Конспект урока: Параллелограмм. Признаки параллелограмма. Теорема Фалеса

Рис. 1. Параллелограмм

Определение параллелограмма

Рассмотрим на плоскости две параллельные прямые $f$ и $i$, пересеченные двумя другими параллельными прямыми $g$ и $h$ (Рис. 1). В результате такого пересечения образуется четырехугольник, который имеет специальное название — параллелограмм.

Рис. 2. Параллелограмм

На рис. 2 изображен параллелограмм $ABCD$, в котором $AB\parallel CD$, $AD\parallel BC$.

Рассмотрим некоторые свойства параллелограмма.

Рис. 3. Доказательство свойства 1

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$ (Рис. 3). Диагональ $BD$ разделяет его на 2 треугольника: $∆ABD$ и $∆BCD$. Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам: $BD$ — общая сторона, $\angle ABD=\angle CDB$, $\angle ADB=\angle CBD$ как накрест лежащие углы при пересечении секущей $BD$ параллельных прямых $AB$ и $CD,$ $AD$ и $BC$. В равных треугольниках равны соответствующие элементы, поэтому $AB=CD$, $AD=BC$, $\angle A=\angle C$. Пользуясь равенствами $\angle ABD=\angle CDB$, $\angle ADB=\angle CBD$, можем сделать вывод $\angle B=\angle D$.

Рис. 4. Доказательство свойства 2

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$и $BD$ параллелограмма $ABCD$ (Рис. 4). Треугольники $AOB$ и $COD$ равны по стороне и двум прилежащим углам: $AB=CD$ как противоположные стороны параллелограмма, $\angle BAO=\angle DCO$,  $\angle ABO=\angle CDO$ как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых $AB$ и $CD$ секущими $AC$ и $BD$ соответственно.  Поэтому $AO=OC$, $BO=OD$,
что и требовалось доказать.

Рис. 5. Пример 2

Пусть в параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $E$, $BE=EC$ (Рис. 5).

Заметим, что $\angle BAE=\angle DAE$, поскольку $AE$ — биссектриса $\angle BAD$, а $\angle BEA=\angle DAE$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AE$. Отсюда $\angle BAE=\angle BEA$, следовательно, по признаку равнобедренного треугольника, $∆ABE$ — равнобедренный с основанием $AE$, значит, $BE=AB=6 см$. По условию $BE=EC\Rightarrow BC=12 см$. 

Так как противоположные стороны параллелограмма равны, то 

$P_{ABCD}=2·(6+12)=36 \left(см\right)$.

Рис. 6. Параллелограмм ABCD

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$.

$AB\parallel CD$,  $AB=CD$ (Рис. 6). Проведем диагональ $AC$, разделяющую данный четырехугольник на два треугольника: $ABC$ и $CDA$. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними ($AC$ — общая сторона, $AB=CD$, $\angle BAC=\angle DCA$ как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых $AB$ и $CD$ секущей $AC$), поэтому $\angle BCA=\angle DAC$, а они накрест лежащие при пересечении прямых $AD$ и $BC$ секущей $AC$, следовательно $AD\parallel BC$.

Таким образом, в четырехугольнике $ABCD$ противоположные стороны попарно параллельны, а значит четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм по определению.

Рис. 7. Доказательство третьего признака

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$и $BD$ четырехугольника $ABCD$ $AO=OC$,$BO=OD$ (Рис. 7). Треугольники $AOB$ и $COD$равны  по  двум  сторонам и  углу  между  ними

($AO=OC$, $BO=OD$, $\angle AOB=\angle COD$ как вертикальные углы), поэтому $AB=CD$, $\angle BAO=\angle DCO$. Из равенства $\angle BAO$ и $\angle DCO$ следует, что $AB\parallel CD$.

Таким образом, $AB=CD$, $AB\parallel CD$, следовательно четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм по первому признаку.

Рис. 8. Пример 3

Рассмотрим четырехугольник $MBND$. Стороны $MB$ и $ND$ параллельны, т. к. лежат на прямых, содержащих противолежащие стороны параллелограмма $ABCD$. Кроме того, $MB=ND$ как половины равных сторон $AB$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$. Таким образом, в четырехугольнике $MBND$ две стороны параллельны и равны. Следовательно, четырехугольник $MBND$ — параллелограмм.