Локальные и глобальные компьютерные сети

Многоугольники. Выпуклый многоугольник

План урока

Определение многоугольника
Элементы многоугольника
Определение выпуклого многоугольника
Сумма углов выпуклого многоугольника
Определение внешнего угла выпуклого многоугольника

Цели урока

Знать определения: многоугольника, его сторон, вершин, периметра, соседних вершин и смежных сторон многоугольника, диагонали, внутренней и внешней области, выпуклого многоугольника, внешнего угла выпуклого многоугольника
Уметь вычислять сумму углов многоугольника, количество диагоналей многоугольника, определять выпуклый или не выпуклый многоугольник

Разминка

Что такое отрезок?
Как обозначаются отрезки?
Какие фигуры называются равными?
Чему равен периметр треугольника?
Какие углы называют смежными? Каким свойством обладают смежные углы?
Чему равна сумма углов треугольника?

Определение многоугольника

Рис. 1а

Рассмотрим фигуру, составленную из отрезков $A B$ , $B C$ , $C D$ , …, $E F$ , $F G$ так, что смежные отрезки (т. е. отрезки $A B$ и $B C$ , $B C$ и $C D$ , …, $E F$ и $F G$ ) не лежат на одной прямой. Такая фигура называется ломаной $A B C D . . . F G$ (Рис. 1а). Отрезки, из которых составлена ломаная, называются ее звеньями, а концы этих отрезков — вершинами ломаной. Сумма длин всех звеньев называется длиной ломаной.

Рис. 1б

Концы ломаной $A B C D . . . F G$ , точки $A$ и $G$ , могут быть различными, а могут совпадать (Рис. 1б). Во втором случае ломаная называется замкнутой, и ее звенья $A B$ и $F G$ также считаются смежными. Если несмежные звенья замкнутой ломаной не имеют общих точек, то эта ломаная называется многоугольником , ее звенья сторонами многоугольника, а длина ломаной называется периметром многоугольника.

Многоугольник обозначается последовательным перечислением его вершин: $A B C D E F$ (Рис. 2).

Многоугольник с $n$ вершинами $(n \geq 3)$ часто называют $n$ -угольником, он имеет $n$ сторон.

$A_{1} A_{2} A_{3} . . . A_{n}$ — $n$ -угольник (Рис. 3).

Фигура $M_{1} M_{2} M_{3} M_{4} M_{5} M_{6}$ (Рис. 4) не является многоугольником, так как несмежные отрезки $M_{2} M_{3}$ и $M_{5} M_{6}$ (а также $M_{3} M_{4}$ и $M_{5} M_{6}$ ) имеют общую точку.

Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4

Элементы многоугольника

Рис. 5. Смежные стороны многоугольника

Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними .

$A$ и $B$ , $B$ и $C$ , $C$ и $D$ , $D$ и $E$ , $E$ и $A$ — соседние вершины (Рис. 5).

Две стороны многоугольника, имеющие общую вершину, называются смежными (соседними). $A B$ и $B C$ , $B C$ и $C D,$ $C D$ и $D E$ , $D E$ и $E A$ , $E A$ и $A B$ — смежные стороны (Рис. 5).

Рис. 6. Диагонали многоугольника

Отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины многоугольника, называется диагональю многоугольника .

$A C$ , $B D$ , $C E$ , $A D$ , $B E$ — диагонали многоугольника (Рис. 6).

Докажем, что в любом $n$ -угольнике $\frac{n \cdot (n - 3)}{2}$ диагоналей.

Доказательство

Из каждой вершины $n$ -угольника можно провести диагонали ко всем вершинам, кроме себя и двух соседних, т. е. $n - 3$ диагонали. Так как каждая диагональ соединяет две вершины, то общее количество диагоналей $\frac{n \cdot (n - 3)}{2}$ . Что и требовалось доказать.

Рис. 7. Внутренняя и внешняя область многоугольника

Многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых (конечная) называется внутренней , а другая — внешней областью многоугольника (Рис. 7).

Фигуру, состоящую из сторон многоугольника и его внутренней области, также называют многоугольником.

Определение выпуклого многоугольника

Многоугольник называется выпуклым , если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины (Рис. 8а). Если прямая, содержащая строну многоугольника, делит его внутреннюю область на части, то многоугольник называют невыпуклым (Рис. 8б)

Рис. 8а Рис. 8б

Далее мы будем рассматривать только выпуклые многоугольники.

Сумма углов выпуклого многоугольника

Рис. 9. Выпуклый многоугольник

Найдем сумму углов выпуклого многоугольника. Для этого соединим диагоналями вершину $M_{1}$ с другими вершинами (Рис. 9). В результате получим $n - 2$ треугольника, сумма углов которых равна сумме углов $n$ -угольника.

Сумма углов каждого треугольника равна $180 °$ , поэтому сумма углов многоугольника $M_{1} M_{2} M_{3} M_{4} . . . M_{n}$ равна $(n - 2) \cdot 180 °$ .

Таким образом, сумма углов выпуклого $n$ -угольника равна $(n - 2) \cdot 180 °$ .

Следствие

Любой угол выпуклого многоугольника меньше $180 °$ .

Пример 1

Найдите углы пятиугольника, если каждый из них, начиная со второго, больше предыдущего на $10 °$ .

Решение

Сумма углов пятиугольника равна $(5 - 2) \cdot 180 ° = 540 °$ .

Пусть первый угол равен $x °$ , второй $(x + 10) °$ , третий $(x + 20) °$ и т. д. Составим и решим уравнение:

$x + x + 10 + x + 20 + x + 30 + x + 40 = 540$

$5 x = 440$

$x = 88$

Следовательно, углы пятиугольника равны $88 °$ , $98 °$ , $108 °$ , $118 °$ , $128 °$ .

Ответ: $88 °$ , $98 °$ , $108 °$ , $118 °$ , $128 °$ .

Рис. 10. Внешний угол выпуклого многоугольника

Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный с внутренним углом многоугольника при этой вершине (Рис. 10).

Самостоятельно докажите полезную задачу о сумме внешних углов выпуклого многоугольника.

Сумма углов выпуклого $n$ -угольника, взятых по одному при каждой вершине, при любом $n \geq 3$ равна $360 °$ .

Упражнения

1. Фигуры, изображенные на рисунках, состоят из точек $A$ , $B$ , $C$ , $D$ и $E$ , последовательно соединенных отрезками (Рис. 11)

Рис. 11

Укажите, на каких рисунках фигура является многоугольником.

2. Укажите, какой из многоугольников на рис. 12 является выпуклым, а какой — не выпуклым. Через какую сторону не выпуклого многоугольника можно провести прямую, которая поделит его на части.

Рис. 12

3. Сколько диагоналей можно провести из одной вершины выпуклого восьмиугольника? Сколько всего диагоналей можно провести в выпуклом восьмиугольнике?

4. Найдите сумму углов выпуклого девятиугольника.

5. Сколько вершин имеет выпуклый многоугольник, если сумма углов равна $360 °$ ; $1620 °$ ?

Контрольные вопросы

1. Какую фигуру называют многоугольником?

2. Как вычислить периметр многоугольника?

3. Что такое диагональ многоугольника?

4. Какой многоугольник называют выпуклым?

5. Как вычислить сумму углов выпуклого многоугольника?

Ответы

1. $2$ и $6$ .

2. 1 выпуклый, 2 не выпуклый. Через стороны $N P$ и $P K$ .

3. Из одной вершины $5$ , всего $20$ .

4. $1260 °$ .

5. $4$ ; $11$ .

Конспект урока: Многоугольники. Выпуклый многоугольник. Четырёхугольник

Четырехугольники

Определение многоугольника

Элементы многоугольника

Определение выпуклого многоугольника

Сумма углов выпуклого многоугольника