- Трапеция
- Прямоугольная трапеция
- Равнобедренная трапеция
- Знать определение трапеции, определение прямоугольной и равнобедренной трапеции, свойства равнобедренной трапеции
- Уметь решать задачи на вычисление элементов трапеции и доказательство с применением свойств трапеции
- Какие треугольники называют равнобедренными, прямоугольными?
- В четырехугольнике стороны и параллельны, а стороны и равны. Обязательно ли данный четырехугольник является параллелограммом? Приведите контрпример
Определение трапеции
Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны (рис. 1).
![](/upload/D1CdxUDJK6xD_Геометрия 8 класс-30.png)
Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями , а две другие стороны — боковыми сторонами (Рис. 2).
![](/upload/gvKRxCcfi0Qt_%25D0%2593%25D0%25B5%25D0%25BE%25D0%25BC%25D0%25B5%25D1%2582%25D1%2580%25D0%25B8%25D1%258F%25208%2520%25D0%25BA%25D0%25BB%25D0%25B0%25D1%2581%25D1%2581-31.png)
Пример 1
Докажите, что сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне, равна (свойство углов трапеции).
Решение
![](/upload/WjKvyzGGCHC1_Геометрия 8 класс-34.png)
Рассмотрим трапецию с основаниями и (Рис. 3). Следовательно , и односторонние углы при секущей , тогда по свойству параллельных прямых ; и односторонние при секущей , значит , что и требовалось доказать.
Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведенный из любой точки прямой одного основания к прямой, содержащей другое основание.
Все высоты трапеции равны как расстояния между параллельными прямыми, содержащими ее основания (Рис. 4).
![](/upload/cGqya9bcGG5I_Геометрия 8 класс-35.png)
![](/upload/mQXkeI7WdUNU_Геометрия 8 класс-36.png)
Прямоугольная трапеция
Трапеция называется прямоугольной , если у нее есть прямой угол (Рис. 5). Очевидно, что в прямоугольной трапеции ровно два прямых угла, прилежащих к меньшей боковой стороне.
Пример 2
В прямоугольной трапеции большая боковая сторона в два раза больше меньшей. Найдите углы трапеции.
Решение
![](/upload/zN7HEXVN26N1_%25D0%2593%25D0%25B5%25D0%25BE%25D0%25BC%25D0%25B5%25D1%2582%25D1%2580%25D0%25B8%25D1%258F%25208%2520%25D0%25BA%25D0%25BB%25D0%25B0%25D1%2581%25D1%2581-37.png)
Рассмотрим трапецию с основаниями и , в которой и
(Рис. 5).
Проведем высоту из вершины к основанию (Рис. 6), , по свойству расстояния между параллельными прямыми. Получили, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза в два раза больше катета тогда по свойству прямоугольного треугольника следует, что . Из того что следует, что .
Ответ: .
![](/upload/N8e5HEPNAQj8_Геометрия 8 класс-38.png)
Равнобедренная трапеция
Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной (равнобокой, равнобочной) (Рис. 7).
Свойства равнобедренной трапеции:
1. В равнобедренной трапеции углы при основании равны.
Доказательство
![](/upload/RZrpDcH7hvXM_%25D0%2593%25D0%25B5%25D0%25BE%25D0%25BC%25D0%25B5%25D1%2582%25D1%2580%25D0%25B8%25D1%258F%25208%2520%25D0%25BA%25D0%25BB%25D0%25B0%25D1%2581%25D1%2581-39.png)
Рассмотрим равнобедренную трапецию с основаниями и , . Проведем через вершину прямую параллельную боковой стороне , которая пересекает основание в точке (Рис. 8).
Тогда по определению четырехугольник — параллелограмм. По свойству параллелограмма , тогда — равнобедренный, по свойству равнобедренного треугольника. По дополнительному построению , следовательно как соответственные углы при секущей , значит .
Сумма углов при боковой стороне трапеции одинаковая, равна , следовательно . Таким образом, углы при основании равны, что и требовалось доказать.
2. В равнобедренной трапеции диагонали равны.
3. В равнобедренной трапеции диагонали образуют с основанием равные углы.
Доказательство
![](/upload/tFLgRWrQXWdw_Геометрия 8 класс-40.png)
Рассмотрим равнобедренную трапецию с основаниями и , . Проведем диагонали и . Треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними ( — общая сторона, , по первому свойству). Следовательно, .
Треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними ( — общая сторона, , по первому свойству), следовательно . Таким образом свойства 2 и 3 доказаны.
Пример 3
Меньшее основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна к боковой стороне. Найдите углы трапеции.
Решение
![](/upload/ivdqIILnGvpB_Геометрия 8 класс-41.png)
Рассмотрим равнобедренную трапецию с основаниями и , , (Рис. 10).
Треугольник равнобедренный, следовательно . как накрест лежащие при и секущей .
Трапеция равнобедренная, следовательно .
В прямоугольном треугольнике , сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , следовательно .
Таким образом , , .
Ответ: .
Пример 4
Пусть — равнобедренная трапеция, , , , , . Докажите, что .
Решение
![](/upload/YQv41kqkwgRi_%25D0%2593%25D0%25B5%25D0%25BE%25D0%25BC%25D0%25B5%25D1%2582%25D1%2580%25D0%25B8%25D1%258F%25208%2520%25D0%25BA%25D0%25BB%25D0%25B0%25D1%2581%25D1%2581-42.png)
Прямоугольные треугольники и равны по катету и гипотенузе
( по определению равнобедренной трапеции, как высоты), отсюда . , т. к. — параллелограмм по признаку. Значит,
.
Что и требовалось доказать.
Упражнения
1. Найдите неизвестные углы:
а) равнобокой трапеции, в которой высота, проведенная из вершины тупого угла, образует с боковой стороной угол ;
б) прямоугольной трапеции, которую диагональ, проведенная из вершины тупого угла, делит на два равнобедренных прямоугольных треугольника.
![](/upload/0Hk6AXSVkK8j_%25D0%2593%25D0%25B5%25D0%25BE%25D0%25BC%25D0%25B5%25D1%2582%25D1%2580%25D0%25B8%25D1%258F%25208%2520%25D0%25BA%25D0%25BB%25D0%25B0%25D1%2581%25D1%2581-43.png)
2. В равнобокой трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки длиной и . Найдите меньшее основание трапеции.
3. В равнобедренной трапеции через вершину проведена прямая , параллельная стороне (Рис. 12). Найдите периметр трапеции, если , .
Контрольные вопросы
1. Могут ли основания трапеции быть равными? Почему?
2. Могут ли быть равными:
а) соседние углы трапеции;
б) противолежащие углы трапеции?
3. Обязательно ли углы трапеции, прилежащие к большему основанию, должны быть острыми? Приведите примеры.
4. Может ли равнобокая трапеция быть прямоугольной?
5. Может ли высота трапеции быть больше боковой стороны; быть равной боковой стороне?
6. Диагонали трапеции () пересекаются в точке .
а) Может ли треугольник быть равным треугольнику ?
б) Может ли треугольник быть равным треугольнику ?
7. Может ли точка пересечения диагоналей трапеции быть серединой
каждой из них; одной из них?
1. а) б) .
2. .
3..