Конспект урока: Сумма и разность дробей

Правила сложения и вычитания дробей с разными знаменателями 

Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями сводится к сложению и вычитанию рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого приводят данные дроби к наименьшему общему знаменателю, подбирая дополнительный множитель и используя основное свойство дроби. 

Применение правил сложения и вычитания дробей с разными знаменателями 

Рассмотрим примеры применения правил сложения и вычитания дробей с разными знаменателями на конкретных примерах.

Решение 

Сначала приведём дроби к общему знаменателю. Наиболее простым общим знаменателем является одночлен $24x{y}^2$. Коэффициент одночлена равен наименьшему общему кратному коэффициентов знаменателей дробей-слагаемых, а каждая переменная взята с наибольшим показателем, с которым она входит в знаменатели дробей. 
 

$24x{y}^2=6xy·4y$, $24x{y}^2=8y^2·3x$
 

$\frac{7}{6xy}+\frac{5}{8y^2}=\frac{7·4y+5·3x}{24x{y}^2}=\frac{28y+15x}{24x{y}^2}$

Ответ: $\frac{28y+15x}{24x{y}^2}.$

Решение 

Преобразуем знаменатели первой и второй дроби: 

$a^2-2ab+b^2={(a-b)}^2, b^2-ab=b(b-a)=-b(a-b).$

Наименьший общий знаменатель дробей, входящих в выражение, $b{(a-b)}^2:$

$b{(a-b)}^2=b{·(a-b)}^2, b{(a-b)}^2=b·(a-b)·(a-b).$

Таким образом, 

$\frac{b}{a^2-2ab+b^2}-\frac{a+b}{b^2-ab}=\frac{b}{{(a-b)}^2}-\frac{a+b}{b(b-a)}=\frac{b}{{(a-b)}^2}+\frac{a+b}{b(a-b)}=$

$=\frac{b^2+(a-b)(a+b)}{b{(a-b)}^2}=\frac{b^2+a^2-b^2}{b{(a-b)}^2}=\frac{a^2}{b{(a-b)}^2}.$

Ответ: $\frac{a^2}{b{(a-b)}^2}$.

Преобразование рационального выражения, которое является суммой или разностью целого выражения и дроби, сводится к преобразованию суммы и разности дробей. 

Решение

Представим выражение m — n в виде дроби со знаменателем 1 и выполним сложение дробей: 

$m-n+\frac{n^2}{m+n}=\frac{m-n}{1}+\frac{n^2}{m+n}=\frac{(m-n)(m+n)+n^2}{m+n}=\frac{m^2-n^2+n^2}{m+n}=\frac{m^2}{m+n}.$

Ответ: $\frac{m^2}{m+n}$.