Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60 градусов

Треугольники

23.07.2024
2156
0

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов 30°, 45° и 60°

План урока

  • Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов в 30°, 45° и 60°.

Цели урока

  • Знать значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов в 30°, 45° и 60°;
  • Уметь применять значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов в 30°, 45° и 60° при решении задач.

Разминка

  • Определение синуса, косинуса, тангенса, котангенса острого угла прямоугольного треугольника;
  • Основное тригонометрическое тождество;
  • Теорема Пифагора.

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов в 30°, 45° и 60°

Рис. 1. К вычислению тригонометрических функций угла 30°

Вычислим значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса углов 30° и 60°. Для этого в равностороннем треугольнике ABC со стороной a проведем высоту BD, которая является также биссектрисой и медианой (рис. 1). В треугольнике ABD

 

D=90°B=30°A=60°AB=aAD=a2,

 

и по теореме Пифагора BD=a32. Имеем:

 

sin 30°=ADAB=a2:a=12 cos 30°=BDAB=a32:a=32

tg 30°=ADBD=a2:a32=13=33ctg 30°=BDAD=a32:a2=3.

sin 60°=BDAB=a32:a=32 cos 60°=ADAB=a2:a=12 ;

tg 60°=BDAD=a32:a2=3ctg 60°=ADBD=a2:a32=13=33.

 

Рис. 2. К вычислению тригонометрических функций угла 45°

Для вычисления значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса угла 45° рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник  с катетами AC=BC=a 
(рис. 2). По теореме Пифагора AB=a2. Имеем:

 

sin 45°=BCAB=aa2=12=22;

cos 45°=ACAB=aa2=22;

tg 45°=BCAC=aa=1ctg  45°=ACBC=aa=1.


Представим значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса углов 30°, 45°, 60° в виде таблицы

 

α

30°

45°

60°

sin α

12

22

32

cos α

32

22

12

tg α

33

1

3

ctg α

3

1

33


Пример 1

 

Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если его основание равно 18 см, а угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120°.


Решение

Рис. 3. К решению примера 2

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABCAC=18 смABC=120° (рис. 3). Проведем высоту BD.

 

Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой, поэтому AD=DC=9 смABD=CBD=60°.

 

В прямоугольном треугольнике ABD по определению sin ABD=ADABAB=ADsin ABD=ADsin 60° =9:32=63  см.

 

Ответ: 63 см.


Упражнение

 

Синус угла при основании равнобедренного треугольника равен 817, а высота, проведенная к основанию — 16 см. Найдите основание треугольника.


Контрольные вопросы

 

1. В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AB sin B=a. Чему равен косинус угла A?

2. Могут ли синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника быть равными? В каком случае?

Рис. 4. К вопросам 5 и 6

3. Углы α и β — острые углы прямоугольного треугольника. Найдите произведение tg α·tg β.

4. В прямоугольном треугольнике KMN (рис. 4) известны катет MN и угол K. Выразите через них второй катет и гипотенузу треугольника. 

5. Пользуясь рис. 4, определите, какие из данных утверждений верны:

а)  KN=MN sin α;             

б)  MK=KN·sin α;

в)  KN=MN·tg α;     

г) MN=KMctg α.


Ответы

60 см

Предыдущий урок
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Треугольники
Следующий урок
Средняя линия треугольника
Треугольники
Урок подготовил(а)
teacher
Валерия Александровна
Учитель математики
Опыт работы: более 20 лет
Поделиться:
  • The environment. Окружающая среда

    Английский язык

  • Ковалентная химическая связь

    Химия

  • Второстепенные члены предложения. Дополнение

    Русский язык

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке