Все уроки по всем предметам школьной программы ФГОС

Рациональные выражения

План урока

Понятие рационального выражения
Допустимые значения переменных
Понятие рациональной дроби

Цели урока

Знать определения целого выражения, дробного выражения, рационального выражения
Уметь различать целые и дробные выражения
Уметь находить допустимые значения переменных выражения
Знать определение рациональной дроби
Уметь находить значения рациональной дроби
Уметь находить значения переменных, при которых рациональная дробь равна нулю

Разминка

Какие из выражений являются одночленами, а какие — многочленами?

$0, 5 a^{2} b, 7 a^{2} + b, x^{2} + x y + y^{3}, - 75 x y^{3} z^{7}, x^{2} + 7 x - 9, \frac{7}{9} a^{3} b^{6}$
Представьте в виде многочлена:
а) $- 0, 5 (4 - 2 a);$ б) $(b + 3) (b - 1);$ в) ${(a - 2)}^{2};$ г) ${(a + 1)}^{2};$ д) $(3 + b) (b - 1)$

Понятие рационального выражения

В курсе алгебры 7 класса мы занимались различными преобразованиями одночленов и многочленов. Обобщим наши знания об алгебраических выражениях.

Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, возведения в степень и деления на число, отличное от нуля, называются целыми выражениями.

Таким образом, можно сделать вывод, что одночлены и многочлены являются целыми выражениями.

Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, возведения в степень и деления на выражение с переменными, называются дробными выражениями.

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

Пример 1

Какие из выражений являются целыми, а какие — дробными?

$- \frac{1}{2} a^{3} + \frac{2}{3}; (x - y) (x + y); 3 x : (5 y); {(2 x)}^{2} : 10; \frac{a + 5}{8}; 4 a^{2} - \frac{a}{2 a + 1} .$

Решение

Руководствуясь определениями целых и дробных выражений, ответим на поставленный вопрос.

Выражения $- \frac{1}{2} a^{3} + \frac{2}{3}; (x - y) (x + y); {(2 x)}^{2} : 10; \frac{a + 5}{8}$ отвечают определению целых выражений, т.к. содержат действия сложения, вычитания, умножения, возведения в степень и деления на число, отличное от нуля.

Выражения $3 x : (5 y); 4 a^{2} - \frac{a}{2 a + 1}$ отвечают определению дробных выражений, т.к. содержат действия сложения, вычитания, умножения, возведения в степень и деления на выражение с переменными.

Ответ: $- \frac{1}{2} a^{3} + \frac{2}{3}; (x - y) (x + y); {(2 x)}^{2} : 10; \frac{a + 5}{8}$ — целые выражения;
$3 x : (5 y); 4 a^{2} - \frac{a}{2 a + 1}$ — дробные выражения.

Упражнение 1

Какие из выражений являются целыми, а какие — дробными?

$b^{5} - \frac{b (3 b + c)}{7}; 3 a^{2} - \frac{1}{4} a; (x + 2) (x^{2} + 3); \frac{x^{2}}{x^{2} - 4}; {(x + 2)}^{2} : {(x - 3)}^{2} .$

Допустимые значения переменных

Если в целое выражение вместо входящих в него переменных подставить конкретные числа, то мы получим некоторое числовое значение этого выражения. Это всегда возможно, так как все действия в целом выражении всегда выполнимы. Т.е. целые выражения имеют смысл при любых значениях входящих в них переменных.

Дробные же выражения при некоторых значениях переменных могут потерять смысл, так как действие деления не всегда выполнимо.

Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных, а множество всех таких чисел — областью допустимых значений переменных.

Пример 2

Укажите допустимые значения переменной в выражении:
а) $x^{2} - 6 x + 9;$ б) $\frac{2 x + 1}{x^{2} + 2 x};$ в) $\frac{b - 4}{4 + b^{2}};$ г) $\frac{x^{2}}{x - 2} + \frac{x^{2} - 1}{x} .$

Решение

а) $x^{2} - 6 x + 9$ является целым выражением, поэтому допустимы любые значения переменной.

б) Выясним, при каких значениях переменной знаменатель дроби обращается в нуль. Для этого решим уравнение $x^{2} + 2 x = 0 x (x + 2) = 0 x = - 2; x = 0$

Допустимы все значения переменной, кроме $- 2$ и $0$ .

в) Знаменатель дроби $4 + b^{2} \geq 4;$ поскольку квадрат числа неотрицателен, т.е. $b^{2} \geq 0 .$ Таким образом, допустимы любые значения переменной.

г) $\frac{x^{2}}{x - 2} + \frac{x^{2} - 1}{x} .$ В данном выражении две дроби, поэтому рассматриваем знаменатель каждой дроби в отдельности. Получаем значения, при которых знаменатели равны нулю, $x = 0$ и $x = 2$ .

Допустимы все значения переменной, кроме $0$ и $2$ .

Ответ: а) любое число; б) все числа, кроме –2 и 0; в) любое число; г) все числа, кроме 0 и 2.

Упражнение 2

1. Укажите допустимые значения переменной в выражении:
а) $x^{2} - 7 x + 8;$ б) $\frac{3 a - 1}{2 a^{2} - 2};$ в) $\frac{2 x}{x - 6};$ г) $\frac{b^{2}}{b + 3} + \frac{5 b - 1}{b - 1} .$

2. Найдите значение дробного выражения:

а) $\frac{4 x - 3}{2 x + 1} при x = 1;$ б) $\frac{2 a - 3 b}{2 a + 4 b} при a = 2, b = 3;$ в) $\frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x^{2} - 4} при x = 0;$

г) $\frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{4 - 9 x} при x = - 1 .$

Понятие рациональной дроби

Выражение вида $\frac{a}{b}$ , как известно, называется дробью. Обозначение дроби $\frac{a}{b}$ впервые появилось в «Книге абака» (1202) итальянского математика Леонардо Фибоначчи (1180–1240), а широкое распространение в Европе данная запись получила после издания работ французского математика Франсуа Виета (1540–1603).

Дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, называют рациональной дробью.

Наиболее полно действия с рациональными дробями впервые были изложены во «Всеобщей арифметике» (1707) выдающегося ученого Исаака Ньютона (1643–1727).

В рациональной дроби допустимые значения переменных те, при которых знаменатель не обращается в нуль, т.к. на нуль делить нельзя.

Рациональная дробь равна нулю, когда она имеет смысл, а ее числитель равен нулю, т.е. $\frac{a}{b} = 0$ , если $a = 0$ и $b \neq 0$ .

Пример 3

Найдите значения переменной, при которых дробь $\frac{x^{2} - 4 x}{x^{2} - 16}$ равна нулю.

Решение

Сначала выясним, при каких значениях переменной числитель равен нулю: $x^{2} - 4 x = 0, x (x - 4) = 0, x = 0; x = 4 .$

Далее определим, при каких значениях переменной знаменатель не равен нулю: $x^{2} - 16 = (x + 4) (x - 4), x \neq - 4; x \neq 4 .$

Таким образом, дробь равна нулю при $x = 0$ , т. к. $x = 4$ не входит в область допустимых значений.

Ответ: $0$ .

Упражнение 3

Найдите значения переменной, при которых дробь равна нулю:
а) $\frac{x^{2} + x}{x^{2} - 1};$ б) $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - x};$ в) $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 4 x + 4} .$

Контрольные вопросы

1. Чем отличаются целые и дробные выражения?

2. Что такое допустимые значения переменной?

3. Дробь и дробное выражение это одно и то же?

4. Когда рациональная дробь равна нулю?

Ответы

Упражнение 1

$b^{5} - \frac{b (3 b + c)}{7}; 3 a^{2} - \frac{1}{4} a; (x + 2) (x^{2} + 3)$ — целые выражения; $\frac{x^{2}}{x^{2} - 4}; {(x + 2)}^{2} : {(x - 3)}^{2}$ — дробные.

Упражнение 2

1. а) любое число; б) все числа, кроме $- 1$ и $1$ ; в) все числа, кроме 6; г) все числа, кроме –3 и 1.

2. а) $\frac{1}{3};$ б) $- \frac{5}{16};$ в) $- \frac{1}{4};$ г) $- \frac{5}{13} .$

Упражнение 3

а) 0; б) –1; в) 2.

Конспект урока: Рациональные выражения

Алгебраические выражения

Понятие рационального выражения

Допустимые значения переменных

Понятие рациональной дроби