Все уроки по всем предметам школьной программы ФГОС

Преобразование рациональных выражений

План урока

Преобразование рациональных выражений
Формула среднего гармонического ряда положительных чисел

Цели урока

Уметь определять порядок действий в рациональных выражениях
Уметь применять правила сложения, вычитания, умножения, возведения в степень и деления рациональных дробей
Знать формулу среднего гармонического ряда положительных чисел

Разминка

Выполните действия с дробями:

а) $\frac{a + 1}{a - 3} : \frac{a + 1}{a}$ ; б) $\frac{a + b}{a - b} + \frac{b}{b - a}$ ; в) ${(\frac{2 x}{x^{2}} - \frac{3}{x})}^{2}$ .

Преобразование рациональных выражений

Рациональное выражение $(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) \cdot \frac{5 x y^{2}}{x - y}$ представляет собой произведение разности рациональных дробей на дробь. Таким образом, преобразование данного рационального выражения сводится к разности дробей $\frac{x}{y}, \frac{y}{x}$ и умножению результата на $\frac{5 x y^{2}}{x - y} .$ Преобразование рациональных выражений можно свести к сложению, вычитанию, умножению, возведению в степень и делению рациональных дробей.

Правила действий с дробями дают возможность представить любое рациональное выражение в виде рациональной дроби.

Пример 1

Преобразуйте рациональное выражение $a + b - \frac{2 a + b}{a} : \frac{2 a - b}{a^{2}}$ в рациональную дробь.

Решение

1) $\frac{2 a + b}{a} : \frac{2 a - b}{a^{2}} = \frac{2 a + b}{a} \cdot \frac{a^{2}}{2 a - b} = \frac{a (2 a + b)}{2 a - b}$ ;

2) $a + b - \frac{a (2 a + b)}{2 a - b} = \frac{a + b}{1} - \frac{a (2 a + b)}{2 a - b} = \frac{(a + b) (2 a - b) - a (2 a + b)}{2 a - b} = \frac{2 a^{2} - a b + 2 a b - b^{2} - 2 a^{2} - a b}{2 a - b} = \frac{- b^{2}}{2 a - b} =$

$= \frac{b^{2}}{b - 2 a}$ .

Можно это записать через знак равенства:

$a + b - \frac{2 a + b}{a} : \frac{2 a - b}{a^{2}} = a + b - \frac{2 a + b}{a} \cdot \frac{a^{2}}{2 a - b} = \frac{a + b}{1} - \frac{a (2 a + b)}{2 a - b} =$

$= \frac{(a + b) (2 a - b) - a (2 a + b)}{2 a - b} = \frac{2 a^{2} - a b + 2 a b - b^{2} - 2 a^{2} - a b}{2 a - b} = \frac{- b^{2}}{2 a - b} = \frac{b^{2}}{b - 2 a}$ .

Ответ: $\frac{b^{2}}{b - 2 a}$ .

Пример 2

Упростите выражение $(\frac{4 x - 2}{4 x - 3} + 1) \cdot \frac{12 x - 9}{(2 x - 1) (8 x - 5)} + 3$ .

Решение

Выполним преобразования по действиям:

1) $\frac{4 x - 2}{4 x - 3} + 1 = \frac{4 x - 2}{4 x - 3} + \frac{1}{1} = \frac{4 x - 2 + 4 x - 3}{4 x - 3} = \frac{8 x - 5}{4 x - 3}$ ;

2) $\frac{8 x - 5}{4 x - 3} \cdot \frac{3 (4 x - 3)}{(2 x - 1) (8 x - 5)} = \frac{(8 x - 5) \cdot 3 (4 x - 3)}{(4 x - 3) \cdot (2 x - 1) (8 x - 5)} = \frac{3}{2 x - 1}$ ;

3) $\frac{3}{2 x - 1} + 3 = \frac{3}{2 x - 1} + \frac{3}{1} = \frac{3 + 3 (2 x - 1)}{2 x - 1} = \frac{3 + 6 x - 3}{2 x - 1} = \frac{6 x}{2 x - 1}$ .

Ответ: $\frac{6 x}{2 x - 1}$ .

Пример 3

Упростите выражение $\frac{a - \frac{4 a - 4}{a}}{\frac{2}{a} - 1}$ .

Преобразования можно провести разными способами. Можно преобразовать отдельно числитель и знаменатель, а потом разделить первый результат на второй. А можно поступить по-другому — умножить числитель и знаменатель на a, воспользовавшись основным свойством дроби:

$\frac{a - \frac{4 a - 4}{a}}{\frac{2}{a} - 1} = \frac{a^{2} - \frac{4 a - 4}{a} \cdot a}{\frac{2}{a} \cdot a - a} = \frac{a^{2} - (4 a - 4)}{2 - a} = \frac{a^{2} - 4 a + 4}{2 - a} = \frac{(2 - a)^{2}}{2 - a} = 2 - a .$

Ответ: $2 - a$ .

Упражнение 1

Выполните преобразования рациональных выражений:

а) $(\frac{3 x + 7 y}{6 x} + \frac{8 x - 3 y}{6 y}) \cdot \frac{12 x^{2} y}{7 y^{2} + 8 x^{2}}$ ; б) $(\frac{x + y}{x - y} - \frac{x - y}{x + y}) \cdot \frac{x^{2} - y^{2}}{4 x y}$ ;

в) $(\frac{5 t}{4 t + 2} - \frac{t}{2 - 4 t}) : \frac{9 t^{2} - 3 t}{1 - 4 t + 4 t^{2}}$ ;

г) $(\frac{3 a}{a - 1} + 1) : (a - \frac{3 a^{2}}{1 - a})$ ; д) $(\frac{a b + b^{2}}{5 a^{2} - 5 a b} + a b + b^{2}) \cdot \frac{5 a}{a + b} - \frac{b}{a - b}$ ;

е) $\frac{1 - \frac{3}{c}}{\frac{6 c - 9}{c} - c}$ .

Формула среднего гармонического ряда положительных чисел

Пример 4

По кольцевому маршруту поселок А — станция B — поселок С — поселок А ходит автобус. Каждый участок пути имеет одинаковую длину. Участок поселок А — станция B автобус прошёл со скоростью $v_{1}$ км/ч. Участок станция B — поселок С со скоростью $v_{2}$ км/ч. Участок поселок С — поселок А со скоростью $v_{3}$ км/ч. Выясните, какой была средняя скорость автобуса на всём пройденном им пути.

Решение

Обозначим длину каждого участка пути s км. Тогда на путь AB автобус затратил $\frac{s}{v_{1}} ч$ , на путь BС — $\frac{s}{v_{2}} ч$ , на путь СА — $\frac{s}{v_{3}} ч$ . Полный путь $3 s к м$ . Можем найти среднюю скорость $v_{с р}$ автобуса на всём пути:

$v_{с р} = \frac{3 s}{\frac{s}{v_{1}} + \frac{s}{v_{2}} + \frac{s}{v_{3}}}$ .

Сократим эту дробь на s и получим:

$v_{с р} = \frac{3}{\frac{1}{v_{1}} + \frac{1}{v_{2}} + \frac{1}{v_{3}}}$ .

Ответ: $\frac{3}{\frac{1}{v_{1}} + \frac{1}{v_{2}} + \frac{1}{v_{3}}}$ .

Каждый участок пути одинаковой длины, а скорость на каждом участке разная. В результате, средняя скорость в этой задаче равна не среднему арифметическому скоростей. Она вычисляется по формуле, которую называют формулой среднего гармонического трех чисел.

В случае двух участков пути одинаковой длины средняя скорость вычисляется по формуле среднего гармонического двух чисел:

$v_{с р} = \frac{2}{\frac{1}{v_{1}} + \frac{1}{v_{2}}}$ ,

где $v_{1}, v_{2}$ — скорости на этих участках.

В случае четырёх участков пути одинаковой длины средняя скорость вычисляется по формуле среднего гармонического четырех чисел:

$v_{с р} = \frac{4}{\frac{1}{v_{1}} + \frac{1}{v_{2}} + \frac{1}{v_{3}} + \frac{1}{v_{4}}}$ ,

где $v_{1}, v_{2}, v_{3,} v_{4}$ — скорости на этих участках.

Если у нас есть некоторый ряд положительных чисел $a_{1,} a_{2}, . . . a_{n}$ , то среднее гармоническое этого ряда вычисляется по формуле:

$a_{с р} = \frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + . . . . + \frac{1}{a_{n}}}$ .

Эту формулу можно записать в другом виде:

$\frac{1}{a_{с р}} = \frac{\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + . . . . + \frac{1}{a_{n}}}{n}$ .

При такой записи видно, что величина, обратная среднему гармоническому ряда чисел, равна среднему арифметическому чисел, им обратных.

Контрольные вопросы

1. Почему любое рациональное выражение можно представить в виде многочлена или рациональной дроби?

2. С помощью какой формулы можно найти среднюю скорость движения объекта, если путь состоит из нескольких участков одинаковой длины, на каждом из которых скорость объекта разная?

Ответы

Упражнение 1

а) $2 x$ ; б) $1$ в) $\frac{4 t - 2}{6 t + 3}$ ; г) $\frac{1}{a}$ ; д) $5 a b$ ; е) $\frac{1}{3 - c}$ .

Конспект урока: Преобразование рациональных выражений

Алгебраические выражения

Преобразование рациональных выражений

Формула среднего гармонического ряда положительных чисел