- Определить понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника;
- Доказать некоторые свойства тригонометрических соотношений прямоугольного треугольника;
- Доказать основное тригонометрическое тождество;
- Рассмотреть применение тригонометрических соотношений между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
- Знать определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника;
- Уметь применять тригонометрические соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника при решении задач.
- Какие прямоугольные треугольники подобны?
- Сформулируйте основное свойство пропорции.
- Сформулируйте теорему Пифагора.
Как известно, все прямоугольные треугольники, имеющие по равному острому углу, подобны. Свойство подобия обуславливает не только равенство отношений пропорциональных сторон этих треугольников, но и равенство отношений между катетами и гипотенузой каждого из этих треугольников. Именно эти отношения и будут предметом дальнейшего рассмотрения.
Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами и , гипотенузой и острым углом (рис. 1).

Синусом
острого угла прямоугольного треугольника (обозначается
) называется отношение противолежащего катета к гипотенузе: .
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника (обозначается ) называется отношение прилежащего катета к гипотенузе: .
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника (обозначается ) называется отношение противолежащего катета к прилежащему: .
Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника (обозначается ) называется отношение прилежащего катета к противолежащему: .
Поскольку и , тогда .
Таким образом, , т.е. тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.
Также , т.е. котангенс угла равен отношению косинуса к синусу этого угла.
При этом , т.е. тангенс и котангенс одного угла - взаимно обратные отношения.
;
;
.
Синус – латинский перевод арабского слова «джайб» - пазуха, вырез платья. Это слово, в свою очередь, происходит от индийского «джива» - тетива лука, хорда. Именно так синус называли в древнеиндийских математических трактатах.
Косинус - от латинского «комплиментари синус» - дополнительный синус.
Тангенс - в переводе с латинского «касательный».
Поскольку катет прямоугольного треугольника меньше гипотенузы, то синус и косинус острого угла меньше единицы .

Покажем, что значения тригонометрических функций угла зависят только от величины угла.
Пусть прямоугольные треугольники и имеют равные острые углы и (рис. 2). Эти треугольники подобны, откуда , или, по основному свойству пропорции, . Правая и левая части этого равенства по определению равны синусам острых углов и соответственно. Имеем:
т. е. синус угла не зависит от выбора треугольника. Аналогичные рассуждения можно провести и для других тригонометрических функций угла. Таким образом, тригонометрические функции острого угла зависят только от величины угла.
Имеет место еще один важный факт: если значения некоторой тригонометрической функции для острых углов и равны, то . Иначе говоря, каждому значению тригонометрической функции соответствует единственный острый угол.
Пример 1
Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс наименьшего угла «египетского треугольника».
Решение

Пусть в треугольнике , и (рис. 3). Поскольку в треугольнике наименьший угол лежит против меньшей стороны, то угол А - наименьший угол треугольника . По определению
;
;
;
.
Ответ: 0,6; 0,8; 0,75; .
Пример 2
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 34 см, а косинус одного из углов равен . Найдите катеты треугольника.
Решение

Рассмотрим прямоугольный треугольник , , , (рис. 4).
По определению косинуса , , .
По теореме Пифагора , тогда .
Ответ: 16 см и 30 см.
Упражнение 1
1. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 см и 15 см. Вычислите синус, косинус, тангенс и котангенс наименьшего угла треугольника.
2. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна 5 см, а длина основания — 24 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла при основании треугольника.
Основное тригонометрическое тождество
Выведем соотношение (тождество), которое выражает зависимость между тригонометрическими функциями одного угла.
Теорема ( основное тригонометрическое тождество )
Для любого острого угла
Доказательство
По определению синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника (рис. 1) имеем:
.
По теореме Пифагора , тогда .
Теорема доказана.
Пример 3
Найдите косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника, синус которого равен 0,8.
Решение
Пусть . Найдем , и .
По основному тригонометрическому тождеству , .
Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла . Тангенс и котангенс взаимно обратные отношения, следовательно .
Ответ: ; ; .
Упражнение 2
1. Определите, могут ли синус и косинус одного угла соответственно быть равными:
а) и ; б) и .
2. Найдите:
а) , если ;
б) , если ;
в) , если ;
г) , если .
Контрольные вопросы

1. По рис. 5 определите, какая тригонометрическая функция угла выражается дробью:
а) ; б) ; в) .
2. В прямоугольном треугольнике
(рис. 5) . Какой из острых углов треугольника имеет больший синус; больший косинус; больший тангенс?
3. Может ли синус острого угла прямоугольного треугольника быть равным ; ; ?
4. Может ли произведение синуса и косинуса одного угла быть равным единице?
5. Может ли тангенс острого угла прямоугольного треугольника быть равным ; ; ?
Упражнение 1
1. , , , .
2. , , , .
Упражнение 2
1. а) да; б) нет.
2. а) ; б) ; в) ; г) .