Конспект урока: Четыре замечательные точки треугольника

Соотношения между углами и сторонами прямоугольного треугольника. Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника

План урока

Определить понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника;
Доказать некоторые свойства тригонометрических соотношений прямоугольного треугольника;
Доказать основное тригонометрическое тождество;
Рассмотреть применение тригонометрических соотношений между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

Цели урока

Знать определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника;
Уметь применять тригонометрические соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника при решении задач.

Разминка

Какие прямоугольные треугольники подобны?
Сформулируйте основное свойство пропорции.
Сформулируйте теорему Пифагора.

Как известно, все прямоугольные треугольники, имеющие по равному острому углу, подобны. Свойство подобия обуславливает не только равенство отношений пропорциональных сторон этих треугольников, но и равенство отношений между катетами и гипотенузой каждого из этих треугольников. Именно эти отношения и будут предметом дальнейшего рассмотрения.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ , гипотенузой $c$ и острым углом $α$ (рис. 1).

Рис. 1. К определениям тригонометрических функций угла α

Синусом острого угла $α$ прямоугольного треугольника (обозначается
$\sin α$ ) называется отношение противолежащего катета к гипотенузе: $\sin α = \frac{a}{c}$ .

Косинусом острого угла $α$ прямоугольного треугольника (обозначается $\cos α$ ) называется отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos α = \frac{b}{c}$ .

Тангенсом острого угла $α$ прямоугольного треугольника (обозначается $t g α$ ) называется отношение противолежащего катета к прилежащему: $t g α = \frac{a}{b}$ .

Котангенсом острого угла $α$ прямоугольного треугольника (обозначается $c t g α$ ) называется отношение прилежащего катета к противолежащему: $c t g α = \frac{b}{a}$ .

Поскольку $\sin α = \frac{a}{c}$ и $\cos α = \frac{b}{c}$ , тогда $\frac{\sin α}{\cos α} = \frac{a}{c} : \frac{b}{c} = \frac{a \cdot c}{c \cdot b} = \frac{a}{b} = t g α$ .

Таким образом, $t g α = \frac{\sin α}{\cos α}$ , т.е. тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.

Также $\frac{\cos α}{\sin α} = \frac{b}{c} : \frac{a}{c} = \frac{b}{a} = c t g α$ , т.е. котангенс угла равен отношению косинуса к синусу этого угла.

При этом $t g α \cdot c t g α = \frac{\sin α}{\cos α} \cdot \frac{\cos α}{\sin α} = 1$ , т.е. тангенс и котангенс одного угла - взаимно обратные отношения.

$t g α = \frac{\sin α}{\cos α}$ ;

$c t g α = \frac{\cos α}{\sin α}$ ;

$t g α \cdot c t g α = 1$ .

Синус – латинский перевод арабского слова «джайб» - пазуха, вырез платья. Это слово, в свою очередь, происходит от индийского «джива» - тетива лука, хорда. Именно так синус называли в древнеиндийских математических трактатах.

Косинус - от латинского «комплиментари синус» - дополнительный синус.

Тангенс - в переводе с латинского «касательный».

Поскольку катет прямоугольного треугольника меньше гипотенузы, то синус и косинус острого угла меньше единицы.

Рис. 2. К доказательству

Покажем, что значения тригонометрических функций угла зависят только от величины угла.

Пусть прямоугольные треугольники $A B C$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ имеют равные острые углы $A$ и $A_{1}$ (рис. 2). Эти треугольники подобны, откуда $\frac{A B}{A_{1} B_{1}} = \frac{B C}{B_{1} C_{1}}$ , или, по основному свойству пропорции, $\frac{B C}{A B} = \frac{B_{1} C_{1}}{A_{1} B_{1}}$ . Правая и левая части этого равенства по определению равны синусам острых углов $A$ и $A_{1}$ соответственно. Имеем:

$s i n A = \frac{B C}{A B} = \frac{B_{1} C_{1}}{A_{1} B_{1}} = s i n A_{1}$

т. е. синус угла $A$ не зависит от выбора треугольника. Аналогичные рассуждения можно провести и для других тригонометрических функций угла. Таким образом, тригонометрические функции острого угла зависят только от величины угла.

Имеет место еще один важный факт: если значения некоторой тригонометрической функции для острых углов $A$ и $A_{1}$ равны, то $∠ A = ∠ A_{1}$ . Иначе говоря, каждому значению тригонометрической функции соответствует единственный острый угол.

Пример 1

Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс наименьшего угла «египетского треугольника».

Решение

Рис. 3. Египетский треугольник

Пусть в треугольнике $A B C$ $∠ C = 90 °$ , $A B = 5,$ $B C = 3$ и $A C = 4$ (рис. 3). Поскольку в треугольнике наименьший угол лежит против меньшей стороны, то угол А - наименьший угол треугольника $A B C$ . По определению

$\sin A = \frac{B C}{A B} = \frac{3}{5} = 0, 6$ ;

$\cos A = \frac{A C}{A B} = \frac{4}{5} = 0, 8$ ;

$t g A = \frac{B C}{A C} = \frac{3}{4} = 0, 75$ ;

$c t g A = \frac{A C}{B C} = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}$ .

Ответ: 0,6; 0,8; 0,75; $1 \frac{1}{3}$ .

Пример 2

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 34 см, а косинус одного из углов равен $\frac{8}{17}$ . Найдите катеты треугольника.

Решение

Рис. 4. К решению примера 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A B C$ , $∠ B = 90 °$ , $A C = 34 с м$ , $\cos α = \frac{8}{17}$ (рис. 4).

По определению косинуса $\cos α = \frac{A B}{A C}$ , $\frac{A B}{34} = \frac{8}{17}$ , $A B = \frac{8 \cdot 34}{17} = 16 (с м)$ .

По теореме Пифагора $A B^{2} + B C^{2} = A C^{2}$ , тогда $B C = \sqrt{34^{2} - 16^{2}} = \sqrt{1156 - 256} = 30 (с м)$ .

Ответ: 16 см и 30 см.

Упражнение 1

1. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 см и 15 см. Вычислите синус, косинус, тангенс и котангенс наименьшего угла треугольника.

2. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна 5 см, а длина основания — 24 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла при основании треугольника.

Основное тригонометрическое тождество

Выведем соотношение (тождество), которое выражает зависимость между тригонометрическими функциями одного угла.

Теорема (основное тригонометрическое тождество)

Для любого острого угла $α$

$s i n^{2} α + c o s^{2} α = 1$

Доказательство

По определению синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника (рис. 1) имеем:

$s i n^{2} α + c o s^{2} α = {(\frac{a}{c})}^{2} + {(\frac{b}{c})}^{2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ .

По теореме Пифагора $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , тогда $s i n^{2} α + c o s^{2} α = 1$ .

Теорема доказана.

Пример 3

Найдите косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника, синус которого равен 0,8.

Решение

Пусть $\sin α = 0, 8$ . Найдем $\cos α$ , $t g α$ и $c t g α$ .

По основному тригонометрическому тождеству $s i n^{2} α + c o s^{2} α = 1$ , $c o s α = \sqrt{1 - \sin^{2} α} = \sqrt{1 - 0, 8^{2}} = \sqrt{1 - 0, 64} = \sqrt{0, 36} = 0, 6$ .

Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла $t g α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{0, 8}{0, 6} = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}$ . Тангенс и котангенс взаимно обратные отношения, следовательно $c t g α = \frac{3}{4} = 0, 75$ .

Ответ: $0, 6$ ; $1 \frac{1}{3}$ ; $0, 75$ .

Упражнение 2

1. Определите, могут ли синус и косинус одного угла соответственно быть равными:

а) $\frac{1}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; б) $\frac{1}{3}$ и $\frac{3}{4}$ .

2. Найдите:

а) $\sin α$ , если $\cos α = \frac{12}{13}$ ;

б) $\cos α$ , если $\sin α = \frac{1}{2}$ ;

в) $t g α$ , если $\sin α = \frac{1}{2}$ ;

г) $c t g α$ , если $\cos α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Контрольные вопросы

Рис. 5. К вопросу 1

1. По рис. 5 определите, какая тригонометрическая функция угла выражается дробью:

а) $\frac{K N}{K M}$ ; б) $\frac{M N}{K N}$ ; в) $\frac{M N}{K M}$ .

2. В прямоугольном треугольнике $K M N$
(рис. 5) $K N > M N$ . Какой из острых углов треугольника имеет больший синус; больший косинус; больший тангенс?

3. Может ли синус острого угла прямоугольного треугольника быть равным $0, 99$ ; $\sqrt{2}$ ; $\sqrt{5} - 2$ ?

4. Может ли произведение синуса и косинуса одного угла быть равным единице?

5. Может ли тангенс острого угла прямоугольного треугольника быть равным $\sqrt{2}$ ; $0, 01$ ; $100$ ?

Ответы

Упражнение 1

1. $\sin α = \frac{8}{17}$ , $\cos α = \frac{15}{17}$ , $t g α = \frac{8}{15}$ , $c t g α = 1 \frac{7}{8}$ .

2. $\sin α = \frac{5}{13}$ , $\cos α = \frac{12}{13}$ , $t g α = \frac{5}{12}$ , $c t g α = 2, 4$ .

Упражнение 2

1. а) да; б) нет.

2. а) $\sin α = \frac{5}{13}$ ; б) $\cos α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ; в) $t g α = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ; г) $c t g α = 1$ .

План урока

Определить понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника;
Доказать некоторые свойства тригонометрических соотношений прямоугольного треугольника;
Доказать основное тригонометрическое тождество;
Рассмотреть применение тригонометрических соотношений между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

Цели урока

Знать определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника;
Уметь применять тригонометрические соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника при решении задач.

Разминка

Какие прямоугольные треугольники подобны?
Сформулируйте основное свойство пропорции.
Сформулируйте теорему Пифагора.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ , гипотенузой $c$ и острым углом $α$ (рис. 1).

Рис. 1. К определениям тригонометрических функций угла α

Поскольку $\sin α = \frac{a}{c}$ и $\cos α = \frac{b}{c}$ , тогда $\frac{\sin α}{\cos α} = \frac{a}{c} : \frac{b}{c} = \frac{a \cdot c}{c \cdot b} = \frac{a}{b} = t g α$ .

Таким образом, $t g α = \frac{\sin α}{\cos α}$ , т.е. тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.

$t g α = \frac{\sin α}{\cos α}$ ;

$c t g α = \frac{\cos α}{\sin α}$ ;

$t g α \cdot c t g α = 1$ .

Косинус - от латинского «комплиментари синус» - дополнительный синус.

Тангенс - в переводе с латинского «касательный».

Рис. 2. К доказательству

Покажем, что значения тригонометрических функций угла зависят только от величины угла.

$s i n A = \frac{B C}{A B} = \frac{B_{1} C_{1}}{A_{1} B_{1}} = s i n A_{1}$

Пример 1

Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс наименьшего угла «египетского треугольника».

Решение

Рис. 3. Египетский треугольник

$\sin A = \frac{B C}{A B} = \frac{3}{5} = 0, 6$ ;

$\cos A = \frac{A C}{A B} = \frac{4}{5} = 0, 8$ ;

$t g A = \frac{B C}{A C} = \frac{3}{4} = 0, 75$ ;

$c t g A = \frac{A C}{B C} = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}$ .

Ответ: 0,6; 0,8; 0,75; $1 \frac{1}{3}$ .

Пример 2

Решение

Рис. 4. К решению примера 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A B C$ , $∠ B = 90 °$ , $A C = 34 с м$ , $\cos α = \frac{8}{17}$ (рис. 4).

По определению косинуса $\cos α = \frac{A B}{A C}$ , $\frac{A B}{34} = \frac{8}{17}$ , $A B = \frac{8 \cdot 34}{17} = 16 (с м)$ .

По теореме Пифагора $A B^{2} + B C^{2} = A C^{2}$ , тогда $B C = \sqrt{34^{2} - 16^{2}} = \sqrt{1156 - 256} = 30 (с м)$ .

Ответ: 16 см и 30 см.

Упражнение 1

Основное тригонометрическое тождество

Теорема (основное тригонометрическое тождество)

Для любого острого угла $α$

$s i n^{2} α + c o s^{2} α = 1$

Доказательство

По определению синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника (рис. 1) имеем:

$s i n^{2} α + c o s^{2} α = {(\frac{a}{c})}^{2} + {(\frac{b}{c})}^{2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ .

По теореме Пифагора $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , тогда $s i n^{2} α + c o s^{2} α = 1$ .

Теорема доказана.

Пример 3

Найдите косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника, синус которого равен 0,8.

Решение

Пусть $\sin α = 0, 8$ . Найдем $\cos α$ , $t g α$ и $c t g α$ .

Ответ: $0, 6$ ; $1 \frac{1}{3}$ ; $0, 75$ .

Упражнение 2

1. Определите, могут ли синус и косинус одного угла соответственно быть равными:

а) $\frac{1}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; б) $\frac{1}{3}$ и $\frac{3}{4}$ .

2. Найдите:

а) $\sin α$ , если $\cos α = \frac{12}{13}$ ;

б) $\cos α$ , если $\sin α = \frac{1}{2}$ ;

в) $t g α$ , если $\sin α = \frac{1}{2}$ ;

г) $c t g α$ , если $\cos α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Контрольные вопросы

Рис. 5. К вопросу 1

1. По рис. 5 определите, какая тригонометрическая функция угла выражается дробью:

а) $\frac{K N}{K M}$ ; б) $\frac{M N}{K N}$ ; в) $\frac{M N}{K M}$ .

3. Может ли синус острого угла прямоугольного треугольника быть равным $0, 99$ ; $\sqrt{2}$ ; $\sqrt{5} - 2$ ?

4. Может ли произведение синуса и косинуса одного угла быть равным единице?

5. Может ли тангенс острого угла прямоугольного треугольника быть равным $\sqrt{2}$ ; $0, 01$ ; $100$ ?

Ответы

Упражнение 1

1. $\sin α = \frac{8}{17}$ , $\cos α = \frac{15}{17}$ , $t g α = \frac{8}{15}$ , $c t g α = 1 \frac{7}{8}$ .

2. $\sin α = \frac{5}{13}$ , $\cos α = \frac{12}{13}$ , $t g α = \frac{5}{12}$ , $c t g α = 2, 4$ .

Упражнение 2

1. а) да; б) нет.

2. а) $\sin α = \frac{5}{13}$ ; б) $\cos α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ; в) $t g α = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ; г) $c t g α = 1$ .

Конспект урока: Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Треугольники

Основное тригонометрическое тождество

Основное тригонометрическое тождество