Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Параллелограмм. Признаки параллелограмма. Теорема Фалеса

Четырехугольники

Параллелограмм. Признаки параллелограмма

План урока

  • Определение параллелограмма.
  • Свойства параллелограмма.
  • Признаки параллелограмма.

Цели урока

  • Знать определение параллелограмма, свойства параллелограмма и признаки параллелограмма.
  • Уметь применять свойства параллелограмма для решения задач, доказывать, что четырехугольник является параллелограммом, применяя признаки параллелограмма.
  • Моя цель _______________________________________________________________________

Разминка

  1. Какие треугольники называют равными?
  2. Как доказать равенство треугольников?
  3. Какие прямые называются параллельными?
  4. Как доказать параллельность прямых?
  5. Какими свойствами обладают параллельные прямые?

Рис. 1. Параллелограмм Рис. 1. Параллелограмм

Определение параллелограмма

 

Рассмотрим на плоскости две параллельные прямые f и i, пересеченные двумя другими параллельными прямыми g и h (Рис. 1). В результате такого пересечения образуется четырехугольник, который имеет специальное название — параллелограмм.


Параллелограммом называется четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны.


Рис. 2. Параллелограмм Рис. 2. Параллелограмм

На рис. 2 изображен параллелограмм ABCD, в котором ABCDADBC.

 

Рассмотрим некоторые свойства параллелограмма.


Свойство 1

 

В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.


Доказательство

Рис. 3. Доказательство свойства 1 Рис. 3. Доказательство свойства 1

Рассмотрим параллелограмм ABCD (Рис. 3). Диагональ BD разделяет его на 2 треугольника: ABD и BCD. Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам: BD — общая сторона, ABD=CDBADB=CBD как накрест лежащие углы при пересечении секущей BDпараллельных прямых AB и CDAD и BC. В равных треугольниках равны соответствующие элементы, поэтому AB=CDAD=BCA=C. Пользуясь равенствами ABD=CDBADB=CBD, можем сделать вывод B=D.


Свойство 2

 

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.


Доказательство

Рис. 4. Доказательство свойства 2 Рис. 4. Доказательство свойства 2

Пусть O — точка пересечения диагоналей ACи BD параллелограмма ABCD (Рис. 4). Треугольники AOB и COD равны по стороне и двум прилежащим углам: AB=CD как противоположные стороны параллелограмма, BAO=DCO,  ABO=CDO как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AB и CD секущими AC и BDсоответственно.  Поэтому AO=OCBO=OD,
что и требовалось доказать.


Пример 1

 

Сумма двух углов параллелограмма равна 200°. Найдите углы параллелограмма.


Решение

 

Пусть дан параллелограмм ABCD (Рис. 2). Поскольку сумма двух соседних углов параллелограмма равна 180° как сумма односторонних углов при параллельных прямых, то данные углы могут быть только противоположными. Пусть B+D=200°. Тогда по свойству углов параллелограмма B=D=200°÷2=100°. Значит, A=C=180°-100°=80°

 

Ответ80° и 100°.


Пример 2

 

В параллелограмме ABCD биссектриса угла A делит сторону BC пополам. Найдите периметр параллелограмма, если AB=6 см


Решение

Рис. 5. Пример 2 Рис. 5. Пример 2

Пусть в параллелограмме ABCD биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке EBE=EC (Рис. 5).

 

Заметим, что BAE=DAE, поскольку AE — биссектриса BAD, а BEA=DAE как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AE. Отсюда BAE=BEA, следовательно, по признаку равнобедренного треугольника, ABE — равнобедренный с основанием AE, значит, BE=AB=6 см. По условию BE=ECBC=12 см

 

Так как противоположные стороны параллелограмма равны, то 

 

PABCD=2×(6+12)=36 (см).

 

Ответ36 см.


Признаки параллелограмма

 

Рассмотрим 3 признака параллелограмма


Признак 1

 

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник  — параллелограмм. 


Доказательство

Рис. 6. Параллелограмм <i>ABCD</i> Рис. 6. Параллелограмм ABCD

Рассмотрим четырехугольник ABCD.

ABCD,  AB=CD (Рис. 6). Проведем диагональ AC, разделяющую данный четырехугольник на два треугольника: ABC и CDA. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (AC — общая сторона, AB=CDBAC=DCA как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей AC), поэтому BCA=DAC, а они накрест лежащие при пересечении прямых AD и BC секущей AC, следовательно ADBC.

 

Таким образом, в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, а значит четырехугольник ABCD — параллелограмм по определению.


Признак 2

 

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник параллелограмм.


Доказательство

 

Рассмотрим четырехугольник ABCD AB=CDBC=AD (Рис. 6). Проведем диагональ AC, разделяющую данный четырехугольник на два треугольника: ABCи CDA. Эти треугольники равны по трем сторонам (AC — общая сторона, AB=CDBC=AD), поэтому BCA=DAC, а они накрест лежащие при пересечении прямых AD и BC секущей AC, следовательно ADBC.  

 

Таким образом BC=ADBCAD, следовательно четырехугольник ABCD — параллелограмм по первому признаку. 


Признак 3

 

Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. 


Доказательство

Рис. 7. Доказательство третьего признака Рис. 7. Доказательство третьего признака

Пусть O — точка пересечения диагоналей ACи BD четырехугольника ABCD AO=OC,BO=OD (Рис. 7). Треугольники AOB и CODравны  по  двум  сторонам и  углу  между  ними

(AO=OCBO=ODAOB=COD как вертикальные углы), поэтому AB=CDBAO=DCO. Из равенства BAO и DCO следует, что ABCD.

 

Таким образом, AB=CDABCD, следовательно четырехугольник ABCD — параллелограмм по первому признаку.


Признак 1, признак 2, признак 3 не являются общепризнанными названиями приведенных признаков параллелограмма, поэтому при решении задач (доказательстве) не нужно ссылаться на конкретный признак, достаточно лишь указать, что четырехугольник является параллелограммом по признаку параллелограмма.


Пример 3

 

В параллелограмме ABCD точки M и N — середины сторон AB и CDсоответственно (Рис. 8). Докажите, что четырехугольник MBND — параллелограмм.


Решение

Рис. 8. Пример 3 Рис. 8. Пример 3

Рассмотрим четырехугольник MBND. Стороны MB и ND параллельны, т. к. лежат на прямых, содержащих противолежащие стороны параллелограмма ABCD. Кроме того, MB=ND как половины равных сторон AB и CD параллелограмма ABCD. Таким образом, в четырехугольнике MBND две стороны параллельны и равны. Следовательно, четырехугольник MBND — параллелограмм.


Упражнения

 

1. Найдите углы параллелограмма, если:

а) один из них равен 110°;

б) один из них на 70° меньше другого;

в) сумма двух его углов равна 90°;

г) диагональ образует с его сторонами углы 30° и 45°.

 

2. Периметр параллелограмма ABCD равен 14 дм, а периметр треугольника ABC — 10 дм. Найдите длину диагонали AC.

 

3. В четырехугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны. Найдите периметр четырехугольника, если AB=CD=9 смAD=4 см.

 

4. В четырехугольнике ABCD AB=CDAD=BC. Найдите углы четырехугольника, если угол A втрое больше угла B.

 

5. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Является ли данный четырехугольник параллелограммом, если AO=4 смOC=40 ммBD=1,2 дмOD= 6 см? Ответ обоснуйте.


Контрольные вопросы

 

1. Четырехугольник ABCD — параллелограмм. Назовите:

а) сторону, параллельную стороне BC;

б) сторону, равную стороне CB;

в) угол, равный углу A.

 

2. Верно ли, что любой параллелограмм имеет:

а) два угла, сумма которых равна 180°;

б) два острых и два тупых угла?

 

3. В параллелограмме ABCD B<C. Сравните углы A и D.

 

4. В параллелограмме ABCD AB+CD>AD+BC. Сравните стороны BC и CD.

 

5. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O (Рис. 4). Назовите:

а) отрезок, который является медианой треугольника ACD;

б) треугольник, медианой которого является отрезок AO.

 

6. Диагонали четырехугольника DEFK  пересекаются в точке O, причем DO=OFEO=OK. Назовите параллельные стороны четырехугольника и объясните, почему они параллельны.

 

7. В четырехугольнике KLMN KLMN и KL=MN. Назовите равные углы четырехугольника и объясните, почему они равны.

 

8. В четырехугольнике PRSQ PR=SQPQ=RS. Найдите сумму углов R и S.

 

9. В четырехугольнике ABCD ABCD. Какое соотношение между сторонами четырехугольника необходимо добавить к условию задачи, чтобы доказать, что ABCD — параллелограмм? Приведите все возможные варианты ответа.


Ответы

1. а) 110°, 70°, 110°, 70°

    б) 10°, 80°, 10°, 80°

    в) 135°, 45°, 135°, 45° 

    г) 105°, 75°, 105°, 75°.

 

2. 3 дм.

 

3. Четырехугольник ABCD является параллелограммом по 1 признаку. Периметр равен 26 см.

 

4. Четырехугольник ABCD является параллелограммом по 2 признаку, углы равны 135°, 45°, 135°, 45°

 

5. Четырехугольник ABCD является параллелограммом по 3 признаку.


Предыдущий урок
Многоугольники. Выпуклый многоугольник. Четырёхугольник
Четырехугольники
Следующий урок
Осевая и центральная симметрии
Общие геометрические сведения
  • Формула корней квадратного уравнения

    Алгебра

  • Площадь параллелограмма. Площадь треугольника

    Геометрия

  • Сумма и разность дробей

    Алгебра

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке