Сумма и разность дробей | Алгебра 8 класс

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

План урока

Правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями;
Применение правил сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Цели урока

Знать правила сложения и вычитания рациональных дробей с одинаковыми знаменателями;
Уметь преобразовывать в дробь сумму или разность рациональных дробей с одинаковыми знаменателями.

Разминка

Выполните действия:

а) $\frac{1}{8} + \frac{5}{8}$ ; б) $\frac{4}{9} + \frac{2}{9}$ ; в) $\frac{7}{15} - \frac{4}{15}$ .

Правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями

Рациональные дроби с одинаковыми знаменателями складываются по тем же правилам, что и обыкновенные дроби:

$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$ ,

где a, b и c — многочлены, причем c — ненулевой многочлен.

Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.

Аналогично выполняется и вычитание рациональных дробей:

$\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$ .

Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тем же.

Применение правил сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями

Рассмотрим применение правил сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями на конкретных примерах.

Пример 1

Выполните сложение дробей: $\frac{3 x - 2}{x - 1} + \frac{4 x + 3}{x - 1}$ .

Решение

$\frac{3 x - 2}{x - 1} + \frac{4 x + 3}{x - 1} = \frac{3 x - 2 + 4 x + 3}{x - 1} = \frac{7 x + 1}{x - 1}$ .

Ответ: $\frac{7 x + 1}{x - 1}$ .

Пример 2

Вычтем из дроби $\frac{3 x - 2}{x - 1}$ дробь $\frac{4 x + 3}{x - 1}$ .

Решение

$\frac{3 x - 2}{x - 1} - \frac{4 x + 3}{x - 1} = \frac{3 x - 2 - 4 x - 3}{x - 1} = \frac{- x - 5}{x - 1} = - \frac{x + 5}{x - 1}$ .

Ответ: $- \frac{x + 5}{x - 1}$ .

Пример 3

Выполните действия: $\frac{2 a + 4}{a b} - \frac{3 a - 1}{a b} + \frac{2 a - 5}{a b}$ .

Решение

$\frac{2 a + 4}{a b} - \frac{3 a - 1}{a b} + \frac{2 a - 5}{a b} = \frac{2 a + 4 - 3 a + 1 + 2 a - 5}{a b} = \frac{a}{a b} = \frac{1}{b}$ .

Ответ: $\frac{1}{b}$ .

Пример 4

Выполните действия: $\frac{a}{a - 3} + \frac{a + 1}{3 - a}$ .

Решение

Знаменатели слагаемых являются противоположными выражениями $3 - a = - (a - 3)$ . Поэтому можем изменить знак перед второй дробью и заменить знаменатель на противоположное выражение.

$\frac{a}{a - 3} + \frac{a + 1}{3 - a} = \frac{a}{a - 3} - \frac{a + 1}{a - 3} = \frac{a - a - 1}{a - 3} = \frac{- 1}{a - 3} = \frac{1}{3 - a}$ .

Ответ: $\frac{1}{3 - a}$ .

Упражнение 1

Выполните действия с дробями:

а) $\frac{a - b}{b} + \frac{a + b}{b}$ ; б) $\frac{m^{2}}{m - 5} - \frac{25}{m - 5}$ ; в) $\frac{y}{3 x^{2} - x y} + \frac{3 x}{x y - 3 x^{2}}$ ; г) $\frac{t}{t - 1} - \frac{2}{t - 1} + \frac{1}{t - 1}$ ;
д) $\frac{2 x}{3 x - 9} - \frac{4 x + 1}{9 - 3 x} + \frac{7 - 3 x}{3 x - 9}$ ; е) $\frac{3 a + 2 b}{2 a - b} + \frac{4 a - b}{2 a - b} + \frac{a + 4 b}{b - 2 a}$ .

Контрольный вопрос

По каким правилам выполняется сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями?

Ответы

а) $\frac{2 a}{b}$ ; б) $m + 5$ ; в) $- \frac{1}{x}$ ; г) $1$ ; д) $\frac{3 x + 8}{3 x - 9}$ ; е) $3$ .

Конспект урока: Сумма и разность дробей

Алгебраические выражения

Правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями