Конспект урока: Трапеция. Прямоугольная трапеция. Равнобедренная трапеция и её свойства

Рис. 3. Пример 1

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $BC$ и$AD$ (Рис. 3). Следовательно $BC\parallel AD$, $\angle A$ и $\angle B$односторонние углы при секущей $AB$, тогда по свойству параллельных прямых $\angle A+\angle B=180°$; $\angle C$ и $\angle D$ односторонние при секущей $CD$, значит $\angle C+\angle D=180°$, что и требовалось доказать.

Рис. 5. Прямоугольная трапеция

Прямоугольная трапеция

Трапеция называется прямоугольной, если у нее есть прямой угол (Рис. 5). Очевидно, что в прямоугольной трапеции ровно два прямых угла, прилежащих к меньшей боковой стороне. 

Рис. 6. Пример 2

Рассмотрим трапецию $ABCD$  с основаниями $BC$  и  $AD$,   в   которой  $\angle A=90°$  и  $\angle B=90°$

(Рис. 5).

Проведем высоту из вершины $C$ к основанию $AD$ (Рис. 6), $CH\perp AD$, $CH=AB$ по свойству расстояния между параллельными прямыми. Получили, что в прямоугольном треугольнике $CDH$ гипотенуза $CD$ в два раза больше катета $CH,$ тогда по свойству прямоугольного треугольника следует, что $\angle D=30°$. Из того что $\angle C+\angle D=180°$следует, что $\angle C=150°$.

Рис. 7. Равнобедренная трапеция

Равнобедренная трапеция

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной (равнобокой, равнобочной) (Рис. 7).

Свойства равнобедренной трапеции:

1. В равнобедренной трапеции углы при основании равны.

Рис. 8. Доказательство первого свойства

Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$  с основаниями $BC$ и $AD$, $AB=CD$. Проведем через вершину $C$ прямую параллельную боковой стороне $AB$, которая пересекает основание $AD$ в точке $E$ (Рис. 8). 

Тогда по определению четырехугольник $ABCE$ — параллелограмм. По свойству параллелограмма $AB=CE=CD$, тогда $△ECD$ — равнобедренный, $\angle CED=\angle CDE$ по свойству равнобедренного треугольника. По дополнительному построению $AB\parallel CE$, следовательно $\angle BAE=\angle CED$ как соответственные углы при секущей $AD$, значит $\angle BAD=\angle CDA$.

Сумма углов при боковой стороне трапеции одинаковая, равна $180°$, следовательно $\angle ABC=\angle BCD$. Таким образом, углы при основании равны, что и требовалось доказать.

Рис. 9. Доказательство второго и третьего свойств

Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$  с основаниями $BC$ и $AD$, $AB=CD$. Проведем диагонали $AC$ и $BD$. Треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по двум сторонам и углу между ними ($AD$ — общая сторона, $AB=CD$, $\angle BAD=\angle CDA$ по первому свойству). Следовательно, $AC=BD,$ $\angle ADB=\angle CAD$.

Треугольники $ABC$ и $DCB$ равны по двум сторонам и углу между ними ($BC$ — общая сторона, $AB=CD$, $\angle ABC=\angle DCB$ по первому свойству), следовательно $\angle ACB=\angle DBC$. Таким образом свойства 2 и 3 доказаны.

Рис. 10. Пример 3

Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, $AB=CD=BC$, $AB\perp BD$ (Рис. 10).

Треугольник $BCD$ равнобедренный, следовательно $\angle CBD=\angle CDB$. $\angle CBD=\angle ADB$ как накрест лежащие при $BC\parallel AD$ и секущей $BD$. 

Трапеция $ABCD$ равнобедренная, следовательно $\angle BAD=\angle CDA$.

В прямоугольном треугольнике $ABD$ $\angle BAD=2\angle BDA$, сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90°$, следовательно $\angle BAD=60°$.

Таким образом $\angle ABC=120°$, $\angle BCD=120°$, $\angle ADC=60°$.

Ответ: $60°, 120°, 120°, 60°$.

Рис. 11. Пример 4

Прямоугольные треугольники $AEB$ и $DFC$   равны      по     катету      и     гипотенузе

($AB=CD$ по определению равнобедренной трапеции, $BE=CF$ как высоты), отсюда $AE=DF$. $EF=BC$, т. к. $EBCF$ — параллелограмм по признаку. Значит,

$AE=DF=\frac{AD-EF}{2}=\frac{AD-BC}{2}=\frac{a-b}{2}$.

Что и требовалось доказать.