Цифровая библиотека

Интернет-библиотека по школьным предметам от «Онлайн-школы». Библиотека поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

Например: формулы сокращенного умножения

Выбери класс

Выбери все классы

Все предметы
8 класс
Геометрия
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Геометрия 8 класс Геометрия 8 класс

Конспект урока: Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Треугольники

07.12.2024

3013

Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

План урока

Среднее пропорциональное двух чисел;
Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике;
Применение метрических соотношений прямоугольного треугольника.

Цели урока

Знать определение среднего пропорционального двух отрезков, метрические соотношения прямоугольных треугольников;
Уметь применять метрические соотношения прямоугольных треугольников.

Разминка

Какие треугольники называются подобными?
Какими свойствами обладают подобные треугольники?
Как доказать подобие треугольников?
Сформулируйте теорему Пифагора.

Определение среднего пропорционального двух чисел

Пример 1

Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Решение

Рис. 1. К решению примера 1

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A B C$ с прямым углом $B$ , $B D$ – высота (рис. 1). Докажем подобие треугольников $A B D$ и $B C D$ ; $A B C$ и $A D B$ ; $A B C$ и $B D C$ .

В прямоугольном треугольнике $A B D$ $∠ A B D = 90 ° - ∠ A$ , но $∠ C = 90 ° - ∠ A$ (из треугольника $A B C$ ), значит, $∠ A B D = ∠ C$ , $∠ A$ — общий. Таким образом, $∆ A B C ~ ∆ A D B$ по двум углам. Аналогично доказывается подобие треугольников $A B C$ и $B D C$ по двум углам, треугольников $A B D$ и $B C D$ по двум углам, что и требовалось доказать.

Подобие треугольников позволяет установить ряд соотношений между длинами некоторых отрезков в треугольнике и окружности (такие соотношения называют метрическими).

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Отрезок $X Y$ называется средним пропорциональным
(средним геометрическим) между отрезками $A B$ и $C D$ , если

$\frac{A B}{X Y} = \frac{X Y}{C D}$ или $X Y = \sqrt{A B \cdot C D}$ .

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу.

Действительно, если вернуться к выводам, полученным в решении примера 1, из подобия треугольников $A B D$ и $B C D$ следует, что $\frac{A D}{B D} = \frac{B D}{C D}$ , или $B D = \sqrt{A D \cdot C D}$ .

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

Из того, что $∆ A B C$ ~ $∆ A D B$ (пример 1), следует $\frac{A C}{A B} = \frac{A B}{A D}$ или $A B = \sqrt{A C \cdot A D}$ .

Из того, что $∆ A B C$ ~ $∆ B D C$ (пример 1), следует $\frac{A C}{B C} = \frac{B C}{D C}$ или $B C = \sqrt{A C \cdot D C}$ .

Пример 2

Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 15 см и 20 см. Найдите длины отрезков, на которые ее делит высота треугольника.

Решение

Рис. 2. К решению примера 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A B C$ с прямым углом $B$ , $B D$ – биссектриса, $B E$ – высота, $A D = 20 с м$ , $C D = 15 с м$ (рис. 2). Найдем длины отрезков $A E$ и $C E$ .

По свойству биссектрисы треугольника $\frac{A B}{B C} = \frac{A D}{C D} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$ . По теореме Пифагора $A B^{2} + B C^{2} = A C^{2}$ . Введем обозначения: $A B = 4 x$ , $B C = 3 x$ . Составим и решим уравнение:

$(4 x)^{2} + (3 x)^{2} = (20 + 15)^{2}$

$25 x^{2} = 1225$

$x^{2} = 49$

$x = \pm 7$ .

Длины катетов равны $A B = 4 \cdot 7 = 28 с м$ , $B C = 3 \cdot 7 = 21 с м$ .

Вычислим длины отрезков $A E$ и $C E$ , используя метрические соотношения для катетов прямоугольного треугольника:

$A B = \sqrt{A C \cdot A E}$ , $A B^{2} = A C \cdot A E$ , $A E = \frac{A B^{2}}{A C}$ , $A E = \frac{28^{2}}{35} = 22, 4 с м$ .

Тогда $C E = 35 - 22, 4 = 12, 6 с м$ .

Ответ: 22,4 см и 12,6 см

Пример 3

Найдите периметр прямоугольного треугольника, в котором катет равен 15 см, а отрезок гипотенузы, заключенный между этим катетом и основанием высоты, проведенной из вершины прямого угла, равен 9 см.

Решение

Рис. 3. К решению примера 3

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A B C$ , $∠ C = 90 °$ , $C D$ – высота, $A C = 15 с м$ , $A D = 9 с м$ (рис. 3).

Используя метрическое соотношение прямоугольного треугольника для катета, найдем длину гипотенузы данного треугольника: $A C = \sqrt{A B \cdot A D}$ , $A C^{2} = A B \cdot A D$ ,

$A B = \frac{A C^{2}}{A D}$ , $A B = \frac{15^{2}}{9} = 25 (с м)$ .

По теореме Пифагора $A C^{2} + B C^{2} = A B^{2}$ , $B C = \sqrt{A B^{2} - A C^{2}}$ , $B C = \sqrt{25^{2} - 15^{2}} = \sqrt{400} = 20 (с м)$ .

Периметр треугольника $A B C$ равен:

$P_{A B C} = 25 + 15 + 20 = 60 (с м)$ .

Ответ: 60 см.

Упражнения

1. В прямоугольном треугольнике $A B C$ ( $∠ C = 90 °$ ) проведена высота $C D$ (рис. 3). Найдите:

а) $C D$ , если $A D = 4 с м$ , $B D = 25 с м$ ;

б) $A C$ и $B C$ , если $A B = 50 с м$ , $A D = 18 с м$ .

2. Высота прямоугольного треугольника равна 24 см и делит гипотенузу в отношении 9:16. Найдите катеты треугольника.

3. Перпендикуляр, проведенный из середины основания равнобедренного треугольника к боковой стороне, делит ее на отрезки длиной 2,25 см и 4 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к боковой стороне.

Контрольные вопросы

1. Может ли высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, быть меньше каждого из отрезков гипотенузы; быть равной отрезку гипотенузы?

2. Отрезки $a_{c}$ и $b_{c}$ — отрезки гипотенузы, заключенные между катетами $a$ и $b$ и высотой прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла. Сравните:

а) $a$ и $b$ , если $a_{c} < b_{c}$ ;

б) $a_{c}$ и $b_{c}$ , если $a > b$ .

3. Могут ли быть подобными неравные прямоугольные треугольники с общей гипотенузой; с общим катетом?

4. Для построения четвертого пропорционального отрезка $x = \frac{a b}{c}$ ученик предложил построить прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$ и провести в нем высоту из вершины прямого угла, равную $x$ . Другой ученик утверждает, что этот способ ошибочный. Кто из учеников прав?

Ответы на упражнения

1. а) 10 см; б) 30 см и 40 см.

2. 30 см и 40 см.

3. 6 см.

Предыдущий урок

Средняя линия треугольника

Треугольники

Следующий урок

Практические приложения подобия треугольников. О подобии произвольных фигур

Треугольники

Урок подготовил(а)

Валерия Александровна

Учитель математики

Опыт работы: более 20 лет

Обобщающие слова при однородных членах

Русский язык
А.П. Чехов. «О любви»

Литература
Учение о высшей нервной деятельности И. М. Сеченова и И. П. Павлова. Образование и торможение условных рефлексов

Биология

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:

Пока никто не оставил отзыв об этом уроке