Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Трапеция. Прямоугольная трапеция. Равнобедренная трапеция и её свойства

Четырехугольники

Трапеция. Прямоугольная трапеция. Равнобедренная трапеция и ее свойства

План урока

  • Трапеция;
  • Прямоугольная трапеция;
  • Равнобедренная трапеция.

Цели урока

  • Знать определение трапеции, определение прямоугольной и равнобедренной трапеции, свойства равнобедренной трапеции;
  • Уметь решать задачи на вычисление элементов трапеции и доказательство с применением свойств трапеции.

Разминка

  1. Какие треугольники называют равнобедренными, прямоугольными?
  2. В четырехугольнике ABCD стороны AD и BC параллельны, а стороны AB и CD равны. Обязательно ли данный четырехугольник является параллелограммом? Приведите контрпример.

Определение трапеции

 

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны (рис. 1).

Рис. 1. Трапеция Рис. 1. Трапеция

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями , а две другие стороны — боковыми сторонами (Рис. 2).

Рис. 2. Основание и боковые стороны трапеции Рис. 2. Основание и боковые стороны трапеции


Пример 1

 

Докажите, что сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180° (свойство углов трапеции).


Решение

Рис. 3. Пример 1 Рис. 3. Пример 1

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями BC иAD (Рис. 3). Следовательно BCADA и Bодносторонние углы при секущей AB, тогда по свойству параллельных прямых A+B=180°C и D односторонние при секущей CD, значит C+D=180°, что и требовалось доказать.


Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведенный из любой точки прямой одного основания к прямой, содержащей другое основание.

 

Все высоты трапеции равны как расстояния между параллельными прямыми, содержащими ее основания (Рис. 4).

Рис. 4. Высота трапеции Рис. 4. Высота трапеции

Рис. 5. Прямоугольная трапеция Рис. 5. Прямоугольная трапеция

Прямоугольная трапеция

 

Трапеция называется прямоугольной , если у нее есть прямой угол (Рис. 5). Очевидно, что в прямоугольной трапеции ровно два прямых угла, прилежащих к меньшей боковой стороне. 


Пример 2

 

В прямоугольной трапеции большая боковая сторона в два раза больше меньшей. Найдите углы трапеции.


Решение

Рис. 6. Пример 2 Рис. 6. Пример 2

Рассмотрим трапецию ABCD  с основаниями BC  и  AD,   в   которой  A=90°  и  B=90°

(Рис. 5).

 

Проведем высоту из вершины C к основанию AD (Рис. 6), CHADCH=AB по свойству расстояния между параллельными прямыми. Получили, что в прямоугольном треугольнике CDH гипотенуза CD в два раза больше катета CH, тогда по свойству прямоугольного треугольника следует, что D=30°. Из того что C+D=180°следует, что C=150°.

Ответ90°, 90°, 30°, 150°


Рис. 7. Равнобедренная трапеция Рис. 7. Равнобедренная трапеция

Равнобедренная трапеция

 

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной (равнобокой, равнобочной) (Рис. 7).

 

Свойства равнобедренной трапеции:

 

1. В равнобедренной трапеции углы при основании равны.

Доказательство

Рис. 8. Доказательство первого свойства Рис. 8. Доказательство первого свойства

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD  с основаниями BC и ADAB=CD. Проведем через вершину C прямую параллельную боковой стороне AB, которая пересекает основание AD в точке E (Рис. 8). 

 

Тогда по определению четырехугольник ABCE — параллелограмм. По свойству параллелограмма AB=CE=CD, тогда ECD — равнобедренный, CED=CDE по свойству равнобедренного треугольника. По дополнительному построению ABCE, следовательно BAE=CED как соответственные углы при секущей AD, значит BAD=CDA.

 

Сумма углов при боковой стороне трапеции одинаковая, равна 180°, следовательно ABC=BCD. Таким образом, углы при основании равны, что и требовалось доказать.

2. В равнобедренной трапеции диагонали равны.

 

3. В равнобедренной трапеции диагонали образуют с основанием равные углы.

 

Доказательство

Рис. 9. Доказательство второго и третьего свойств Рис. 9. Доказательство второго и третьего свойств

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD  с основаниями BC и ADAB=CD. Проведем диагонали AC и BD. Треугольники ABD и ACD равны по двум сторонам и углу между ними (AD — общая сторона, AB=CDBAD=CDA по первому свойству). Следовательно, AC=BDADB=CAD.

 

Треугольники ABC и DBC равны по двум сторонам и углу между ними (BC — общая сторона, AB=CDABC=DCB по первому свойству), следовательно ACB=DBC. Таким образом свойства 2 и 3 доказаны.


Пример 3

 

Меньшее основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна к боковой стороне. Найдите углы трапеции.


Решение

Рис. 10. Пример 3 Рис. 10. Пример 3

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD с основаниями BC и ADAB=CD=BCABBD (Рис. 10).

 

Треугольник BCD равнобедренный, следовательно CBD=CDBCBD=ADB как накрест лежащие при BCAD и секущей BD

 

Трапеция ABCD равнобедренная, следовательно BAD=CDA.

 

В прямоугольном треугольнике ABD BAD=2BDA, сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, следовательно BAD=60°.

 

Таким образом ABC=120°BCD=120°ADC=60°.

 

Ответ60°, 120°, 120°, 60°.


Пример 4

 

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция, BCADAD=aBC=b (a>b)BEADCFAD. Докажите, что AE=DF=a-b2.


Решение

Рис. 11. Пример 4 Рис. 11. Пример 4

Прямоугольные треугольники AEB и DFC   равны      по     катету      и     гипотенузе

(AB=CD по определению равнобедренной трапеции, BE=CF как высоты), отсюда AE=DFEF=BC, т. к. EBCF — параллелограмм по признаку. Значит,


AE=DF=AD-EF2=AD-BC2=a-b2.

 

Что и требовалось доказать.


Упражнения

 

1. Найдите неизвестные углы:

а) равнобокой трапеции, в которой высота, проведенная из вершины тупого угла, образует с боковой стороной угол 22°;

б) прямоугольной трапеции, которую диагональ, проведенная из вершины тупого угла, делит на два равнобедренных прямоугольных треугольника.

Рис. 12 Рис. 12

2. В равнобокой трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки длиной 6 см и 30 см. Найдите меньшее основание трапеции.

 

3. В равнобедренной трапеции ABCD через вершину B проведена прямая BK, параллельная стороне CD (Рис. 12). Найдите периметр трапеции, если BC=4 смPABK=11 см.


Контрольные вопросы

 

1. Могут ли основания трапеции быть равными? Почему?

 

2. Могут ли быть равными:

а) соседние углы трапеции;

б) противолежащие углы трапеции?

 

3. Обязательно ли углы трапеции, прилежащие к большему основанию, должны быть острыми? Приведите примеры.

 

4. Может ли равнобокая трапеция быть прямоугольной?

 

5. Может ли высота трапеции быть больше боковой стороны; быть равной боковой стороне?

 

6. Диагонали трапеции ABCD (BCAD) пересекаются в точке O.

а) Может ли треугольник AOD быть равным треугольнику BOC?

б) Может ли треугольник AOB быть равным треугольнику DOC?

 

7. Может ли точка пересечения диагоналей трапеции быть серединой

каждой из них; одной из них?


Ответы

1. а) 68°, 112°, 112°, 68° б) 90°, 90°, 135°, 45°
 

2. 24 см.

 

3.19 см.


Предыдущий урок
Параллелограмм. Признаки параллелограмма. Теорема Фалеса
Четырехугольники
Следующий урок
Осевая и центральная симметрии
Общие геометрические сведения
  • Удельная теплота сгорания топлива

    Физика

  • Соли, их классификация и химические свойства

    Химия

  • Методы изучения химии

    Химия

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке