Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Вероятность события

Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Вероятность события

План урока

  • Классическое определение вероятности события.

Цели урока

  • Знать классическое определение вероятности события;
  • Уметь применять классическое определение вероятности события.

Разминка

  1. Какое событие называется случайным?
  2. Какое событие называется достоверным?
  3. Какое событие называется невозможным?

Классическое определение вероятности

 

Если все исходы некоторого случайного эксперимента имеют равные шансы наступить, то их называют равновозможными. Чаще всего равновозможность исходов следует из условий проведения опыта и симметрии тех объектов, которые в них участвуют. Примером случайного эксперимента с равновозможными исходами является подбрасывание игрального кубика. Исходом данного опыта является выпадение определённого числа. Множеством всех исходов этого испытания является множество {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Уверенность в том, что все эти исходы равновозможны, возникает из-за симметрии и однородности кубика. Каждая из шести граней ничем не лучше (и не хуже) любой из пяти оставшихся.

Рассмотрим случайный эксперимент, который может завершиться одним из n равновозможных исходов. Пусть ровно m из них благоприятствуют (т.е. приводят к наступлению) случайного события A. Тогда вероятность этого события может быть вычислена по формуле:

PA=mn, где mn (1).


Определение (классическая вероятность)

Вероятностью PA события A в испытании с равновозможными элементарными исходами называется отношение числа исходов m, благоприятствующих событию A, к числу n всех исходов испытания.


Очевидно, что вероятность наступления каждого элементарного события в испытании с n равновозможными исходами равна 1n . В рассмотренном примере появление одного из шести чисел {1; 2; 3; 4; 5; 6} после бросания кубика равна 16. Найдём вероятность, что после бросания кубика выпадет чётное число. Выпадению чётного числа благоприятствуют 3 равновозможных исхода {2; 4; 6}. Общее число всех равновозможных исходов равно 6. Поэтому P=36=12.

Из классического определения вероятности следует:

  1. 0PA1;
  2. PV=0, где V— невозможное событие;
  3. PU=1, где U — достоверное событие.

Несмотря на простоту формулы классической вероятности, при её использовании возникают два непростых вопроса:

  1. Как выбрать систему исходов опыта так, чтобы они были равновозможными, и можно ли это сделать вообще?
  2. Как найти числа m и n?

Если в опыте участвуют несколько предметов, равновозможные исходы увидеть не всегда просто.

Великий французский философ и математик Даламбер вошёл в историю теории вероятностей со своей знаменитой ошибкой, суть которой в том, что он неверно определил равновозможность исходов в опыте с двумя монетами.


Пример 1

Подбрасываем две одинаковые монеты. Какова вероятность того, что они упадут на одну и ту же сторону?


Неправильное решение (ошибка Даламбера):

 

Опыт имеет три равновозможных исхода:

  1. обе монеты упадут на «орла»;
  2. обе монеты упадут на «решку»;
  3. одна монета упадёт на «орла», другая на «решку».

Из них благоприятствующими для нашего события будут два исхода, поэтому искомая вероятность равна 23.

Правильное решение:

 

Опыт имеет четыре равновозможных исхода:

  1. первая монета упадёт на «орла», вторая тоже на «орла»;
  2. первая монета упадёт на «решку», вторая тоже на «решку»;
  3. первая монета упадёт на «орла», вторая – на «решку»;
  4. первая монета упадёт на «решку», вторая – на «орла».

Из них благоприятствующими для нашего события будут два исхода, поэтому искомая вероятность равна 24=12.

 

Ответ: 12.

 

Даламбер совершил одну из самых распространённых ошибок, допускаемую при вычислении вероятности: он объединил два элементарных исхода в один, тем самым сделав его не равным по вероятности оставшимся исходам опыта.


Пример 2

Из коробки, в которой 2 белых и 2 чёрных шара, вытаскивают 2 шара. Какова вероятность, что они окажутся одного цвета?


Решение

 

В коробке 4 шара. Чтобы не совершить ошибку, подобную ошибке Даламбера, введём для каждого шара уникальное обозначение: Б1, Б2, Ч1, Ч2 (Б и Ч означают белый и чёрный соответственно). Будем считать, что шары вынимаются одновременно. Тогда результатом одновременного вытаскивания двух шаров могут быть следующие исходы:

 

1) Б1 Б2; 2) Б1 Ч1; 3) Б1 Ч2; 4) Б2 Ч1; 5) Б2 Ч2; 6) Ч1 Ч2.

 

Таким образом, n=6. Благоприятными для рассматриваемого события являются 1-й и 6-й исходы, т.е. 

 

m=2PA=26=13,

 

где A — вынутые шары будут одного цвета.

 

Ответ: 13.


При решении этой задачи можно было бы считать, что шары вынимаются не одновременно, а друг за другом. Тогда порядок записи вынимаемых шаров имел бы значение. Например, Б1 Б2 и Б2 Б1 – это разные исходы. В этом случае общее число исходов n=12, а число благоприятствующих исходов m=4. В итоге PA=412=13.


Пример 3

Из коробки, в которой 3 белых и 4 чёрных шара, вытаскивают 2 шара. Какова вероятность следующих событий:

A – оба вынутых шара белого цвета;

B – оба вынутых шара чёрного цвета;

C – вынутые шары разного цвета.


Решение:

 

Общее число исходов в данном испытании можно найти как число сочетаний из 7 по 2.

n=C72=7!5!·2!=21.

 

Число исходов, благоприятствующих событию A равно числу сочетаний из 3 по 2.

m1=C32=3!1!·2!=3.

 

Число исходов, благоприятствующих событию B равно числу сочетаний из 4 по 2.

m2=C42=4!2!·2!=6.

 

Так как любой из трёх белых шаров можно комбинировать с любым из четырёх чёрных, то число исходов, благоприятствующих событию С равно произведению 3·4.

m3=3·4=12.

 

Получим:

PA=321=17; PB=621=27; PC=1221=47.

 

Ответ: PA=17; PB=27; PC=47.


Упражнение  

  1. Для лотереи отпечатали 1500 билетов, из которых 120 выигрышных. Какова вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным?
  2. Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет более 4 очков?
  3. Ученик записал в тетради произвольное двузначное число. Какова вероятность того, что сумма цифр этого числа окажется равной 6?
  4. Из 16 собранных велосипедов 4 оказались с дефектами. Какова вероятность того, что 2 выбранных наугад велосипеда будут без дефектов?


Контрольные вопросы

  1. Какие исходы случайного испытания называют равновозможными?
  2. Сформулируйте классическое определение вероятности.
  3. Чему равна вероятность невозможного события?
  4. Чему равна вероятность достоверного события?


Ответы

Упражнение 

  1. 0,08;
  2. 13;
  3. 115;
  4. 0,55.

Предыдущий урок
Размещения
Элементы комбинаторики и теории вероятностей
Следующий урок
Перестановки
Элементы комбинаторики и теории вероятностей
  • Экономика и государство

    Обществознание

  • Понятие о сложном предложении

    Русский язык

  • Правило произведения

    Алгебра

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке