- Средняя линия треугольника
- Свойство медиан треугольника
- Применение определения и свойства средней линии треугольника для решения задач
- Знать определение и свойство средней линии треугольника, свойство медиан треугольника
- Уметь применять определение и свойство средней линии треугольника при решении задач
- Какие треугольники называются подобными?
- Что называют коэффициентом подобия?
- Как доказать подобие треугольников?
- Чему равно отношение площадей подобных треугольников?
Средняя линия треугольника
Определение
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Теорема ( свойство средней линии треугольника )
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Доказательство
Рассмотрим треугольник , — его средняя линия (рис. 1).
По определению средней линии треугольника , , тогда треугольники и подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними ( — общий, ).
Тогда , а они соответственные при пересечении прямых и секущей , следовательно .
Поскольку коэффициент подобия треугольников равен , то или .
Теорема доказана.
В любом треугольнике можно провести три средних линии, которые делят треугольник на четыре равных треугольника, подобных исходному (докажите самостоятельно).
Пример 1
Периметр треугольника равен см. Стороны треугольника, образованного средними линиями данного треугольника, относятся как . Найдите стороны данного треугольника.
Решение
Рассмотрим , см, , , — средние линии треугольника, (рис. 2).
Треугольники и подобны по трем пропорциональным сторонам, т. к. , , по свойству средней линии треугольника. Следовательно отношение сторон треугольника такое же, как в треугольнике т.е. .
Пусть — одна часть, тогда , , . Периметр треугольника равен сумме длин сторон, тогда:
,
,
.
(см) — ,
(см) — ,
(см) — .
Ответ: см, см, см.
Упражнение 1
- Стороны треугольника равны см, см и см. Найдите стороны треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.
- Средняя линия треугольника отсекает от него трапецию с боковыми сторонами м и м и меньшим основанием м. Найдите периметр треугольника.
- Прямая, параллельная основанию равнобедренного треугольника и проходящая через середину боковой стороны, отсекает от данного треугольника трапецию. Найдите ее периметр, если периметр данного треугольника равен см, а основание относится к боковой стороне как .
Пример 2
Докажите, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма ( теорема Вариньона ).
Решение
Рассмотрим четырехугольник , , , , — середины сторон данного четырехугольника. Докажем, что — параллелограмм (рис. 3).
В треугольнике : — средняя линия, значит, , . В треугольнике : — средняя линия, значит, , .
Получили, что в четырехугольнике противоположные стороны и , следовательно — параллелограмм, что и требовалось доказать.
Докажите теорему Вариньона для невыпуклого четырехугольника самостоятельно.
Теорема ( свойство медиан треугольника )
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении , считая от вершины.
Доказательство
Рассмотрим треугольник , , , — медианы треугольника, медианы и пересекаются в точке (рис. 4).
Так как — середина , — середина ,
то — средняя линия треугольника , по свойству средней линии треугольника , , тогда накрест лежащие углы при параллельных прямых равны: , .
Треугольники и подобны по двум углам, следовательно:
.
Таким образом, точка пересечения медиан и делит их в отношении считая от вершины.
Аналогично доказываем, что точка пересечения медиан и делит каждую из них в отношении , считая от вершины, значит совпадает с точкой .
Все три медианы пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении , считая от вершины, что и требовалось доказать.
Контрольные вопросы
- Отрезок — средняя линия треугольника (см. рис. 1).
а) определите вид четырехугольника .
б) назовите медиану треугольника, проведенную из вершины . - Может ли средняя линия треугольника быть перпендикулярной его стороне; двум его сторонам?
- Могут ли средние линии треугольника быть равными см, см и
см? Почему? - В треугольнике проведена средняя линия , параллельная стороне . В каком отношении прямая делит медиану ; высоту ?
Упражнение 1
1. см, см, см
2. м
3. см.