Цифровая библиотека

Интернет-библиотека по школьным предметам от «Онлайн-школы». Библиотека поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

Например: формулы сокращенного умножения

Выбери класс

Выбери все классы

Все предметы
8 класс
Геометрия
Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60 градусов

Геометрия 8 класс Геометрия 8 класс

Конспект урока: Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60 градусов

Треугольники

10.05.2025

2796

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов 30°, 45° и 60°

План урока

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов в 30°, 45° и 60°.

Цели урока

Знать значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов в 30°, 45° и 60°;
Уметь применять значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов в 30°, 45° и 60° при решении задач.

Разминка

Определение синуса, косинуса, тангенса, котангенса острого угла прямоугольного треугольника;
Основное тригонометрическое тождество;
Теорема Пифагора.

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов в 30°, 45° и 60°

Рис. 1. К вычислению тригонометрических функций угла 30°

Вычислим значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса углов 30° и 60°. Для этого в равностороннем треугольнике $A B C$ со стороной $a$ проведем высоту $B D$ , которая является также биссектрисой и медианой (рис. 1). В треугольнике $A B D$ ,

$∠ D = 90 °$ , $∠ B = 30 °$ , $∠ A = 60 °$ , $A B = a$ , $A D = \frac{a}{2}$ ,

и по теореме Пифагора $B D = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ . Имеем:

$\sin 30 ° = \frac{A D}{A B} = \frac{a}{2} : a = \frac{1}{2}$ ; $\cos 30 ° = \frac{B D}{A B} = \frac{a \sqrt{3}}{2} : a = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

$t g 30 ° = \frac{A D}{B D} = \frac{a}{2} : \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ; $c t g 30 ° = \frac{B D}{A D} = \frac{a \sqrt{3}}{2} : \frac{a}{2} = \sqrt{3}$ .

$\sin 60 ° = \frac{B D}{A B} = \frac{a \sqrt{3}}{2} : a = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ; $\cos 60 ° = \frac{A D}{A B} = \frac{a}{2} : a = \frac{1}{2}$ ;

$t g 60 ° = \frac{B D}{A D} = \frac{a \sqrt{3}}{2} : \frac{a}{2} = \sqrt{3}$ ; $c t g 60 ° = \frac{A D}{B D} = \frac{a}{2} : \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Рис. 2. К вычислению тригонометрических функций угла 45°

Для вычисления значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса угла 45° рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами $A C = B C = a$
(рис. 2). По теореме Пифагора $A B = a \sqrt{2}$ . Имеем:

$\sin 45 ° = \frac{B C}{A B} = \frac{a}{a \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

$\cos 45 ° = \frac{A C}{A B} = \frac{a}{a \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

$t g 45 ° = \frac{B C}{A C} = \frac{a}{a} = 1$ ; $c t g 45 ° = \frac{A C}{B C} = \frac{a}{a} = 1$ .

Представим значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса углов 30°, 45°, 60° в виде таблицы

$α$	30°	45°	60°
$\sin α$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos α$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$t g α$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$
$c t g α$	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Пример 1

Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если его основание равно 18 см, а угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120°.

Решение

Рис. 3. К решению примера 2

Рассмотрим равнобедренный треугольник $A B C$ , $A C = 18 с м$ , $∠ A B C = 120 °$ (рис. 3). Проведем высоту $B D$ .

Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой, поэтому $A D = D C = 9 с м$ , $∠ A B D = ∠ C B D = 60 °$ .

В прямоугольном треугольнике $A B D$ по определению $\sin A B D = \frac{A D}{A B}$ , $A B = \frac{A D}{\sin A B D} = \frac{A D}{\sin 60 °} = 9 : \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3} (с м)$ .

Ответ: $6 \sqrt{3}$ см.

Упражнение

Синус угла при основании равнобедренного треугольника равен $\frac{8}{17}$ , а высота, проведенная к основанию — 16 см. Найдите основание треугольника.

Контрольные вопросы

1. В прямоугольном треугольнике $A B C$ с гипотенузой $A B$ $\sin B = a$ . Чему равен косинус угла $A$ ?

2. Могут ли синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника быть равными? В каком случае?

Рис. 4. К вопросам 5 и 6

3. Углы $α$ и $β$ — острые углы прямоугольного треугольника. Найдите произведение $t g α \cdot t g β$ .

4. В прямоугольном треугольнике $K M N$ (рис. 4) известны катет $M N$ и угол $K$ . Выразите через них второй катет и гипотенузу треугольника.

5. Пользуясь рис. 4, определите, какие из данных утверждений верны:

а) $K N = \frac{M N}{\sin α}$ ;

б) $M K = K N \cdot \sin α$ ;

в) $K N = M N \cdot t g α$ ;

г) $M N = \frac{K M}{c t g α}$ .

Ответы

60 см

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов 30°, 45° и 60°

План урока

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов в 30°, 45° и 60°.

Цели урока

Знать значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов в 30°, 45° и 60°;
Уметь применять значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов в 30°, 45° и 60° при решении задач.

Разминка

Определение синуса, косинуса, тангенса, котангенса острого угла прямоугольного треугольника;
Основное тригонометрическое тождество;
Теорема Пифагора.

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов в 30°, 45° и 60°

Рис. 1. К вычислению тригонометрических функций угла 30°

$∠ D = 90 °$ , $∠ B = 30 °$ , $∠ A = 60 °$ , $A B = a$ , $A D = \frac{a}{2}$ ,

и по теореме Пифагора $B D = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ . Имеем:

$\sin 30 ° = \frac{A D}{A B} = \frac{a}{2} : a = \frac{1}{2}$ ; $\cos 30 ° = \frac{B D}{A B} = \frac{a \sqrt{3}}{2} : a = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

$t g 30 ° = \frac{A D}{B D} = \frac{a}{2} : \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ; $c t g 30 ° = \frac{B D}{A D} = \frac{a \sqrt{3}}{2} : \frac{a}{2} = \sqrt{3}$ .

$\sin 60 ° = \frac{B D}{A B} = \frac{a \sqrt{3}}{2} : a = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ; $\cos 60 ° = \frac{A D}{A B} = \frac{a}{2} : a = \frac{1}{2}$ ;

$t g 60 ° = \frac{B D}{A D} = \frac{a \sqrt{3}}{2} : \frac{a}{2} = \sqrt{3}$ ; $c t g 60 ° = \frac{A D}{B D} = \frac{a}{2} : \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Рис. 2. К вычислению тригонометрических функций угла 45°

$\sin 45 ° = \frac{B C}{A B} = \frac{a}{a \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

$\cos 45 ° = \frac{A C}{A B} = \frac{a}{a \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

$t g 45 ° = \frac{B C}{A C} = \frac{a}{a} = 1$ ; $c t g 45 ° = \frac{A C}{B C} = \frac{a}{a} = 1$ .

Представим значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса углов 30°, 45°, 60° в виде таблицы

$α$	30°	45°	60°
$\sin α$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos α$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$t g α$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$
$c t g α$	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Пример 1

Решение

Рис. 3. К решению примера 2

Рассмотрим равнобедренный треугольник $A B C$ , $A C = 18 с м$ , $∠ A B C = 120 °$ (рис. 3). Проведем высоту $B D$ .

Ответ: $6 \sqrt{3}$ см.

Упражнение

Контрольные вопросы

1. В прямоугольном треугольнике $A B C$ с гипотенузой $A B$ $\sin B = a$ . Чему равен косинус угла $A$ ?

2. Могут ли синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника быть равными? В каком случае?

Рис. 4. К вопросам 5 и 6

3. Углы $α$ и $β$ — острые углы прямоугольного треугольника. Найдите произведение $t g α \cdot t g β$ .

5. Пользуясь рис. 4, определите, какие из данных утверждений верны:

а) $K N = \frac{M N}{\sin α}$ ;

б) $M K = K N \cdot \sin α$ ;

в) $K N = M N \cdot t g α$ ;

г) $M N = \frac{K M}{c t g α}$ .

Ответы

60 см

Предыдущий урок

Четыре замечательные точки треугольника

Треугольники

Следующий урок

Теорема Пифагора. Прямая теорема Пифагора. Обратная теорема Пифагора

Треугольники

Урок подготовил(а)

Валерия Александровна

Учитель математики

Опыт работы: более 20 лет

Вода, её свойства. Три состояния воды. Круговорот воды в природе. Значение воды для живых организмов. Источники загрязнения воды. Охрана воды.

Окружающий мир
To be going to - планы на будущее. There is / there are

Английский язык
Постоянный электрический ток. Электрический ток. Условия его возникновения. Электрическая цепь. Электрический ток в металлах. Направление электрического тока. Сила тока

Физика

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:

Пока никто не оставил отзыв об этом уроке