- Прямоугольник
- Ромб
- Квадрат
- Знать определения прямоугольника, ромба и квадрата
- Уметь определять вид параллелограмма по определению
- Высоты треугольника , проведенные из вершин и , пересекаются в точке , причем . Докажите, что треугольник - равнобедренный.
- Прямоугольные треугольники и имеют общий катет , а гипотенузы и параллельны. Докажите, что .
Рис. 1. Прямоугольник
Параллелограмм — это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны. При этом противоположные стороны равны, противоположные углы равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам. Если в параллелограмме все углы равны, или все стороны равны, или диагонали равны, то такие параллелограммы выделяют как особый вид четырехугольника. На этом уроке мы познакомимся с ними.
Рис. 2. Ромб
Прямоугольником
называется параллелограмм, у которого все углы прямые
(Рис. 1).
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны (Рис. 2).
Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны (Рис. 3).
Рис. 3. Квадрат
Поскольку прямоугольник, ромб и квадрат являются параллелограммами, то обладают всеми свойствами параллелограмма. Свойства, которые присущи только прямоугольнику, ромбу или квадрату рассмотрим на следующем уроке.
Пример 1
Докажите, что если один из углов ромба прямой, то этот ромб является квадратом.
Доказательство
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Если один угол прямой, то противоположный угол тоже прямой. Противоположные углы параллелограмма равны и их сумма равна , тогда все углы ромба прямые. Если в параллелограмме все стороны и все углы прямые, то это квадрат. Что и требовалось доказать.
Пример 2
Докажите, что если две смежные стороны прямоугольника равны, то этот прямоугольник является квадратом.
Доказательство
Прямоугольником является параллелограмм, все углы которого прямые. В параллелограмме противоположные стороны попарно равны. Если смежные стороны равны, то все стороны прямоугольника равны, тогда этот прямоугольник является квадратом. Что и требовалось доказать.
Упражнения
1. В прямоугольнике , . Найдите:
а) расстояние от точки до стороны ;
б) расстояние между прямыми и .
2. Верно ли утверждение:
а) любой квадрат является параллелограммом;
б) любой ромб является квадратом;
в) любой прямоугольник является квадратом;
г) любой квадрат является прямоугольником;
д) любой квадрат является ромбом;
е) существует ромб, который является прямоугольником;
ж) существует квадрат, который не является ромбом.
Контрольные вопросы
1. Назовите виды параллелограммов, у которых:
а) все углы равны;
б) все стороны равны;
2. Может ли диагональ прямоугольника быть равной его стороне? Может ли диагональ ромба быть равной его стороне?
3. Может ли прямоугольник быть ромбом? В каком случае?
1. а) ; б) .
2. а) да; б) нет; в) нет; г) да; д) да; е) да; ж) нет.
