Конспект урока: Теорема Пифагора. Прямая теорема Пифагора. Обратная теорема Пифагора

Рис. 1. Бюст Пифагора в Капитолийском музее

Пифаго́р Са́мосский (др.-греч. Πυθαγόρας ὁ Σάμιος, лат. Pythagoras; около 570–490 годов до н. э.) — древнегреческий философ, математик и мистик, создатель религиозно-философской школы пифагорейцев.

Античные биографии Пифагора содержат множество легенд. По наиболее распространённой версии, Пифагор родился на острове Самос. В молодости много путешествовал и учился (в различных легендах фигурируют египетские жрецы, халдеи, маги, Заратуштра и т. д.). По возвращении на Самос из-за разногласий с тираном Поликратом был вынужден эмигрировать в Италию. По прибытии в полис Кротон он создал собственную школу. Школу Пифагора сравнивают с прообразом христианских монастырей и масонских лож. Постепенно её политическое влияние возрастало. Она как таковая не находилась при власти. Речь шла о возросшем влиянии отдельных членов общества во властных структурах.

Рис. 2. Изображение к первоначальной формулировке теоремы Пифагора

В математике с именем Пифагора связаны систематическое введение доказательств, дедуктивное построение геометрии прямолинейных фигур, создание учения о подобии, построение некоторых правильных многогранников и многоугольников, учение о чётных и нечётных, простых и составных числах, о пропорциях, об арифметических, геометрических и гармонических средних.

Античные авторы нашей эры отдают Пифагору авторство известной теоремы: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равняется сумме квадратов катетов. По всей видимости то, что мы называем «теоремой Пифагора», было известно до Пифагора. Античному математику приписывают её доказательство в общем виде. Первоначально «теорема Пифагора» устанавливала соотношение между площадями квадратов, построенных на гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника, а именно «квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах» (рис. 2). 

Рис. 3. К доказательству теоремы Пифагора

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$. Докажем, что $c^2=a^2+b^2$.

Достроим треугольник до квадрата со стороной $a+b$ (рис. 3). Площадь $S$ этого квадрата равна ${(a+b)}^2$. При этом, данный квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого равна $\frac{ab}{2}$ и квадрата со стороной $c$, следовательно:
 

$S=4·\frac{1}{2}ab+c^2=2ab+c^2$.

${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$,

                                    $a^2+b^2=c^2$.

Теорема доказана.

Рис. 4. Треугольник ABC

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $B$ (рис. 4). Пусть $AB=4x$, $BC=3x$, по теореме Пифагора $A{B}^2+B{C}^2=A{C}^2$ составим и решим уравнение: 

${\left(3x\right)}^2+{\left(4x\right)}^2={25}^2$

$25x^2=625$

$x=\pm 5$.

Длина стороны положительна, следовательно, $AB=20 см$, $BC=15 см$.

Периметр треугольника равен

$P_{△ABC}=20+15+25=60 \left(см\right)$.
 

Ответ: $60 см$.

Рис. 5. К решению примера 2

Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$, проведем высоты $BE$ и $CF$ (рис. 5).

Треугольники $ABE$ и $DCF$ равны по гипотенузе и катету ($AB=CD$, т. к. трапеция равнобедренная, $BE=CF$ как расстояния между параллельными прямыми). $BCFE$ — прямоугольник по определению, $BC=EF$. Следовательно 

$AE=DF=\frac{30-20}{2}=5 \left(см\right)$.

В прямоугольном треугольнике $ABE$ по теореме Пифагора

$A{B}^2=A{E}^2+B{E}^2$.

Следовательно,

$BE=\sqrt{A{B}^2-A{E}^2}=\sqrt{{13}^2-5^2}=\sqrt{144}=12 \left(см\right)$.
 

Площадь трапеции $ABCD$ равна:

$S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}·BE$,

$S_{ABCD}=\frac{20+30}{2}·12=300 \left(с{м}^2\right)$.

Ответ: $300 с{м}^2$.

Рис. 6. К решению примера 3

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с диагоналями $AC$ и $BD$, $AC\perp BD$. Проведем прямую параллельную одной из диагоналей трапеции $BD\parallel CE$.

$BCED$ — параллелограмм, так как противоположные стороны параллельны, тогда $BD=CE$, $BC=DE$.

$AC\perp BD$, $BD\parallel CE\Rightarrow AC\perp CE$, треугольник $ACE$ прямоугольный, по теореме Пифагора 

$A{E}^2=A{C}^2+C{E}^2$,

 $AE=\sqrt{1^2+{\sqrt{3}}^2}=2 \left(см\right)$.

Проведем высоту $CH$ трапеции $ABCD$ и треугольника $ACE$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов или половине произведения высоты, проведенной из вершины прямого угла, и гипотенузы:

$S_{△ACE}=\frac{1}{2}AC·CE=\frac{1}{2}AE·CH$,

$CH=\frac{AC·CE}{AE}$,

$CH=\frac{1·\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} \left(см\right)$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2} см$.