Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Теорема Пифагора. Прямая теорема Пифагора. Обратная теорема Пифагора

Треугольники

Теорема Пифагора. Прямая теорема Пифагора

План урока

  • Вклад в математику Пифагора Самосского.
  • Прямая теорема Пифагора.
  • Примеры применения теоремы Пифагора.

Цели урока

  • Знать теорему Пифагора.
  • Уметь применять теорему Пифагора для решения задач.

Разминка

  1. Какой треугольник называется прямоугольным?
  2. Какими свойствами обладает прямоугольный треугольник?
  3. Как вычислить площадь прямоугольного треугольника?

Историческая справка

Рис. 1. Бюст Пифагора в Капитолийском музее Рис. 1. Бюст Пифагора в Капитолийском музее

Пифаго́р Са́мосский (др.-греч. Πυθαγόρας ὁ Σάμιος, лат. Pythagoras; около 570–490 годов до н. э.) — древнегреческий философ, математик и мистик, создатель религиозно-философской школы пифагорейцев.

 

Античные биографии Пифагора содержат множество легенд. По наиболее распространённой версии, Пифагор родился на острове Самос. В молодости много путешествовал и учился (в различных легендах фигурируют египетские жрецы, халдеи, маги, Заратуштра и т. д.). По возвращении на Самос из-за разногласий с тираном Поликратом был вынужден эмигрировать в Италию. По прибытии в полис Кротон он создал собственную школу. Школу Пифагора сравнивают с прообразом христианских монастырей и масонских лож. Постепенно её политическое влияние возрастало. Она как таковая не находилась при власти. Речь шла о возросшем влиянии отдельных членов общества во властных структурах.

Рис. 2. Изображение к первоначальной формулировке теоремы Пифагора Рис. 2. Изображение к первоначальной формулировке теоремы Пифагора

В математике с именем Пифагора связаны систематическое введение доказательств, дедуктивное построение геометрии прямолинейных фигур, создание учения о подобии, построение некоторых правильных многогранников и многоугольников, учение о чётных и нечётных, простых и составных числах, о пропорциях, об арифметических, геометрических и гармонических средних.

 

Античные авторы нашей эры отдают Пифагору авторство известной теоремы: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равняется сумме квадратов катетов. По всей видимости то, что мы называем «теоремой Пифагора», было известно до Пифагора. Античному математику приписывают её доказательство в общем виде. Первоначально «теорема Пифагора» устанавливала соотношение между площадями квадратов, построенных на гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника, а именно «квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах» (рис. 2). 


Теорема Пифагора

 

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.


Доказательство

Рис. 3. К доказательству теоремы Пифагора Рис. 3. К доказательству теоремы Пифагора

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами ab и гипотенузой c. Докажем, что c2=a2+b2.

 

Достроим треугольник до квадрата со стороной a+b (рис. 3). Площадь S этого квадрата равна (a+b)2. При этом, данный квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого равна ab2 и квадрата со стороной c, следовательно:
 

S=4×12ab+c2=2ab+c2.

 

(a+b)2=a2+2ab+b2=2ab+c2,

 

                                    a2+b2=c2.

 

Теорема доказана.


Пример 1

 

Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4, а гипотенуза равна 25 см. Найдите периметр треугольника.


Решение

Рис. 4. Треугольник ABC Рис. 4. Треугольник ABC

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B (рис. 4). Пусть AB=4xBC=3x, по теореме Пифагора AB2+BC2=AC2 составим и решим уравнение: 

 

(3x)2+(4x)2=252

 

25x2=625

 

x=±5.

 

Длина стороны положительна, следовательно, AB=20 смBC=15 см.

 

Периметр треугольника равен

 

PABC=20+15+25=60 (см).
 

Ответ: 60 см.


Пример 2 

 

Основания равнобедренной трапеции равны 20 см и 30 см, а боковые стороны равны 13 см. Найдите площадь трапеции.


Решение

Рис. 5. К решению примера 2 Рис. 5. К решению примера 2

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, проведем высоты BE и CF (рис. 5).

 

Треугольники ABE и DCF равны по гипотенузе и катету (AB=CD, т. к. трапеция равнобедренная, BE=CF как расстояния между параллельными прямыми). BCFE — прямоугольник по определению, BC=EF. Следовательно 

 

AE=DF=30-202=5 (см).

 

В прямоугольном треугольнике ABE по теореме Пифагора

 

AB2=AE2+BE2.

 

Следовательно,

 

BE=AB2-AE2=132-52=144=12 (см).
 

Площадь трапеции ABCD равна:

 

SABCD=AD+BC2×BE,

 

SABCD=20+302×12=300 (см2).

 

Ответ: 300 см2.


Пример 3

 

Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 1 см и 3 см. Найдите высоту трапеции.


Решение

Рис. 6. К решению примера 3 Рис. 6. К решению примера 3

Рассмотрим трапецию ABCD с диагоналями AC и BDACBD. Проведем прямую параллельную одной из диагоналей трапеции BDCE.

 

BCED — параллелограмм, так как противоположные стороны параллельны, тогда BD=CEBC=DE.

 

ACBDBDCEACCE, треугольник ACE прямоугольный, по теореме Пифагора 

 

AE2=AC2+CE2,

 

 AE=12+32=2 (см).

 

Проведем высоту CH трапеции ABCD и треугольника ACE. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов или половине произведения высоты, проведенной из вершины прямого угла, и гипотенузы:

 

SACE=12AC×CE=12AE×CH,

 

CH=AC×CEAE,

 

CH=1×32=32 (см).

 

Ответ32 см.


Упражнения

 

1. В прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой c найдите:

а) c, если a=7b=24

б) b, если a=17c=9;

в) a, если b=33c=6.

 

2. Основания прямоугольной трапеции равны 6 см и 10 см, а большая боковая сторона — 5 см. Найдите площадь трапеции.

 

3. Найдите площадь:

а) равнобедренного треугольника с периметром 16 см и высотой 4 см, проведенной к основанию;

б) прямоугольного треугольника с гипотенузой 20 см и отношением катетов 3:4.


Контрольные вопросы

 

1. Сформулируйте теорему Пифагора.

 

2. Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника вдвое больше квадрата катета. Чему равны острые углы треугольника?

 

3. Выразите высоту равностороннего треугольника через длину стороны.


Ответы

1. а) 25;         б) 8;        в) 3.

2. 24 см2.

3. а) 12 см2;       б) 96 см2.


Предыдущий урок
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
Треугольники
Следующий урок
Практические приложения подобия треугольников. О подобии произвольных фигур
Треугольники
  • Османская империя. Персия

    История

  • Нарушение работы эндокринной системы и их предупреждение

    Биология

  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке