Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Треугольники

17.04.2024
2298
0

Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

План урока

  • Среднее пропорциональное двух чисел;
  • Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике;
  • Применение метрических соотношений прямоугольного треугольника.

Цели урока

  • Знать определение среднего пропорционального двух отрезков, метрические соотношения прямоугольных треугольников;
  • Уметь применять метрические соотношения прямоугольных треугольников.

Разминка

  • Какие треугольники называются подобными?
  • Какими свойствами обладают подобные треугольники?
  • Как доказать подобие треугольников?
  • Сформулируйте теорему Пифагора.

Определение среднего пропорционального двух чисел


Пример 1

 

Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.


Решение

Рис. 1. К решению примера 1

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом BBD – высота (рис. 1). Докажем подобие треугольников ABD и BCDABC и ADBABC и BDC.

 

В прямоугольном треугольнике ABD ABD=90°-A, но C=90°-A (из треугольника ABC), значит, ABD=CA — общий. Таким образом, ABC ~ADB по двум углам. Аналогично доказывается подобие треугольниковABC и BDC по двум углам,  треугольников ABD и BCD по двум углам, что и требовалось доказать.


Подобие треугольников позволяет установить ряд соотношений между длинами некоторых отрезков в треугольнике и окружности (такие соотношения называют  метрическими ). 

 

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике


Отрезок XY называется  средним пропорциональным  
( средним геометрическим ) между отрезками AB и CD, если 

 

ABXY=XYCD или XY=AB·CD.


Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу.


Действительно, если вернуться к выводам, полученным в решении примера 1, из подобия треугольников ABD и BCD следует, что ADBD=BDCD, или BD=AD·CD.


Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.


Из того, что ABC ~ ADB (пример 1), следует ACAB=ABAD или AB=AC·AD.

 

Из того, что ABC ~ BDC (пример 1), следует ACBC=BCDC или BC=AC·DC.


Пример 2

 

Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 15 см и 20 см. Найдите длины отрезков, на которые ее делит высота треугольника.


Решение

Рис. 2. К решению примера 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом BBD – биссектриса, BE – высота, AD=20 смCD=15 см(рис. 2). Найдем длины отрезков AE и CE.

 

По свойству биссектрисы треугольника ABBC=ADCD=2015=43. По теореме Пифагора AB2+BC2=AC2. Введем обозначения: AB=4xBC=3x. Составим и решим уравнение:

 

(4x)2+(3x)2=(20+15)2

25x2=1225

x2=49

x=±7.

 

Длины катетов равны AB=4·7=28 смBC=3·7=21 см.

 

Вычислим длины отрезков AE и CE, используя метрические соотношения для катетов прямоугольного треугольника: 

 

AB=AC·AEAB2=AC·AEAE=AB2AC,  AE=28235=22,4см

 

Тогда CE=35-22,4=12,6 см.

 

Ответ: 22,4 см и 12,6 см


Пример 3

 

Найдите периметр прямоугольного треугольника, в котором катет равен 15 см, а отрезок гипотенузы, заключенный между этим катетом и основанием высоты, проведенной из вершины прямого угла, равен 9 см.


Решение

Рис. 3. К решению примера 3

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABCC=90°CD  – высота, AC=15 смAD= 9 см (рис. 3). 

Используя метрическое соотношение прямоугольного треугольника для катета, найдем длину гипотенузы данного треугольника: AC=AB·ADAC2=AB·AD,

 

AB=AC2ADAB=1529=25(см).

 

По теореме Пифагора AC2+BC2=AB2BC=AB2-AC2BC=252-152=400=20 (см).

 

Периметр треугольника ABC равен:

 

PABC=25+15+20=60 (см).

 

Ответ: 60 см.


Упражнения

 

1. В прямоугольном треугольнике ABC (C=90°) проведена высота CD  (рис. 3). Найдите:

а) CD , если AD = 4 смBD = 25 см;

б) AC и BC, если AB = 50 смAD = 18 см.

2. Высота прямоугольного треугольника равна 24 см и делит гипотенузу в отношении 9:16. Найдите катеты треугольника.

3. Перпендикуляр, проведенный из середины основания равнобедренного треугольника к боковой стороне, делит ее на отрезки длиной 2,25 см и 4 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к боковой стороне.


Контрольные вопросы

 

1. Может ли высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, быть меньше каждого из отрезков гипотенузы; быть равной отрезку гипотенузы?

2. Отрезки ac и bc — отрезки гипотенузы, заключенные между катетами a и b и высотой прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла. Сравните:

а) a и b, если ac<bc;

б)ac и bc, если a>b.

3. Могут ли быть подобными неравные прямоугольные треугольники с общей гипотенузой; с общим катетом?

4. Для построения четвертого пропорционального отрезка x=abc ученик предложил построить прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c и провести в нем высоту из вершины прямого угла, равную x. Другой ученик утверждает, что этот способ ошибочный. Кто из учеников прав?


Ответы на упражнения

1. а) 10 см; б) 30 см и 40 см.

2. 30 см и 40 см.

3. 6 см.

Предыдущий урок
Теорема Пифагора. Прямая теорема Пифагора. Обратная теорема Пифагора
Треугольники
Следующий урок
Признаки подобия треугольников
Треугольники
Урок подготовил(а)
teacher
Валерия Александровна
Учитель математики
Опыт работы: более 20 лет
Поделиться:
  • Compound adjectives. Составные прилагательные

    Английский язык

  • Озёра, подземные воды, многолетняя мерзлота и ледники Болота

    География

  • Расчёты по химическим уравнениям

    Химия

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке