Конспект урока: Основное свойство дроби. Сокращение дробей

Основное свойство дроби

Как известно, для обыкновенных дробей справедливо свойство: если числитель и знаменатель умножить на одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится. Т.е. при любых натуральных значениях a, b и c верно равенство $\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}$.

Докажем, что это равенство верно при любых значениях a, b и c, при которых знаменатель отличен от нуля, т.е. при $b\ne 0, c\ne 0$.

Пусть $\frac{a}{b}=m$. Тогда по определению частного $a=bm$. Умножим обе части этого равенства на $c\ne 0$:

$ac=\left(bm\right)c.$

Воспользуемся сочетательным и переместительным свойствами умножения: 

$ac=\left(bc\right)m.$

Поскольку $bc\ne 0$, то по определению частного получаем 

$\frac{ac}{bc}=m$.

Значит, для любых числовых значений переменных a, b и c, где $b\ne 0, c\ne 0$, верно равенство.

$\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}$(1)

Равенство (1) сохраняет силу также, когда под буквами a, b и c понимают многочлены, где b и с — ненулевые многочлены, т.е. не равные тождественно нулю. 

Равенство (1) верно при всех допустимых значениях переменных. Такие равенства будем называть тождествами. 

Приведение дроби к новому знаменателю и сокращение дробей

Основное свойство рациональной дроби позволяет выполнять приведение дроби к новому знаменателю, т. е. заменить дробь тождественно ей равной, а также выполнить сокращение рациональной дроби.

Приведите дробь $\frac{7}{8a^{3}b}$ к знаменателю $24a^4{b}^2.$

Решение

Мы должны заменить данную дробь тождественно равной ей дробью со знаменателем $24a^4{b}^2.$
 

Т.к. $24a^4{b}^2=8a^{3}b\cdot 3ab,$ умножим числитель и знаменатель данной дроби на множитель $3ab:$
 

$\frac{7}{8a^{3}b}·\frac{3ab}{3ab}=\frac{21ab}{24a^4{b}^2}$
 

Множитель $3ab$ является дополнительным множителем к знаменателю и числителю дроби $\frac{7}{8a^{3}b}$.

Ответ: $\frac{21ab}{24a^4{b}^2}.$

Приведите дробь  $\frac{4}{2x-3y}$ к знаменателю $3y-2x$.

Решение

Выражения $2x-3y$ и $3y-2x$ противоположны друг другу, т.е. $2x-3y=-(3y-2x).$ Т.е. дополнительным множителем является число $-1$.

$\frac{4·(-1)}{(2x-3y)·(-1)}=\frac{-4}{3y-2x}$
 

Дробь  $\frac{-4}{3y-2x}$ можно заменить тождественно равной дробью $-\frac{4}{3y-2x}$, если изменить знак числителя и знак перед самой дробью: $\frac{-4}{3y-2x}=-\frac{4}{3y-2x}.$

Ответ: $-\frac{4}{3y-2x}.$

Приведите дробь: 

а) $\frac{b}{a^2}$ к знаменателю $a^4$;

б) $\frac{x}{2y}$к знаменателю $4y^3$;

в) $\frac{3c}{7y^5}$к знаменателю $14x{y}^6$;

г) $\frac{a}{b-5a}$к знаменателю $5a-b$.

Сократите дробь: 

а) $\frac{16a^2}{4a^3}$; б) $\frac{a^2-b^2}{b-a}$; в) $\frac{3x^2-3xy}{x^2-y^2}.$

Решение

Разложим на множители числитель и знаменатель каждой дроби и затем сократим дробь на общий множитель числителя и знаменателя дроби (если такой множитель окажется).

а) $\frac{16a^2}{4a^3}=\frac{4a^2·4}{4a^2·a}=\frac{4}{a}$(общий множитель — одночлен $4a^2$)
 

б) $\frac{a^2-b^2}{b-a}=\frac{(a-b)(a+b)}{-(a-b)}=-(a+b)=-a-b$ (общий множитель — двучлен $a-b$)
 

в) $\frac{3x^2-3xy}{x^2-y^2}=\frac{3x(x-y)}{(x+y)(x-y)}=\frac{3x}{x+y}$(общий множитель — двучлен $x-y$)

Ответ: а)$\frac{4}{a};$ б)$-a-b;$ в)$\frac{3x}{x+y}.$

Сократите дробь: 

а) $\frac{3a^{2}b}{4a{b}^2};$ 

б) $\frac{3x{y}^2-xy}{6y-2};$

в) $\frac{7t(b-a)}{14t{(b-a)}^2};$

г) $\frac{4x{y}^2-xy}{1-16y^2};$

д) $\frac{x^2-4y^2}{4y^2-4xy+x^2}.$

Построим график функции $y=\frac{x^2-9}{9-3x}$.

Решение

Рис. 1. Пример 4

Рассмотрим знаменатель дроби:

$9-3x=-3(x-3),$т. е. $x\ne 3.$

Упростим правую часть формулы:

$\frac{x^2-9}{9-3x}=\frac{(x-3)(x+3)}{-3(x-3)}=-\frac{x+3}{3}=-\frac{x}{3}-1$

Получаем формулу $y=-\frac{x}{3}-1$, где $x\ne 3$

Графиком данной функции является прямая с исключенной («выколотой») точкой (3; –2). Для построения прямой найдем координаты двух точек, принадлежащих прямой.
 

x	0	-3
y	-1	0

 

Проведем прямую через эти две точки и «выколем» точку, не принадлежащую прямой. 

Постройте график функции $y=\frac{x^2-4}{x-2}$.

1. Сформулируйте основное свойство рациональной дроби.

2. Что такое тождество?

3. Что необходимо сделать, чтобы поменять знак числителя или знаменателя?

4. Каков алгоритм сокращения рациональной дроби?

Ответы

Упражнение 1

 

а)$\frac{a^{2}b}{a^4}$; б)$\frac{2x{y}^2}{4y^3}$; в)$\frac{6cxy}{14x{y}^6}$; г)$-\frac{a}{5a-b}$.

 

Упражнение 2

 

а)$\frac{3a}{4b}$; б)$\frac{xy}{2}$; в)$\frac{1}{2(b-a)}$; г)$\frac{-xy}{1+4y}$; д)$\frac{x+2y}{x-2y}$.

 

Упражнение 3

Рис. 2. Упражнение 3. Ответ