 $<$ $\frac{3}{40}$ ; е) $\frac{5}{16}$ $>$ 0,312.

Конспект урока: Действительные числа

Числа

Множество рациональных чисел

Рациональные числа как бесконечные десятичные периодические дроби

Множество рациональных чисел

Рациональные числа как бесконечные десятичные периодические дроби