Конспект урока: Погрешность и точность приближения

Абсолютная погрешность приближенного значения

На практике в вычислениях используют, как правило, десятичные дроби с ограниченным числом десятичных знаков. Если дробь бесконечная или с большим количеством десятичных знаков, ее округляют. Так число π выражается бесконечной десятичной непериодической дробью 3,1415926… В зависимости от задачи его округляют до десятых, сотых, тысячных и т.д. И тогда получают приближенные значения: 3,1; 3,14; 3,142 и т.д. 

По графику функции $y=x^2$ можно найти приближенные значения этой функции при $x=1,6 и x=2,3$: $$\begin{gathered} если x=1,6, то y\approx 2,6; \\ если x=2,3, то y\approx 5,3. \end{gathered}$$

Точные значения квадратов чисел:

$$\begin{gathered} если x=1,6, то y=1,6^2=2,56; \\ если x=2,3, то y=2,3^2=5,29. \end{gathered}$$

В первом случае отличие приближенного значения от точного значения равно 0,04, во втором – 0,01:
 

$2,6-2,56=0,04; 5,3-5,29=0,01.$

Так, в рассмотренном примере абсолютная погрешность определяется следующим образом:
 

$|2,56-2,6|=|-0,04|=0,04; |5,29-5,3|=|-0,01|=0,01.$
 

Найти абсолютную погрешность не всегда возможно. Например, при измерении длины отрезка с помощью линейки мы можем сказать, что абсолютная погрешность не превосходит цены деления. Цена деления обычной линейки 0,1 см, поэтому абсолютная погрешность приближенного значения не больше 0,1.

Пишут: 

$x\approx a$ с точностью h.

Обычно используют другую запись:

$x=a\pm h$.

Эта запись означает, что 

$a-h\le x\le a+h$.

Например, если $x=15\pm 0,2$, то $14,8\le x\le 15,2$.

Точность приближенного значения зависит от многих причин. На практике в процессе измерения, его точность зависит от прибора, с помощью которого выполнялось измерение, от его точности.

1. Округлите числа 1,526; 13,56; 5,753 до десятых и найдите абсолютную погрешность каждого из приближенных значений.
 

2. Приближенное значение числа x равно a. Найдите абсолютную погрешность приближения, если:

а) $x=3,76; a=3,8$; б) $x=9,653; a=9,7$; в)  $x=38,1; a=38$; 
г) $x=26,48; a=26$.

3. Запишите в виде двойного неравенства:

а) $x=7\pm 1$; б) $x=27\pm 3$; в) $x=23\pm 0,1$; г) $x=16,5\pm 0,5$; 
д) $x=5,82\pm 0,01$; е) $x=30,42\pm 0,05$.

Относительная погрешность приближенного значения

Допустим, мы измерили толщину h монеты и ее диаметр d в сантиметрах:
 

$$\begin{gathered} h=0,2\pm 0,1; \\ d=2,5\pm 0,1 \end{gathered}$$
 

Тогда качество измерения можно оценить как отношение точности измерения к приближенному значению: для толщины $\frac{0,1}{0,2}=0,5$, а для диаметра $\frac{0,1}{2,5}=0,04$. Чем меньше отношение, тем точнее измерение. 

Относительную погрешность принято выражать в процентах:

$\left|\frac{x-a}{a}\right|\cdot 100\%$.

Тогда $\frac{0,1}{0,2}\cdot 100\%=50\%, \frac{0,1}{2,5}\cdot 100\%=4\%$. Тогда говорят, что измерение толщины выполнено с относительной точностью до 50%, а измерение диаметра — с относительной точностью до 4%. Качество второго измерения значительно выше, чем первого.

Округлите число до единиц и найдите относительную погрешность округления (в процентах):

а) 2,1; б) 5,12; в) 9,736; г) 49,54.

1. Что называется абсолютной погрешностью приближенного значения? Поясните смысл записи $x=a\pm h$.

2. Что называется относительной погрешностью приближенного значения?