Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Практические приложения подобия треугольников. О подобии произвольных фигур

Треугольники

Практические приложения подобия треугольников. О подобии произвольных фигур

План урока

  • Задачи на построение;
  • Измерительные работы на местности;
  • О подобии произвольных фигур.

Цели урока

  • Знать определение подобных фигур, коэффициента подобия фигур;
  • Уметь выполнять построение треугольников с применением метода подобия, выполнять измерение на местности.

Разминка

  • Какие треугольники называются подобными?
  • Какие прямые называются параллельными?
  • Какими свойствами обладают параллельные прямые?
  • Какой четырехугольник называют прямоугольной трапецией?
  • Что называют расстоянием между параллельными прямыми? Что означает «точки параллельных прямых равноудалены»?

Задачи на построение

 

Подобие треугольников может использоваться не только как инструмент геометрических доказательств или вычислений, но и как средство для решения задач на построение. Метод подобия для решения задач на построение заключается в построении вспомогательной фигуры, подобной искомой.


Пример 1

 

Построить треугольник по данным двум углам и медиане, проведенной из вершины третьего угла.


Рис. 1. К решению примера 1 Рис. 1. К решению примера 1

На рис. 1 изображены два данных угла и данный отрезок. Требуется построить треугольник, у которого два угла соответственно равны двум данным углам, а медиана, проведенная из вершины третьего угла, равна данному отрезку.

 

Анализ 

 

Обратим внимание на то, что два данных угла определяют форму искомого треугольника, а длина данной медианы — его размеры. При этом искомый треугольник будет подобен любому треугольнику с углами равными данным. Отсюда следует план построения: строим сначала произвольный треугольник с углами равными данным, проводим в нем медиану из вершины третьего угла, и, пользуясь подобием треугольников, строим искомый треугольник (рис. 2).

Построение

Рис. 2. Построение Рис. 2. Построение

1. Построим треугольник A1B1C в котором A1B1 равны данным (рис. 2).

2. Построим медиану CM1 треугольника A1B1C.

3. Отложим на прямой CM1 отрезок CM, равный данному.

4. Проведем через точку M прямую, параллельную A1B1. Пусть A и B — точки ее пересечения со сторонами угла C. Треугольник ABC искомый (рис. 2).

Доказательство

 

Поскольку по построению ABA1B1, то A=A1B=B1 как соответственные углы при параллельных прямых. Значит, два угла треугольника ABC равны данным. 

 

Докажем, что M – середина AB.

 

A1CM1 ~ ACM по двум углам, поэтому CM1CM=A1M1AM

 

B1CM1 ~ BCM по двум углам, поэтому CM1CM=B1M1BM.

 

 

Получаем, что A1M1AM=B1M1BM, то есть A1M1B1M1=AMBM. Но A1M1=B1M1 по построению, поэтому AMBM=1 и AM=BM. Следовательно, CM – медиана треугольника ABC.

 

Треугольник ABC искомый, что и требовалось доказать.

 

Исследование

 

Задача имеет решение, если сумма двух данных углов меньше 180°. Так как отрезок A1B1 можно выбрать произвольно, то существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условию задачи. Все эти треугольники равны друг другу, поэтому задача имеет единственное решение.


Итак, при решении задач на построение методом подобия следует придерживаться следующего плана.

1. Выделить из условий задачи те, которые определяют форму искомой фигуры.

2. Построить по этим данным фигуру, подобную искомой.

3. Используя условия задачи, определяющие размеры искомой фигуры, построить эту фигуру.


Среди задач на построение, связанных с подобием, одной из наиболее интересных является задача деления отрезка на две части таким образом, чтобы одна из них была средним пропорциональным между второй частью и всем отрезком. Такое деление отрезка называют делением в среднем и крайнем отношениях , или золотым сечением .


Упражнение 1

 

1. Постройте треугольник по двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего угла;

2. Постройте треугольник по двум углам и биссектрисе, проведенной из вершины меньшего из них.


Измерительные работы на местности

Свойства подобных треугольников могут быть использованы при проведении различных измерительных работ на местности. Рассмотрим две задачи: определение высоты предмета и расстояния до недоступной точки.

 

Определение высоты предмета

Рис. 3. Определение высоты предмета Рис. 3. Определение высоты предмета

Предположим, что нам необходимо измерить высоту некоторого предмета, например высоту ели M1N1 (рис. 3). Для этого установим на некотором расстоянии от ели жердь MN с планкой, которая вращается вокруг точки N. Направим планку на верхнюю точку N1 как показано на рис. 3. На земле отметим точку A в которой планка упирается в поверхность земли.

 

Рассмотрим ANMM=90°, и AN1M1M1=90°. Угол A - общий для данных треугольников, поэтому ANM AN1M1 по двум углам.

 

Тогда MNM1N1=AMAM1, откуда M1N1=MN·AM1AM.

Если, например MN=2мAM=3,2мAM1=7,2м, то M1N1=2·7,23,2=4,5 (м).


Пример 2

 

Найдите высоту вышки (рис. 4), если расстояние от наблюдателя до шеста и до вышки соответственно равны 1,5 м и 39 м, высота шеста – 3 м, а рост наблюдателя – 1,8 м.

Рис. 4. К примеру 2 Рис. 4. К примеру 2


Решение

Рис. 5. К решению примера 2 Рис. 5. К решению примера 2

Введем прямоугольную трапецию , где AB=1,8 мAD=39 мAG=1,5 мFG=3 м  (рис. 5). Найдем длину CD.

 

Опустим высоту BE.

 

FH=FG-HG=FG-AB=1,2 м,

BH=AG=1,5 м,BE=AD=39 м,

 

поскольку точки параллельных прямых равноудалены. Треугольники BFH и BCE подобны по двум углам, тогда 

 

BHBE=FHCE,CE=FH·BEBH=1,2·391,5=31,2 м.

 

Высота вышки равна отрезку 

 

CD=CE+DE=31,2+1,8=33 м.

 

Ответ: 33 м.


Определение расстояния до недоступной точки


Пусть нам нужно найти расстояние от пункта A до недоступного пункта C (рис. 6). Для этого на местности выбираем точку B, провешиваем отрезок AB и измеряем его. 

Рис. 6. Определение расстояния до недоступной точки Рис. 6. Определение расстояния до недоступной точки

Затем с помощью астролябии измеряем углы A и B. На листе бумаги строим какой-нибудь треугольник A1B1C1, у которого A1=AB1=B, и измеряем длины сторон A1B1 и A1C1 этого треугольника. Так как треугольники ABC и A1B1C1 подобны (по первому признаку подобия треугольников), то ABA1B1=ACA1C1, откуда получаем AC=AB·A1C1A1B1. Эта формула позволяет по известным расстояниям ABA1C1 и A1B1 найти расстояние AC.

 

Для упрощения вычислений удобно построить треугольник A1B1C1 таким образом, чтобы A1B1:AB=1:1000. Например, если AB=130 м, то расстояние A1B1=130мм. В этом случае AC=ABA1B1·A1C1=1000·A1C1, тогда, измерив расстояние A1C1 в миллиметрах, мы сразу получим расстояние AC в метрах. Например, пусть АB = 130 мA = 73°B = 58° (рис. 6). На бумаге строим треугольник A1B1C1 так, чтобы A1=73°B1=58°A1B1=130мм и измеряем отрезок A1C1. Он равен 153 мм, поэтому искомое расстояние равно 153 м.


Упражнение 2

 

1. Дерево находится на расстоянии 60 м от объектива фотоаппарата. Высота его изображения на пленке равна 8 мм. Расстояние от объектива до пленки равно 40 мм (рис. 7). Какова высота дерева?

Рис. 7. К задаче 1 Рис. 7. К задаче 1

2. Найдите высоту дерева, если длина его тени равна 8,4 м, а длина тени от вертикального столба высотой 2 м в то же время суток равна 2,4 м (рис. 8).

Рис. 8. К задаче 2 Рис. 8. К задаче 2


О подобии произвольных фигур

 

Понятие подобия можно ввести не только для треугольников, но и для произвольных фигур. 


Фигуры F и F1 называются подобными , если каждой точке фигуры F можно сопоставить точку фигуры F1 так, что для любых двух точек M и N фигуры F и сопоставленных им точек M1 и  N1 фигуры F1 выполняется равенство MNM1N1=k, где k — одно и то же положительное число для всех точек. При этом предполагается, что каждая точка фигуры F1 оказывается сопоставленной какой- то точке фигуры F. Число k называется коэффициентом подобия фигур  F и F1.


Рис. 9. Подобие фигур Рис. 9. Подобие фигур

Сопоставление точек подобных фигур хорошо знакомо нам из повседневного опыта. Так, при проектировании киноленты на экран каждой точке изображения на кинокадре сопоставляется точка на экране, причём все расстояния увеличиваются в одинаковое число раз.

 

На рис. 9 представлен способ построения фигуры F1, подобной данной фигуре F. Каждой точке T фигуры F сопоставляется точка P плоскости так, что точки T и P лежат на луче с началом в некоторой фиксированной точке O, причём 
OT=k·OP

 

Рис. 10. Примеры подобных фигур Рис. 10. Примеры подобных фигур

В результате такого сопоставления получается фигура F1, подобная фигуре F. В этом случае фигуры F и F называются  центрально-подобными , а само описанное сопоставление называется  центральным подобием или гомотетией .

 

Подобными являются любые два квадрата или две окружности (рис. 10), а также два прямоугольника, если две смежные стороны одного пропорциональны двум смежным сторонам другого. Примерами подобных фигур произвольной формы являются две географические карты, выполненные в разных масштабах, а также фотографии одного предмета, сделанные в разных увеличениях.

 

Замечание

Мы доказали, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Из этого следует, что такое же утверждение справедливо для двух подобных многоугольников.


Рис. 11. К вопросу 1 Рис. 11. К вопросу 1

Контрольные вопросы

 

1. Объясните с помощью рис. 11 как можно найти ширину реки BM, используя подобие треугольников.

2. Приведите примеры подобных фигур. 

3. Сформулируйте алгоритм построения методом подобия.


Ответы

Упражнение 1

 

1. 1) Углы определяют форму искомой фигуры.

2) Построить по этим углам треугольник, подобный искомому.

3) Используя длину высоты, определяющие размеры искомого треугольника, построить его.

 

2. 1) Углы определяют форму искомой фигуры.

2) Построить по этим углам треугольник, подобный искомому.

3) Используя условия длину биссектрисы меньшего угла, построить искомый треугольник.

 

Упражнение 2

 

1. 12 м.

2. 7 м.

Предыдущий урок
Теорема Пифагора. Прямая теорема Пифагора. Обратная теорема Пифагора
Треугольники
Следующий урок
Признаки подобия треугольников
Треугольники
  • Наследование признаков. Наследственные болезни и их предупреждение

    Биология

  • Решение неравенств с одной переменной

    Алгебра

  • Генетическая связь между классами неорганических соединений

    Химия

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке