Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Треугольники

Соотношения между углами и сторонами прямоугольного треугольника. Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника

План урока

  • Определить понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника;
  • Доказать некоторые свойства тригонометрических соотношений прямоугольного треугольника;
  • Доказать основное тригонометрическое тождество;
  • Рассмотреть применение тригонометрических соотношений между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

Цели урока

  • Знать определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника;
  • Уметь применять тригонометрические соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника при решении задач.

Разминка

  • Какие прямоугольные треугольники подобны?
  • Сформулируйте основное свойство пропорции.
  • Сформулируйте теорему Пифагора.

Как известно, все прямоугольные треугольники, имеющие по равному острому углу, подобны. Свойство подобия обуславливает не только равенство отношений пропорциональных сторон этих треугольников, но и равенство отношений между катетами и гипотенузой каждого из этих треугольников. Именно эти отношения и будут предметом дальнейшего рассмотрения.


Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами a и b, гипотенузой c и острым углом α (рис. 1).

Рис. 1. К определениям тригонометрических функций угла α Рис. 1. К определениям тригонометрических функций угла α

Синусом острого угла α прямоугольного треугольника (обозначается 
sin α) называется отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin α=ac.

 

Косинусом  острого угла α прямоугольного треугольника (обозначается cos α) называется отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos α=bc.

Тангенсом острого угла α прямоугольного треугольника (обозначается tg α) называется отношение противолежащего катета к прилежащему: tg α=ab.

 

Котангенсом острого угла α прямоугольного треугольника (обозначается ctg α) называется отношение прилежащего катета к противолежащему: ctg α=ba.


Поскольку sin α=ac и cos α=bc,  тогда sin α cos α=ac:bc=a·cc·b=ab=tg α

 

Таким образом, tg α=sin α cosα, т.е. тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла

 

Также cos αsin α =bc:ac=ba=ctg α, т.е. котангенс угла равен отношению косинуса к синусу этого угла. 

 

При этом tg α·ctg α=sin αcos α ·cos αsin α =1, т.е. тангенс и котангенс одного угла - взаимно обратные отношения.


tg α=sin αcos α ;

ctg α=cos α sin α;

tg α·ctg α=1.


Синус – латинский перевод арабского слова «джайб» - пазуха, вырез платья. Это слово, в свою очередь, происходит от индийского «джива» - тетива лука, хорда. Именно так синус называли в древнеиндийских математических трактатах.

Косинус - от латинского «комплиментари синус» - дополнительный синус.

Тангенс - в переводе с латинского «касательный».


Поскольку катет прямоугольного треугольника меньше гипотенузы, то синус и косинус острого угла меньше единицы .

Рис. 2. К доказательству Рис. 2. К доказательству

Покажем, что значения тригонометрических функций угла зависят только от величины угла.

 

Пусть прямоугольные треугольники ABC и A1B1C1 имеют равные острые углы A и A1 (рис. 2). Эти треугольники подобны, откуда ABA1B1=BCB1C1, или, по основному свойству пропорции, BCAB=B1C1A1B1. Правая и левая части этого равенства по определению равны синусам острых углов A и A1 соответственно. Имеем: 

 

sin A=BCAB=B1C1A1B1=sin A1

 

т. е. синус угла A не зависит от выбора треугольника. Аналогичные рассуждения можно провести и для других тригонометрических функций угла. Таким образом, тригонометрические функции острого угла зависят только от величины угла.

 

Имеет место еще один важный факт: если значения некоторой тригонометрической функции для острых углов A и A1 равны, то A=A1. Иначе говоря, каждому значению тригонометрической функции соответствует единственный острый угол.


Пример 1

 

Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс наименьшего угла «египетского треугольника».


Решение

Рис. 3. Египетский треугольник Рис. 3. Египетский треугольник

Пусть в треугольнике ABC C=90°AB=5BC=3 и AC=4 (рис. 3). Поскольку в треугольнике наименьший угол лежит против меньшей стороны, то угол А - наименьший угол треугольника ABC. По определению 

 

sin A=BCAB=35=0,6;

cos A=ACAB=45=0,8;

tg A=BCAC=34=0,75;

ctg A=ACBC=43=113.

 

Ответ: 0,6; 0,8; 0,75; 113.


Пример 2

 

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 34 см, а косинус одного из углов равен 817. Найдите катеты треугольника.


Решение

Рис. 4. К решению примера 2 Рис. 4. К решению примера 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABCB=90°AC=34 смcos α=817 (рис. 4).

 

По определению косинуса cos α=ABACAB34=817AB=8·3417=16 (см)

 

По теореме Пифагора AB2+BC2=AC2, тогда BC=342-162=1156-256=30 (см).

 

Ответ: 16 см и 30 см.


Упражнение 1

 

1. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 см и 15 см. Вычислите синус, косинус, тангенс и котангенс наименьшего угла треугольника.

2. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна 5 см, а длина основания — 24 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла при основании треугольника.


Основное тригонометрическое тождество

 

Выведем соотношение (тождество), которое выражает зависимость между тригонометрическими функциями одного угла.


Теорема ( основное тригонометрическое тождество )

 

Для любого острого угла α

 

sin2α+cos2α=1


Доказательство

 

По определению синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника (рис. 1) имеем:

 

sin2α+cos2α=ac2+bc2=a2+b2c2.

 

По теореме Пифагора a2+b2=c2, тогда sin2α+cos2α=1.

 

Теорема доказана.


Пример 3

 

Найдите косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника, синус которого равен 0,8.


Решение

 

Пусть sin α=0,8. Найдем cos αtg α и ctg α.

По основному тригонометрическому тождеству sin2α+cos2α=1cos α=1-sin2α=1-0,82=1-0,64=0,36=0,6.

 

Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла tg α=sin αcos α =0,80,6=43=1 13. Тангенс и котангенс взаимно обратные отношения, следовательно ctg α=34=0,75.

 

Ответ: 0,61 130,75.


Упражнение 2

 

1. Определите, могут ли синус и косинус одного угла соответственно быть равными:

а) 12 и 32; б) 13 и 34.

2. Найдите: 

а) sin α, если cos α=1213;

б) cos α, если sin α=12;

в) tg α, если sin α=12;

г) ctg α, если cos α=22.


Контрольные вопросы

Рис. 5. К вопросу 1 Рис. 5. К вопросу 1

1. По рис. 5 определите, какая тригонометрическая функция угла  выражается дробью: 

а) KNKM; б) MNKN; в) MNKM.

2. В прямоугольном треугольнике KMN 
(рис. 5) KN>MN. Какой из острых углов треугольника имеет больший синус; больший косинус; больший тангенс?

3. Может ли синус острого угла прямоугольного треугольника быть равным 0,9925-2?

4. Может ли произведение синуса и косинуса одного угла быть равным единице?

5. Может ли тангенс острого угла прямоугольного треугольника быть равным 20,01100?


Ответы

Упражнение 1

 

1. sin α=817cos α=1517tg α=815ctg α=1 78.

 

2. sin α=513cos α=1213tg α=512ctg α=2,4.

 

Упражнение 2

 

1. а) да; б) нет.

2. а)  sin α=513; б) cos α=32; в) tg α=33; г) ctg α=1.

Предыдущий урок
Пропорциональные отрезки. Определение подобных треугольников. Отношение площадей подобных треугольников
Треугольники
Следующий урок
Средняя линия треугольника
Треугольники
  • Многоугольники. Выпуклый многоугольник. Четырёхугольник

    Геометрия

  • Науки, изучающие организм человека. Систематическое положение человека

    Биология

  • Сон и бодрствование. Значение сна. Особенности психики человека. Мышление. Память и обучение

    Биология

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке