Конспект урока: Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Как известно, все прямоугольные треугольники, имеющие по равному острому углу, подобны. Свойство подобия обуславливает не только равенство отношений пропорциональных сторон этих треугольников, но и равенство отношений между катетами и гипотенузой каждого из этих треугольников. Именно эти отношения и будут предметом дальнейшего рассмотрения.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$ (рис. 1).

Рис. 1. К определениям тригонометрических функций угла α

Синусом острого угла $\alpha$ прямоугольного треугольника (обозначается 
$\sin \alpha$) называется отношение противолежащего катета к гипотенузе: $\sin \alpha =\frac{a}{c}$.

 

Косинусом острого угла $\alpha$ прямоугольного треугольника (обозначается $\cos \alpha$) называется отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos \alpha =\frac{b}{c}$.

Тангенсом острого угла $\alpha$ прямоугольного треугольника (обозначается $tg \alpha$) называется отношение противолежащего катета к прилежащему: $tg \alpha =\frac{a}{b}$.

 

Котангенсом острого угла $\alpha$ прямоугольного треугольника (обозначается $ctg \alpha$) называется отношение прилежащего катета к противолежащему: $ctg \alpha =\frac{b}{a}$.

Поскольку $\sin \alpha =\frac{a}{c}$ и $\cos \alpha =\frac{b}{c}$,  тогда $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{a}{c}:\frac{b}{c}=\frac{a·c}{c·b}=\frac{a}{b}=tg \alpha$. 

Таким образом, $tg \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$, т.е. тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла. 

Также $\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha } =\frac{b}{c}:\frac{a}{c}=\frac{b}{a}=ctg \alpha$, т.е. котангенс угла равен отношению косинуса к синусу этого угла. 

При этом $tg \alpha ·ctg \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } ·\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha } =1$, т.е. тангенс и котангенс одного угла - взаимно обратные отношения.

Синус – латинский перевод арабского слова «джайб» - пазуха, вырез платья. Это слово, в свою очередь, происходит от индийского «джива» - тетива лука, хорда. Именно так синус называли в древнеиндийских математических трактатах.

Косинус - от латинского «комплиментари синус» - дополнительный синус.

Тангенс - в переводе с латинского «касательный».

Поскольку катет прямоугольного треугольника меньше гипотенузы, то синус и косинус острого угла меньше единицы.

Рис. 2. К доказательству

Покажем, что значения тригонометрических функций угла зависят только от величины угла.

 

Пусть прямоугольные треугольники $ABC$ и $A_1{B}_1{C}_1$ имеют равные острые углы $A$ и $A_1$ (рис. 2). Эти треугольники подобны, откуда $\frac{AB}{A_1{B}_1}=\frac{BC}{B_1{C}_1}$, или, по основному свойству пропорции, $\frac{BC}{AB}=\frac{B_1{C}_1}{A_1{B}_1}$. Правая и левая части этого равенства по определению равны синусам острых углов $A$ и $A_1$ соответственно. Имеем: 

 

$sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{B_1{C}_1}{A_1{B}_1}=sin A_1$

 

т. е. синус угла $A$ не зависит от выбора треугольника. Аналогичные рассуждения можно провести и для других тригонометрических функций угла. Таким образом, тригонометрические функции острого угла зависят только от величины угла.

 

Имеет место еще один важный факт: если значения некоторой тригонометрической функции для острых углов $A$ и $A_1$ равны, то $\angle A=\angle A_1$. Иначе говоря, каждому значению тригонометрической функции соответствует единственный острый угол.

Решение

Рис. 3. Египетский треугольник

Пусть в треугольнике $ABC$ $\angle C=90°$, $AB=5,$ $BC=3$ и $AC=4$ (рис. 3). Поскольку в треугольнике наименьший угол лежит против меньшей стороны, то угол А - наименьший угол треугольника $ABC$. По определению 

 

$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}=0,6$;

$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}=0,8$;

$tg A=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{4}=0,75$;

$ctg A=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}$.

 

Ответ: 0,6; 0,8; 0,75; $1\frac{1}{3}$.

Решение

Рис. 4. К решению примера 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, $\angle B=90°$, $AC=34 см$, $\cos \alpha =\frac{8}{17}$ (рис. 4).

 

По определению косинуса $\cos \alpha =\frac{AB}{AC}$, $\frac{AB}{34}=\frac{8}{17}$, $AB=\frac{8·34}{17}=16 \left(см\right)$. 

 

По теореме Пифагора $A{B}^2+B{C}^2=A{C}^2$, тогда $BC=\sqrt{{34}^2-{16}^2}=\sqrt{1156-256}=30 \left(см\right)$.

 

Ответ: 16 см и 30 см.

Основное тригонометрическое тождество

Выведем соотношение (тождество), которое выражает зависимость между тригонометрическими функциями одного угла.

Доказательство

По определению синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника (рис. 1) имеем:

$si{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha ={\left(\frac{a}{c}\right)}^2+{\left(\frac{b}{c}\right)}^2=\frac{a^2+b^2}{c^2}$.

По теореме Пифагора $a^2+b^2=c^2$, тогда $si{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$.

Теорема доказана.

Решение

Пусть $\sin \alpha =0,8$. Найдем $\cos \alpha$, $tg \alpha$ и $ctg \alpha$.

По основному тригонометрическому тождеству $si{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$, $cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-0,8^2}=\sqrt{1-0,64}=\sqrt{0,36}=0,6$.

Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла $tg \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } =\frac{0,8}{0,6}=\frac{4}{3}=1 \frac{1}{3}$. Тангенс и котангенс взаимно обратные отношения, следовательно $ctg \alpha =\frac{3}{4}=0,75$.

Ответ: $0,6$; $1 \frac{1}{3}$; $0,75$.

Контрольные вопросы

Рис. 5. К вопросу 1

1. По рис. 5 определите, какая тригонометрическая функция угла  выражается дробью: 

а) $\frac{KN}{KM}$; б) $\frac{MN}{KN}$; в) $\frac{MN}{KM}$.

2. В прямоугольном треугольнике $KMN$ 
(рис. 5) $KN>MN$. Какой из острых углов треугольника имеет больший синус; больший косинус; больший тангенс?

3. Может ли синус острого угла прямоугольного треугольника быть равным $0,99$; $\sqrt{2}$; $\sqrt{5}-2$?

4. Может ли произведение синуса и косинуса одного угла быть равным единице?

5. Может ли тангенс острого угла прямоугольного треугольника быть равным $\sqrt{2}$; $0,01$; $100$?