Осевая и центральная симметрии

План урока

Осевая симметрия
Центральная симметрия

Цели урока

Знать определения осевой и центральной симметрии
Уметь находить ось и центр симметрии, доказывать симметрию фигур, применяя определение осевой или центральной симметрии

Разминка

Что называют параллелограммом?
Какими свойствами обладает параллелограмм?
Какие виды треугольников и виды четырехугольников вы знаете?
Докажите, что отрезок с концами на сторонах параллелограмма, проходящий через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам.
Отрезок с концами на боковых сторонах равнобедренного треугольника, перпендикулярный высоте, проведенной к основанию, делится этой высотой пополам. Докажите.

Рис. 1. Осевая симметрия

Симметрия — от греческого «симметриа» — согласованность размеров, одинаковость в расположении частей.

Осевая симметрия

Пусть на плоскости зафиксирована прямая $l$ и отмечена произвольная точка $X$ (рис. 1). Проведем из точки $X$ перпендикуляр $X O$ к прямой $l$ и отложим на луче $X O$ отрезок $O X$ ', равный отрезку $X O$ . Мы получили точку $X$ ', симметричную точке $X$ относительно прямой $l$ .

Точки $X$ и $X$ ' называются симметричными относительно прямой $l$ , если эта прямая перпендикулярна отрезку $X X$ ' и проходит через его середину.

Рис. 2. Ось симметрии

Очевидно, что точкой, симметричной точке $X$ ' относительно прямой $l$ , является точка $X$ . Точки прямой $l$ считаются симметричными сами себе. Прямая $l$ называется осью симметрии .

Преобразованием симметрии (симметрией) относительно прямой $l$ называют такое преобразование фигуры $F$ в фигуру $F$ ' при котором каждая точка $X$ фигуры $F$ переходит в точку

$X$ ' фигуры $F$ ' симметричную $X$ относительно прямой $l$ (рис. 2). При этом фигуры $F$ и $F$ ' называют симметричными относительно прямой $l$ .

Рис. 3. Ось симметрии

Симметрию относительно прямой называют также осевой симметрией .

Если преобразование симметрии относительно прямой $l$ переводит фигуру $F$ в себя, то такая фигура называется симметричной относительно прямой $l$ , а сама прямая $l$ — осью симметрии фигуры $F$ .

Например, осью симметрии равнобедренного треугольника $A B C$ является прямая, проходящая через вершину $B$ перпендикулярно основанию $A C$ (рис. 3), поскольку симметрия относительно этой прямой переводит данный треугольник в себя.

Рассмотрим примеры фигур, обладающих осевой симметрией (рис. 4). У неразвернутого угла ось симметрии — прямая, содержащая биссектрису угла. Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии. Прямоугольник и ромб, не являющийся квадратом, имеют по две оси симметрии, а квадрат — четыре оси симметрии. Равнобедренная трапеция имеет одну ось симметрии — прямая, проходящая через середины оснований. У окружности их бесконечно много — любая прямая, проходящая через ее центр, является осью симметрии.

Рис. 4. Оси симметрии фигур

Центральная симметрия

Рис. 5. Центральная симметрия

Пусть $O$ — фиксированная точка, а $X$ — произвольная точка плоскости (Рис. 5). Отложим на луче $X O$ отрезок $O X$ ', равный отрезку $X O$ . Мы получили точку $X$ ', симметричную точке $X$ относительно точки $O$ .

Точки $X$ и $X$ ' называются симметричными относительно точки $O$ , если точка $O$ — середина отрезка $X X$ '.

Рис. 6. Центральная симметрия

Очевидно, что точкой, симметричной точке $X$ ' относительно точки $O$ , является точка $X$ . Точка $O$ считается симметричной самой себе и называется центром симметрии .

Преобразованием симметрии (симметрией) относительно точки $O$ называют такое преобразование фигуры $F$ в фигуру $F$ ' при котором каждая точка $X$ фигуры $F$ переходит в точку $X$ ' фигуры $F$ ' симметричную точке $X$ относительно точки $O$ (рис. 6). При этом фигуры $F$ и $F$ ' называют симметричными относительно точки $O$ .

Симметрию относительно точки называют также центральной симметрией .

Рис. 7. Центральная симметрия

Если преобразование симметрии относительно точки $O$ переводит фигуру $F$ в себя, то такая фигура называется центрально-симметричной, а точка $O$ — центром симметрии фигуры $F$ .

Например, точка пересечения диагоналей параллелограмма является центром симметрии параллелограмма (рис. 7), поскольку центральная симметрия относительно этой точки переводит параллелограмм в себя.

Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии или центр симметрии. Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно среднего стебля (рис. 8).

Рис. 8

Животные, насекомые, клетки вирусов и бактерий имеют ось или центр симметрии. (рис. 9).

Рис. 9

С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике и быту (рис. 10). В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Симметричны многие детали механизмов, например зубчатые колеса.

Рис. 10

Пример 1

Докажите, что центральная симметрия переводит прямую в параллельную прямую или в себя.

Решение

Рис. 11. Пример 1

Пусть даны точка $O$ и прямая $a$ . Рассмотрим случай, когда точка $O$ не лежит на прямой $a$ (рис. 11). По определению симметричных фигур, центральная симметрия переводит прямую $a$ , в фигуру, содержащую точки, симметричные точкам прямой, следовательно в прямую $a$ '. Пусть точки $X$ ' и $Y$ ' прямой $a$ ' образы точек $X$ и $Y$ прямой $a$ . Тогда

$△ X O Y = △ X$ ' $O Y$ ' по двум сторонам и углу между ними, откуда $∠ O X Y = ∠ O X$ ' $Y$ '. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $a$ и $a$ ' и секущей $X X$ '. Следовательно, по признаку параллельности прямых, $a ∥ a$ '.

В случае, когда точка $O$ лежит на прямой $a$ (рис. 12) симметрия относительно этой точки переводит произвольную точку $X$ в точку $X$ ' прямой $a$ , точку $O$ в себя. Следовательно, прямая $a$ ', образ прямой $a$ , проходит через точки $X$ ' и $O$ . Поскольку через две точки можно провести единственную прямую, то прямая

$a$ ' совпадает с прямой $a$ . Таким образом, симметрия относительно точки $O$ переводит прямую $a$ в себя.

Рис. 12. Пример 1

Упражнения

1. Какие из фигур на рис. 13 имеют центр симметрии? Где он расположен?

Рис. 13

2. Какие из фигур на рис. 13 имеют оси симметрии? Сколько осей симметрии имеет каждая фигура? Как они расположены?

3. Докажите, что центр равностороннего треугольника (точка, равноудаленная от вершин) не является центром его симметрии.

Контрольные вопросы

1. Симметрия относительно точки $O$ переводит точку $A$ в точку $B$ . Где находится точка $O$ ?

2. Какие прямые при центральной симметрии переходят сами в себя?

3. Симметрия относительно прямой $l$ переводит точку $A$ в точку $B$ . Как расположены прямые $l$ и $A B$ ?

4. Приведите пример фигуры, которая:

а) не имеет ни центра симметрии, ни осей симметрии;

б) имеет центр симметрии, но не имеет осей симметрии;

в) не имеет центра симметрии, но имеет ось симметрии;

г) имеет центр симметрии и несколько (бесконечно много) осей симметрии.

Ответы

1. а — центр окружности, в — точка пересечения диагоналей, г — точка пересечения длинных диагоналей, д, е — центр фигуры.

2. а — бесконечно много, б — три, в — две, г — шесть, е — шесть, ж — одна.

3. Расстояние от центра равностороннего треугольника, до вершины не равно расстоянию от центра треугольника до стороны, поскольку в треугольнике не может быть два прямых угла.

Конспект урока: Осевая и центральная симметрии

Общие геометрические сведения

Осевая симметрия

Центральная симметрия