Конспект урока: Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60 градусов

Рис. 1. К вычислению тригонометрических функций угла 30°

Вычислим значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса углов 30° и 60°. Для этого в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a$ проведем высоту $BD$, которая является также биссектрисой и медианой (рис. 1). В треугольнике $ABD$, 

$\angle D=90°$, $\angle B=30°$, $\angle A=60°$, $AB=a$, $AD=\frac{a}{2}$,

и по теореме Пифагора $BD=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Имеем:

$\sin 30°=\frac{AD}{AB}=\frac{a}{2}:a=\frac{1}{2}$; $\cos 30°=\frac{BD}{AB}=\frac{a\sqrt{3}}{2}:a=\frac{\sqrt{3}}{2}$; 

Рис. 2. К вычислению тригонометрических функций угла 45°

Для вычисления значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса угла 45° рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник  с катетами $AC=BC=a$
(рис. 2). По теореме Пифагора $AB=a\sqrt{2}$. Имеем:

$\sin 45°=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$;

$\cos 45°=\frac{AC}{AB}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$;

$tg 45°=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{a}=1$; $ctg 45°=\frac{AC}{BC}=\frac{a}{a}=1$.

Рис. 3. К решению примера 2

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$, $AC=18 см$, $\angle ABC=120°$ (рис. 3). Проведем высоту $BD$.

Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой, поэтому $AD=DC=9 см$, $\angle ABD=\angle CBD=60°$.

В прямоугольном треугольнике $ABD$ по определению $\sin ABD=\frac{AD}{AB}$, $AB=\frac{AD}{\sin ABD}=\frac{AD}{\sin 60°} =9:\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3} \left(см\right)$.

Ответ: $6\sqrt{3}$ см.